Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền [edit]Định lí 1: Show Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có: \(AH \bot BC;\ H\in BC\) \(\Rightarrow AB^2=BH.BC;\ AC^2=HC.BC\) Hay \(b^2 = a.b’;\ c^2 = a.c’\) Chứng minh: Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat{C}\) chung \(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o\) Vậy \(\Delta AHC \sim \Delta BAC\ (g.g) \) \(\Rightarrow \dfrac{HC}{AC}=\dfrac{AC}{BC}\) \(\Rightarrow AC^2=BC.HC\) hay \(b^2=a.b’. \) Tương tự, ta có: \(c^2=a.c’. \) Ngoài ra, hai hệ thức trên còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân như sau: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. Một số hệ thức liên quan tới đường cao [edit]Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.  \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có: \(AH \bot BC;\ H\in BC\) \(\Rightarrow AH^2=BH.HC\) hay \(h^2=b’.c’\) Chứng minh: Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\) \(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\ (\)Vì cùng phụ với \(\widehat{ABC})\) Vậy \(\Delta BHA \sim \Delta AHC\ (g.g) \) \(\Rightarrow \dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AH}{HC}\) \(\Rightarrow AH^2=HC.HB\) hay \(h^2=b’.c’\) Ngoài ra, hai hệ thức trên còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân như sau: Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền. Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có: \(AH \bot BC;\ H\in BC\) \(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\) Chứng minh: Cách 1: Dựa vào tam giác đồng dạng Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat{C}\) chung \(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o\) Vậy \(\Delta AHC \sim \Delta BAC\ (g.g) \) \(\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\) \(\Rightarrow AH.BC=AC.AB\) hay \(h.a=b.c\) Cách 2: Dựa vào công thức tính diện tích tam giác Gọi \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác \(ABC\) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường cao \(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}AH.BC\) \(\Rightarrow S_{ABC}=AC.AB=AH.BC\) \(\Rightarrow S_{ABC}=b.c=h.a\) Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có: \(AH \bot BC;\ H\in BC\) \(\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\) Hay \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}.\) Chứng minh: Từ định lí 3: Ta có biến đổi: \(h^2.a^2=b^2.c^2\) \(\Rightarrow h^2= \dfrac{b^2.c^2}{a^2}\) \(\Rightarrow \dfrac{1}{h^2}=\dfrac{a^2}{b^2.c^2}=\dfrac{b^2+c^2}{b^2c^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}.\) Qui ước: Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo. Lời giải:Hình chiếu của M trên BC nghĩa là từ M kẻ đường thắng cắt ᴠuông góc ᴠới BC Hình chiếu của một đoạn thẳng trên một đường thẳng là khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng kẻ từ 2 điểm của đoạn thẳng đó ᴠuông góc ᴠới đường thẳng cho trướccòn hình chiếu của một điểm là giao điểm của đường thẳng cho trước ᴠới đường thẳng kẻ từ điểm đó ᴠuông góc ᴠới đường thẳng cho trước. Bạn đang хem: Hình chiếu trong tam giác
Bài toán cạnh góc vuông và hình chiếu của nó I. Hướng dẫn giải – Vận dụng hệ thức: và – Định lí Pi-ta-go: △ABC vuông ở A ⇔ II. Bài tập mẫu Bài 1. Cho tam giác vuông trong đó có cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm. Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền. Giải
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta được:
⇒ BC=10cm Đồ dài hình chiếu BH của AB lên BC: Ta có: suy ra
Độ dài hình chiếu CH của AC lên BC: Ta có:
Bài 2. Cho hai đoạn thẳng AB và CD vuông góc với nhau tại O sao cho OA=OC và OB=OD. Gọi M là trung điểm của BC và Q là giao điểm của OM và AD.
b. Chứng minh rằng và Giải a. Ta chứng minh từ đó suy ra:
Ta có: △OBC vuông tại O, có OM là trung tuyến nên: OM=MB (đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa cạnh huyền) ⇒△OMB cân tại M
Bài 3.
Giải
Bài 4. Cho △ABC vuông tại A và đường cao AH. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh: AB.AD = AC.AE. Giải △ABC vuông tại A, có AH là đường cao nên AH⊥BC Suy ra △AHB và △AHC vuông tại H △AHB vuông tại H, có HD là đường cao nên: AB.AD= (1) △AHC vuông tại H, có HE là đường cao nên: AC.AE= (2) Từ (1) và (2) suy ra AB.AD=AC.AE (đpcm). III. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3:4, cạnh huyền là 125cm. Độ dài các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền bằng:
Bài 2. Cho △ABC có AH là đường cao xuất phát từ A (H thuộc đoạn BC). Nếu
Bài 3. △ABC vuông ở A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Hình chiếu của H lên AB là D, lên AC là E. Câu nào sau đây sai?
Bài 4. △ABC nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho:
Bài 5. △ABC vuông ở A, có đường cao AH. Biết AC = 10cm, CH = 8cm, khi đó:
Bài 6.
Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây. Related |
