NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦYHOẠT ĐỘNG TRÒẩn trở lên. 4. Phương trình chứa thamsố: là phương trình mà ngoài các ẩn còn có các chữ sốkhác được xem như những hằng số và được gọi là thamsố. + Giải và biện luận phươngtrình chứa tham số là xét xem với những giá trò nàocủa tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìmcác nghiệm đó. tham sốSGK trang 54,55.+ Giới thiệu pt nhiều ẩn và nghiệm qua pt 2,3 trang54. + Giới thiệu , pt chứa thamsố và cách tìm nghiệm. + Cho pt: x2-2x+m=0 4 với x là ẩn số, m là mộthằng số. Khi đó 4 là pt chứa tham số, m được gọilà tham số. + Để tìm nghiệm ta giải vàbiện luận pt. + Nghe hiểu ghi nhận.+ Ghi nhận cách giải và biện luận phương trình chứ thamsố. Show II. Phương trình tương đương và phương trình hệquả: 1. Phương trình tươngđương: hai phương trình được gọi làtương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.Đònh lí: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trêncùng một phương trình mà không làm thay đổi điều kiệncủa nó thì ta được phương trình mới tương đương:1. Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng mộtbiểu thức. 2. Nhân hoặc chia hai vế vớicùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn khác0. + Thông thường ta dùng kíhiệu “” để chỉ sự tươngHoạt động 4: Từ hoạt động thực tiễn hình thànhkhái niệm pt tương đương và phép biến đổi tươngđương. + Giao nhiệm vụ cụ thể chocác nhóm thực hiện hđ4, quan sát và sửa chữa kòpthời những sai lầm của HS.+ Đònh nghóa 2 pt tương đương+ Nêu các phép biến đổi tương đương qua đònh lý.Kí hiệu :”⇔” + Trong pt nếu đổi dấu vàchuyển vế một biểu thức có là phép biến đổi tươngđương không? Vì sao?+ Hướng dẫn hđ5. + Xác đònh đk+ Phép biến đổi được thực hiện có làm thay đổi đk củapt không? + Thực hiện hđ4Nhóm 1: câu a. + x2+x=0⇔xx+1=0 pt có 2 nghiệm x=0 và x=-1+4 3x x−+x=0⇔x=0 và x=-1 Vậy hai pt ở câu a. có tậpnghiệm bằng nhau. Nhóm 2: câu b.+ x2-4=0⇔x=±2 + 2+x=0⇔x=-2 Vậy hai pt ở câu b. có tậpnghiệm khác nhau. + Nghe hiểu, xem ví dụ 1.+ Nghe hiểu đònh lý. + Khi chuyển vế và đổi dấumột biểu thức là phép biến đổi tươn đương vì giống vớicộng hay trừ 2 vế với một biểu thức.+ Đk: x≠1. + Khi cộng vào 2 vế biểuthức -1 1x −và rút gọn đã làm mất đk nên phép biếnNỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦYHOẠT ĐỘNG TRÒđương của các phương trình. + Các phép biến đổi trongđònh lý nếu làm thay đổi đk của pt thì không là pbđt.đổi trên không là phép biến đổi tương đương, x=1 khônglà nghiệm. + Rút ra nhận xét.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Phương trình tương đương, phương trình hệ quả, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10. Nội dung bài viết Phương trình tương đương, phương trình hệ quả: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Cho phương trình f(x) = 0 có tập nghiệm S = {m; 2m – 1} và phương trình g(x) = 0 có tập nghiệm S. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g(x) = 0 là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = 0. Lời giải: Gọi S, S’ lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình. Ta nói phương trình g(x) = 0 là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = 0. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình x – 1 = 0? Câu 2. Cho phương trình x = 0. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho? Hướng dẫn giải. Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Phương trình (x + 1)(x – 1)(x + 1) = 0 có tập nghiệm S = {-1; 1}. Câu 3. Phương trình 2x – 3 = 1 tương đương với phương trình nào dưới đây? A. (x – 3)2x – 3 = x – 3 nên phương trình này không tương đương với phương trình đã cho. Câu 4: Cho phương trình: x + x = 0 (1). Phương trình nào tương đương với phương trình (1)? Câu 5. Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình x – 3x = 0? Phương trình x – 3x = 0 có tập nghiệm là S = {0; 3} nên phương trình tương đương cũng phải có tập nghiệm như vậy. Chú ý lý thuyết: Phép biến đổi tương đương cho hai phương trình tương đương. Phép biến đổi cộng hai vế một biểu thức hoặc nhân 2 vế với một biểu thức khác 0 là phép biến đổi tương đương khi chúng không làm thay đổi điều kiện Do đó dựa và điều kiện của các phương trình ta cũng có thể chọn C Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?
