Cập nhật lúc: 21:31 24-09-2018 Mục tin: LỚP 8 >> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này. Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên. Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y3 - x3 = 91 (1) Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*) Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0. Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau : y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I) y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II) y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III) y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV) Đến đây, bài toán coi như được giải quyết. Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn Nếu các ẩn x, y, z, ... có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ... để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho. Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x + y + z = xyz (2). Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3). Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 1/x + 1/y + 1/z = 2 (3) Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có : 2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1. Thay x = 1 vào (3) ta có : 1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2 => y = 1 => 1/z = 0 (vô lí) hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2). Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình. Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 - 2y2 = 5 (4) Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được : 4k2 +4k + 1 - 2y2 = 5 tương đương 2(k2 + k - 1) = y2 => y2 là số chẵn => y là số chẵn. Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 2(k2 + k - 1) = 4t2 tương đương k(k + 1) = 2t2 + 1 (**) Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm. Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên. Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5) Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x3 - x chia hết cho 3. Tương tự y3 - y và z3 - z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho 3. Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên. Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy + x - 2y = 3 (6) Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với: y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2). Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0). Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1. Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này. Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 - xy + y2 = 3 (7) Lời giải : (7) tương đương với (x - y/2)2 = 3 - 3y2/4 Vì (x - y/2)2 ≥ 0 => 3 - 4y2/4 ≥ 0 => -2 ≤ y ≤ 2 . Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là : (x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}. Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác. Mong các bạn tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Các bạn cũng thử giải một số phương trình nghiệm nguyên sau đây : Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên : a) x2 - 4 xy = 23 ; b) 3x - 3y + 2 = 0 ; c) 19x2 + 28y2 =729 ; d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96. Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : a) 4xy - 3(x + y) = 59 ; b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ; d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN - PHẦN IGIỚI THIỆUKhông giống như các phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm nguyên khó giải quyết hơn vì điều kiện ràng buộc nguyên của nhiệm. Vì vậy với phương trình nghiệm nguyên, ta thường không có một phương pháp hoặc định hướng giải cụ thể nào như với phương trình nghiệm thực và nghiệm phức. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng một số phương pháp hiệu quả để giải quyết lớp phương trình này. Trong chuyên đề này ta sẽ nêu ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Tùy vào từng bài toán mà ta có những dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp.Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (từ đơn giản đến phức tạp):1. Xét số dư của từng vế2. Đưa về dạng tổng3. Dùng bất đẳng thức 4. Dùng tính chia hết, tính đồng dư 5. Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn6. Xét chữ số tận cùng7. Dùng tính chất của số chính phương8. Tìm nghiệm riêng9. Hạ bậcPHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾVí dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:a) x2−y2=1998b) x2+y2=1999Giải:a) Dễ chứng minh x2,y2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên x2−y2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.b) x2,y2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x2+y2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình9x+2=y2+yGiải:Biến đổi phương trình: 9x+2=y(y+1)Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y(y+1) chia cho 3 dư 2.Chỉ có thể: y=3k+1, y+1=3k+2 với k nguyênKhi đó: 9x+2=(3k+1)(3k+2) ⇔9x=9k(k+1) ⇔x=k(k+1)Thử lại, x=k(k +1), y=3k+1 thỏa mãn phương trình đã cho.