Căn bậc hai số học Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a. Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là √a và số âm kí hiệu là -√a. Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √0 = 0.. Lý thuyết về căn bậc hai – Bài 1. Căn bậc hai Căn bậc hai số học Ở lớp 7, ta đã biết: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a. Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là √a và số âm kí hiệu là -√a. Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √0 = 0. ĐỊNH NGHĨA Với số dương a, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0. Chú ý. Với a ≥ 0, ta có: Nếu x = √a thì x ≥ 0 và x2 = a; Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = √a. Ta viết x = √a <=> x ≥ 0 và x2 = a Quảng cáo2. So sánh các căn bậc hai số học Ta đã biết: Với hai số a và b không âm, nếu a < b thì √a < √b. Ta có thể chứng minh được: Với hai số a và b không âm, nếu √a < √b thì a < b. Như vậy ta có định lí sau đây. ĐỊNH LÍ
1. Căn thức bậc hai
Căn bậc hai số học Số dương a có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt a $ và $-\sqrt a $ Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$. Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$.
+) $\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$ +) So sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a< \sqrt b $. Căn thức bậc hai Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. $\sqrt A $ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm. Chú ý.: Với \(a \ge 0,\) ta có: + Nếu \(x = \sqrt a \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\) + Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\) thì \(x = \sqrt a .\) Ta viết \(x = \sqrt a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\) 2. So sánh các căn bậc hai số học ĐỊNH LÍ: Với hai số \(a;b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b \) Ví dụ: So sánh 3 và \(\sqrt 7\) Ta có: \(3 = \sqrt 9 \) mà \(9 > 7\) suy ra \(\sqrt 9 > \sqrt 7 \) hay \(3 > \sqrt 7 \)
Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Với mọi số $a$, ta có $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$.
Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ nghĩa là $\sqrt {{A^2}} = A$ nếu $A \ge 0$ và $\sqrt {{A^2}} = - A$ nếu $A < 0$. 3. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai. Phương pháp: Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $.
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp: - Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức (thông thường là ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$) - Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$
Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa Phương pháp: Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0.$
Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai Phương pháp: Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây: \(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}} = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\) \(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}} = \sqrt {{B^2}} \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A = \pm B\)
Dựa vào tính chất: Nếu a, b ≥ 0 thì a < b ⇔ √a < √b Ví dụ 1:So sánh các số sau: Quảng cáo a) 9 và √80 b) √15 - 1 và √10 Hướng dẫn: a) Ta có: 9 = √81. Vì √81 > √80 nên 9 > √80 b) Ta có: √15 - 1 < √16 - 1 = 3 √10 > √9 = 3 Vậy √15-1 < √10 Ví dụ 2:So sánh các số sau a) b) √10 + √5 + 1 và √35 c) Hướng dẫn: a) (3√2)2 = 32.(√2)2 = 9.2 = 18 (2√3)2 = 22.(√3)2 = 4.3 = 12 ⇒ (3√2)2 > (2√3)2 ⇒ 3√2 > 2√3
b) Ta có: √10 + √5 + 1 > √9 + √4 + 1 = 6 mà √35 < √36 = 6 ⇒ √10 + √5 + 1 > √35 c) Ta có: mà √3 < √4 = 2
Quảng cáo Bài 1: So sánh các số sau: a) 2 và √3 b) 7 và √50 Bài 2: a) 2 và 1 + √2 b) 1 và √3 - 1 c) 3√11 và 12 d) -10 và -2√31 Hướng dẫn: Bài 1: a) 2 > √3 b) 7 < √50 Bài 2: a) Ta có: 1 + √2 > 1 + 1 = 2 ⇒ 2 < 1 + √2 b) √3 - 1 < √4 - 1 = 2 - 1 = 1 ⇒ √3 - 1 < 1 c) 3√11 < 3√16 = 3.4 = 12 ⇒ 3√11 < 12 d) -2√31 < -2√25 = -10 ⇒ -2√31 < -10. Quảng cáo Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. chuong-1-can-bac-hai-can-bac-ba.jsp |