Thế nào là hai phương trình tương đương
a. Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. b. Hai quy tắc biến đổi tương đương các phương trình: 2. Phép biến đổi tương đươngPhép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau - Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức. - Chuyển một số hoặc biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu. - Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0. Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương trình tương đương 3. Phương trình hệ quảGọi S1,S2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình (1) và (2). Ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi S1 ⊂S2. Ta viết (1)⇒(2). Ví dụ 1. Cho hai phương trình: Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không? Chú ý. Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà chỉ là phép biến đổi hệ quả. Ví dụ 2. Cho hai phương trình: Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không? Khi hai vế của phương trình đều không âm, phương hai vế của phương trình ta được một phương trình tương đương. Công thức 4. Phương trình bậc nhất một ẩn:5. Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) (không có ẩn ở mẫu):- Quy đồng mẫu thức 2 vế - Khử mẫu thức. - Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình về dạng Ax = B Ví dụ 1. Giải phương trình:
Lí thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về phương trình tương đương và phương trình hệ quả
Lí thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về phương trình tương đương và phương trình hệ quả
PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ A. Lý thuyết I. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. II. Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác \[0\] hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác \[0.\] Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó. III. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\] đều là nghiệm của phương trình \[{{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\] thì phương trình \[{{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right).\] Ta viết \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\Rightarrow {{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right).\] Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. B. Bài tập minh họa
Giải: Ÿ Đáp án A. Ta có Ÿ Đáp án B. Ta có Do đó, \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương. Ÿ Đáp án C. Ta có Do đó, \[\sqrt{x}\left( x+2 \right)=\sqrt{x}\] và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương. Ÿ Đáp án D. Ta có Do đó, \[x\left( x+2 \right)=x\] và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương. Chọn A
Giải: Ÿ Đáp án A. Ta có Do đó, \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương. Ÿ Đáp án B. Ta có Do đó, \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0$ là cặp phương trình tương đương. Ÿ Đáp án C. Ta có Do đó, \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left( 2-x \right)}^{2}}$ không phải là cặp phương trình tương đương. Ÿ Đáp án D. Ta có Do đó, \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương. Chọn B.
Giải: Ta có Do đó, \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x+2=4{{x}^{2}}\] không phải là cặp phương trình tương đương. Chọn D
Giải: Ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( 2{{x}^{2}}+mx-2 \right)=0\Leftrightarrow Do hai phương trình tương đương nên $x=-2$ cũng là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$. Thay $x=-2$ vào $\left( 1 \right)$, ta được $2{{\left( -2 \right)}^{2}}+m\left( -2 \right)-2=0\Leftrightarrow m=3$. Với $m=3$, ta có $\bullet $ $\left( 1 \right)$ trở thành $2{{x}^{2}}+3x-2=0\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=\frac{1}{2}.$ $\bullet $ $\left( 2 \right)$ trở thành $2{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right)=0$ $\Leftrightarrow x=-2$hoặc $x=\frac{1}{2}$. Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=3$ thỏa mãn. Chọn B.
Giải: Ta có Do hai phương trình tương đương nên $x=1$ cũng là nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$. Thay $x=1$ vào $\left( 2 \right)$, ta được Với $m=-5$, ta có · $\left( 1 \right)$ trở thành $-5{{x}^{2}}+12x-7=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{5}$ hoặc $x=1$. · $\left( 2 \right)$ trở thành $-7{{x}^{2}}-3x+10=0\Leftrightarrow x=-\frac{10}{7}$ hoặc $x=1$. Suy ra hai phương trình không tương đương Với $m=4$, ta có · $\left( 1 \right)$ trở thành $4{{x}^{2}}-6x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$. · $\left( 2 \right)$ trở thành $2{{x}^{2}}-3x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$. Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=4$ thỏa mãn. Chọn C.