Đáp số {x=k(k+1) y=3k+1 với k là số nguyên tùy ýPHƯƠNG PHÁP 2. ĐƯA VỀ DẠNG TỔNGPhương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2+y2−x−y=8 (1)Giải: (1)⇔4x2+4y2−4x−4y=32 ⇔(4x2+4x+1)+(4y2−4y+1)=34 ⇔|2x−1|2+|2y−1|2=32+52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 32,52. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: {|2x−1|=3 |2y−1|=5 hoặc {|2x−1|=5 |2y −1|=3 Giải các hệ trên ⇒phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), (−1 ; −2), (−2 ; −1)PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨCPhương pháp:Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức …1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩnVí dụ 4: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúngGiải:Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x,y,z. Ta có: x+y+z=x.y.z (1)Chú ý rằng các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1⩽x⩽y⩽zDo đó: xyz=x+y+z⩽3zChia hai vế của bất đảng thức xyz⩽3z cho số dương z ta được: xy⩽3Do đó xy∈{1;2;3}Với xy=1, ta có x=1,y=1. Thay vào (1) được 2+z=z (loại)Với xy=2, ta có x=1,y=2. Thay vào (1) được z=3Với xy=3, ta có x=1,y=3. Thay vào (1) được z=2 loại vì y⩽zVậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.Cách 2: Chia hai vế của (1) cho xyz≠0 được: 1yz+1xz+1xy=1Giả sử x⩾y⩾z ⩾1 ta có1=1yz+1xz+1xy⩽1z2+1z2+1z2=3z2Suy ra 1⩽3z2 do đó z2⩽3 nên z = 1. Thay z = 1 vào (1): x+y+1=xy ⇔xy−x−y=1 ⇔x(y−1)−(y−1)=2 ⇔(x−1)(y−1)=2Ta có x−1⩾y−1⩾0 nên (x−1,y−1)=(2,1)Suy ra (x,y)=(3,2)Ba số phải tìm là 1; 2; 3Ví dụ 5:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 5(x+y+z+t)+10=2xyzt.Giải:Vì vai trò của x,y,z,t như nhau nên có thể giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t.Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 ⇒yzt⩽15⇒t3⩽15⇒t⩽2Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 ⇒2yz⩽30⇒2z2⩽30⇒z⩽3Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 .Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t=2. Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x;y;z;t)=(35;3;1;1);(9;5;1;1) và các hoán vị của các bộ số này.2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩnVí dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1x+1y=13Giải:Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x⩾y. Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là y).Hiển nhiên ta có 1y<13 nên y>3 (1)Mặt khác do x⩾y⩾1 nên 1x⩽1y. Do đó:13=1x+1y⩽1y+1y=2y nên y⩽6 (2)Ta xác định được khoảng giá tri của y là 4⩽y⩽6Với y=4 ta được: 1x=13−14=112 nên x=12Với y=5 ta được: 1x=13−15=215 loại vì x không là số nguyênVới y=6 ta được: 1x=13−16=16 nên x=6Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6)3. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyênVí dụ 7: Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2x+3x=5xGiải:Viết phương trình dưới dạng:(25)x+(35)x=1 (1)Với x=0 thì vế trái của (1) bằng 2, loại.Vớix=1 thì vế trái của (1) bằng 1, đúngVới x⩾2 thì (25)x<25,(35)x<35 nên: (25)x+(35)x<25+35=1 loạiNghiệm duy nhất của phương trình là x = 14. Sử dụng diều kiện Δ⩾0 để phương trình bậc hai có nghiệmVí dụ 8: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x+y+xy=x2+y2 (1)Giải:Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x: x2−(y+1)x+(y2−y)=0 (2)Điều kiện cần để (2) có nghiệm là Δ⩾0△ =(y+1)2−4(y2−y)= −3y2+6y+1⩾0 ⇔3y2−6y−1⩽0 ⇔3(y−1)2⩽4Do đó ⇔(y−1)2⩽1 suy ra: y∈{0,1,2} Với y=0 thay vào (2) được x2−x=0⇔x1=0;x2=1Với y=1 thay vào (2) được x2−2x=0⇔x3=0;x4=2Với y=2 thay vào (2) được x2−3x+2=0⇔x5=1;x6=2Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1)Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2)Bài tập rèn luyện:Bài 1: Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên (x,y) thỏa mãn : y(x–1)=x2+2.Hướng dẫn:Ta có y(x–1)=x2+2⇒y=x2+2x−1=x+1+3x−1Vì x,y nguyên nên x–1 là ước của 3Vậy(x,y)=(4,6);(2,6);(−2,−2);(0,−2)Bài 2: Tìm x,y ∈Z thỏa mãn : 2x2–2xy=5x–y–19 .Hướng dẫn:(x,y)=(0,−19);(1,16);(9,8)và(−8,−11)Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2+2xy–243y+x=0Hướng dẫn:Ta có xy2+2xy–243y+x=0⇔ x(y+1)2=243y (1)Từ (1) với chú ý rằng (y+1;y)=1 ta suy ra (y+1)2 là ước của 243.Vậy (x,y)=(54,2);(24,8)Bài 4: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : x<y <z và 5x+2.5y+5z=4500.Hướng dẫn:Nếu z<5 thì 5x+2.5y+5z<4500.Nếu z>5 thì 5x+2.5y+5z> 4500.Vậy x=3,y=4,z=5.Bài 5:Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1x+1y=14Hướng dẫn: Giả sử 1⩽x⩽y thì 1x⩾1y14=1x+1y⩽2x⇒x ⩽8 1x<14⇒x>4 Vậy 4<x⩽8, thử chọn để tìm nghiệm.Đáp số: (5 ; 20), (20 ; 5), (6 ; 12), (12 ; 6), (8 ; 8)Bài 6:Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương: x17+y17=1917Hướng dẫn:Giả sử x17+y17=1917 và 1⩽x⩽y<19Ta có:1917⩾(y+1)17 ⇒ 1917>y17+17y16 Vậy x>17, chỉ có thể x=y=18.Thử lại, x=y=18 không thỏa.Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.Phương trình nghiệm nguyên Bất đẳng thức |
