Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênHướng dẫn, cách giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một hay nhiều phương pháp để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên. Show
I. Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻVí dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn y2 – 2x2 = 1 Hướng dẫn: Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1 ⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105 Hướng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105 Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn 2|x|+ y + x2 + x = 2|x|+ y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|lẻ ⇒ 2|x|= 1 ⇒ x = 0 Thay x = 0 vào phương trình ta được (5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0 ⇒ y = 4 hoặc y = $ \displaystyle -\frac{26}{5}$( loại) Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tíchThực chất là biến đổi phương trình về dạng: g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 ⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= 1 ⇔$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=1\end{array} \right.$ hoặc$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=-1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=-1\end{array} \right.$ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}1+y=1-y\\-1+y=-1-y\end{array} \right.$ ⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2 Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 ) III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạnSử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau: Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1 Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt Do x≥ y≥z ≥ 2 nên 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11 ⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z) = ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị IV. Phương pháp 4: Phương pháp loại trừKhẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1! + 2! + … + x! = y2 Hướng dẫn: Với x ≥ 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3 Þ 1! + 2! + … + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương (loại) Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x = {1;2;3;4} Thử vào phương trình ta được (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn. Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trìnhy2 + y = x4 + x3 + x2 + x Hướng dẫn: Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2+4y+1=4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x+1 ⇒ (2x2 + x ) 2 – (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1) hay (2x2 + x + 1) 2 – (2y+ 1)2 = x(x-2) Ta thấy: Nếu x> 0 hoặc x< – 1 thì (3x + 1) (x +1) > 0 Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x (x-2) > 0 ⇒ Nếu x>2 hoặc x< 1 thì (2x2 + x) <(2y+1)2 < (2x2 + x + 1) 2 (loại) ⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, -1, 2 Xét x = 2 ⇒ y2 + y =30 ⇒ y = 5 hoặc y= -6 Xét x= 1 ⇒ y2 + y = 4 (loại) Xét x = 0 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y (y + 1) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = -1 Xét x = -1 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y= -1 Vậy nghệm nguyên của phương trình là: (x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1) V. Phương pháp 5: Dùng chia hết và có dưVí dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – 2y2 = 5 Hướng dẫn: và x2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 y2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3 ⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 dư ±1 hoặc ±2 (loại) Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm. Ví dụ 8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn x2 + 3y= 3026 Hướng dẫn: Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025 mà xº ∈ N ⇒ x = 55 Xét y > 0 ⇒ 3y chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 ⇒ x2 + 3ychia cho 3 dư 0 hoặc 1 mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại) Vậy nghiệm (x,y) = (55,0) 6. Phương pháp 6 : Sử dụng tính chất của số nguyên tốVí dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn xy + 1 = z Hướng dẫn: Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3 Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2 Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 (thoả mãn) Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z Có 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ (2.4k+1) chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn (loại) Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn VII. Phương pháp 7: Đưa về dạng tổngVí dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 – x – y = 8 Hướng dẫn: Ta có x2 + y2 –x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32 ⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52 Do đó ta có $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=3\\|2y-1|=5\end{array} \right.$ hoặc $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=5\\|2y-1|=3\end{array} \right.$ Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó. Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trìnhx2 – 4xy + 5y2 = 169 Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0) VIII. Phương pháp 8: Lùi vô hạnVí dụ 12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình x2 – 5y2 = 0 Hướng dẫn: Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0 Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 + z2 = x2 y2 Hướng dẫn: Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1 Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 Ta có x+ y+z= xy lập luận tương tự ta có x+ y+ z= 16 xy Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì $ \displaystyle \left( \frac{{{x}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{y}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{z}_{1}}}{2_{{}}^{k}} \right)$là nghiệm của phương trình với k nguyên dương ⇒x1 = y1 = z1 = 0 Vậy phương trình có nghiệm là (0, 0, 0) IX. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số. Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 Hướng dẫn: Ta có PT: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 ⇒ y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có ⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 Hướng dẫn: Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2 Ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.$ ⇒ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=5y+25\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.$ ⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23 ⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2) ⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2 thay vào phương trình ta tìm được các cặp số (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình X.Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thứcVí dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 –xy + y2 = 3 Hướng dẫn: Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ \displaystyle \frac{y}{2}$)2 = 3 –$ \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}$ Ta thấy (x-$ \displaystyle \frac{y}{2}$)2= 3 –$ \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}$≥ 0 ⇒ -2≤ y≤ 2 ⇒ y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) Bài tập phương trình nghiệm nguyên: Tin tức - Tags: nghiệm nguyên, phương trình
|