Giải: Ta có: Do đó, phương trình $8{{x}^{2}}-4x-5=0$ không phải là hệ quả của phương trình $\left| 3x-2 \right|=x-3$. Chọn C
Giải: . Ta có Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là ${{S}_{0}}=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}$. Xét các đáp án: Ÿ Đáp án A. Ta có Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{1}}=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$. Ÿ Đáp án B. Ta có Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{2}}=\left\{ -\frac{1}{2};0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$. Ÿ Đáp án C. Ta có (vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của phương trình là \[{{S}_{3}}=\varnothing {{S}_{0}}\] Ÿ Đáp án D. Ta có Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{2}}=\left\{ -1;0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$. Chọn C
Giải: Ÿ Phương trình Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là ${{S}_{1}}=\left\{ 2;3 \right\}$. Ÿ Phương trình Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ là ${{S}_{2}}=3$. Vì ${{S}_{2}}\subset {{S}_{1}}$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ là hệ quả của phương trình $\left( 2 \right)$. Chọn A. C. Bài tập tự luyện Câu 1. Hai phương trình được gọi là tương đương khi A. Có cùng dạng phương trình. B. Có cùng tập xác định. C. Có cùng tập hợp nghiệm. D. Cả A, B, C đều đúng. Câu 2. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${{x}^{2}}-4=0$? A. $\left( 2+x \right)\left( -{{x}^{2}}+2x+1 \right)=0.$ B. $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=0.$ C. $\sqrt{{{x}^{2}}-3}=1.$ D. ${{x}^{2}}-4x+4=0.$ Câu 3. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${{x}^{2}}-3x=0$? A. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}.\] B. \[{{x}^{2}}+\frac{1}{x-3}=3x+\frac{1}{x-3}.\] C. \[{{x}^{2}}\sqrt{x-3}=3x\sqrt{x-3}.\] D. \[{{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\] Câu 4. Cho phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x1 \right)\left( x+1 \right)=0$. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ? A. \[x-1=0.\] B. \[x+1=0.\] C. \[{{x}^{2}}+1=0.\] D. $\left( x1 \right)\left( x+1 \right)=0.$ Câu 5. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình \[x+\frac{1}{x}=1\]? A. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x}=-1.\] B. \[\left| 2x-1 \right|+\sqrt{2x+1}=0.\] C. \[x\sqrt{x-5}=0.\] D. \[7+\sqrt{6x-1}=-18.\] Câu 6. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}-\sqrt{x-2}.\] B. \[\sqrt{x-1}=3x\Leftrightarrow x-1=9{{x}^{2}}.\] C. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}+\sqrt{x-2}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}\text{.}\] D. $\frac{2x-3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 2x-3={{\left( x-1 \right)}^{2}}.$ Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \[\sqrt{x-1}=2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x-1=0.\] B. \[{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x-1}}=0.\] C. \[\left| x-2 \right|=\left| x+1 \right|\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}.\] D. \[{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=1.\] Câu 8. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[x+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x-1}\] và $x=1.$ B. \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$ C. \[\sqrt{x}\left( x+2 \right)=\sqrt{x}\] và $x+2=1.$ D. \[x\left( x+2 \right)=x\] và $x+2=1.$ Câu 9. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1.$ B. \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0.$ C. \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left( 2-x \right)}^{2}}.$ D. \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$ Câu 10. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[x+1={{x}^{2}}-2x\] và $x+2={{\left( x-1 \right)}^{2}}.$ B. \[3x\sqrt{x+1}=8\sqrt{3-x}\] và \[6x\sqrt{x+1}=16\sqrt{3-x}.\] C. \[x\sqrt{3-2x}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+x\] và \[x\sqrt{3-2x}=x.\] D. \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x=\frac{5}{3}\] Đáp án bài tập tự luyện
Bài viết gợi ý: |