Đường thẳng d đi qua M(4;3;1) và song song với đường thẳng ∆ nên có vecto chỉ phương là u→ (2; -3; 2). Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: Câu 3: Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0 Lời giải: Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến np→(1; -2; 3) là: Vì đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có vecto chỉ phương là ud→ = np→(1; -2; 3) . Phương trình chính tắc của d: Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
Lời giải: Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên đường thẳng d có vectơ chỉ phương là (0 ;0 ;1). Từ đó suy ra A là khẳng định sai. Câu 5: Cho tam giác ABC có A(1; -2; 3), B(0; 5; 6), C(1; 3; 2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC. Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
Lời giải: Ta có thể thấy ngay rằng các khẳng định A và C đều đúng. Ta có Mặt khác ta có Từ đó ta suy ra là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH. Vậy D là khẳng định sai. Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; -1), B(3; -5; 2) . Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: Lời giải: Đường thẳng AB đi qua điểm B(3;-5;2) và có vectơ chỉ phương là AB→ . Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: Câu 7: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1), vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng (P): 2x - 3y + z - 2 = 0.
Lời giải: Từ giả thiết suy ra Mặt khác đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 2+ 4t, y = -1, + 5t, z = 1 + 7t . Vậy đáp án đúng là B Câu 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;1) , vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng d2: x = -1, y = t, z = 1 + t Lời giải: Gọi A = d ∩ d2 . Ta có A ∈ d2 => A(-1; a; a+ 1). Theo giả thiết: Thay vào (*) ta được : -1.3 + (a - 1).1 + a.1 = 0 <=> 2a - 4 = 0 <=> a = 2 <=> ud→ = MA→ = (-1; 1; 2) Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là : Vậy đáp án đúng là A. Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau : (P): x + y + z - 1 = 0, (Q): 3x + 2y + z + 1 = 0
Lời giải: Tọa độ các điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình : Đặt z=t, thay vào hệ trên ta được : Vậy đáp án đúng là B. Câu 10: Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: x = 2 + 4t, y = -6t, z = -1-8t và
Lời giải: Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương là u1→ = (4; -6; -8) ; đường thẳng d2 đi qua điểm M2(7; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là u2→ = (-6; 9; 12) . Do hai vectơ u1→ và u2→ cùng phương nên các đáp án A và C là sai. Thay tọa độ điểm M1 vào d2 , ta thấy : Do đó hai đường thẳng d1 và d2 song song. Vậy đáp án B là đúng II. Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? - Phương trình của mặt phẳng (ABC) là: x + y + z - 3 = 0 - Hình chóp O.ABC là hình chóp tam giác đều - Phương trình đường thẳng qua O, vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: x = t, y = t, z = t - Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 3 Lời giải: Phương trình mặt phẳng (ABC) là: Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là: Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ: x = 1 + 2, y = 2 + t, z = 1 + 2t và điểm M(2; 1; 4). Khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là? Lời giải: Cách 1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ. Ta có: H ∈ Δ => H(1 + t; 2 + t; 1 + 2t) <=> 6t - 6 = 0 <=> t = 1 => H(2; 3; 3) Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là: Vậy đáp án đúng là C Cách 2. Δ đi qua điểm A(1 ;2 ;1) và có vectơ chỉ phương là
Ta có: Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau : Cho mặt cầu (S) có một đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho. Bán kính của mặt cầu (S) là? Lời giải: Ta có d1 đi qua điểm M1(7; 3; 9) và có vectơ chỉ phương là u1→ = (1; 2; 1); d2 đi qua điểm M2(3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u2→ .
Bán kính của mặt cầu (S) là : Câu 4: Cho tam giác ABC có ABC có A(2; 2; 1), B(4; 4; 2), C(-2; 4; -3) . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường phân giác trong AD của tam giác ABC. Lời giải: Ta có: Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại điểm E. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại F. Do AD là đường phân giác trong của tam giác ABC nên ta suy ra AEDF là hình thoi. Đặt AE=AF=k. Ta có: là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AD. Từ đó suy ra C là khẳng định đúng. Ta cũng lưu ý rằng khẳng định A sai, do tam giác ABC không cân tại đỉnh A. Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là u→ , với a, b, c khác 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? - Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: - Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + at - Đường thẳng d nằm trong hai mặt phẳng :(P): b(x - x0) - a(y - y0) = 0 và (Q): c(x - x0) - a(z - z0) = 0 - Phương trình đường thẳng d là: a(x - x0) + b (y - y0) + c(z - z0) = 0 Lời giải: Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau chéo nhau : d1: x = 1 + at, y = t, z = -1 + 2t, d2: x = 1 - t', y = 2 + 2t', z = 3 - t' Lời giải: Hai đường thẳng d1, d2 lần lượt đi qua hai điểm M1(1; 0; -1), M2(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương lần lượt là Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi : ⇔ -5.0 + (a - 2).2 + (2a + 1).4 ≠ 0 ⇔ 10a ≠ 0 ⇔ a ≠ 0 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau vuông góc d1: x = 1 - t, y = 1 + 2t, z = 3 + at, d2: x = a + at, y = -1 + t, z = -2 + 2t Lời giải: Hai đường thẳng đã cho có hai vecto chỉ phương là u1→(-1; 2; a); u2→(a; 1; 2) Để hai đường thẳng sau vuông góc thì u1→.u2→ = -1.a + 2.1 + a.2 = 0 ⇔ a + 2 = 0 ⇔ a = -2 Câu 8: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 1 + 2t, y = 1 - t, z = 1 - t và mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là? Lời giải: Đường thẳng d đi qua điểm A( 1 ; 1 ;1) ; có một vecto chỉ phương là ( 2 ; -1 ; -1) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là Ta có: u→.n→ = 2.1 + (-1).1 + (-1).1 = 0 và A ∈ (P) Suy ra, đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P). Câu 9: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 2 + 4t, y = 3 + t, z = -5t và mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là? Lời giải: Đường thẳng d đi qua điểm M(2 ;3 ;0) và có vectơ chỉ phương là ud→ = (4; 1; -5), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là uP→ = (1; 1; 1). Ta có : |
