I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG II. VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 ] Hỏi hàm số $y = 2{x^4} + 1$ đồng biến trên khoảng nào ? A. $\left( { - \propto ; - \frac{1}{2}} \right)$ B. $\left( {0; + \propto } \right)$ C. $\left( { - \frac{1}{2}; + \propto } \right)$ D. $\left( { - \propto ;0} \right)$Cách 1 : CASIO MODE 7 Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -10 End $ - \frac{1}{2}$ Step 0.5 Ta thấy khi x càng tăng thì tương ứng $f\left( x \right)$ càng tăng $ \Rightarrow $ Đáp án B đúng Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀM Kiểm tra khoảng $\left( { - \propto ; - \frac{1}{2}} \right)$ ta tính $f'\left( { - \frac{1}{2} - 0.1} \right)$Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến) $ \Rightarrow $ Giá trị $ - \frac{1}{2} - 0.1$ vi phạm $ \Rightarrow $ Đáp án A sai Kiểm tra khoảng $\left( { - \propto ;0} \right)$ ta tính $f'\left( {0 - 0.1} \right)$ Điểm $0 - 0.1$ vi phạm $ \Rightarrow $ Đáp án D sai và C cũng sai $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là B Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không . Ta tính $f'\left( {1 + 0.1} \right) = \frac{{1331}}{{125}}$ $ \Rightarrow $ Chính xác Hàm số bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm các hệ số này trong đầu. Sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3 Rõ ràng $x \ge 0$ Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm $y' = 8{x^3}$ Để hàm số đồng biến thì $y' \ge 0 \Leftrightarrow {x^3} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$ . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \propto } \right)$ Bình luận: Khi sử dụng Casio ta phải để ý: Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì sẽ luôn tăng khi x tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng. Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ] Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là : A. $m \le 1$ B. $m \ge 3$ C. $ - 1 \le m \le 3$ D. $m < 3$Để giải các bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m Hàm số đồng biến $ \Leftrightarrow y' \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 3{x^3} - 6x = f\left( x \right)$ Vậy để hàm số y đồng biến trên tập xác định thì $m \ge f\left( x \right)$ hay $m \ge f\left( {\max } \right)$ với mọi x thuộc R Để tìm Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ ta vẫn dùng chức năng MODE 7 nhưng theo cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min maxQuan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn nhất của f(x) là 3 khi x = - 1 Vậy m ≥ 3 Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm $y' = 3{x^2} + 6x + m$ Để hàm số đồng biến thì $y' \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + m \ge 0$ với mọi $x \in R$ (*) $ \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow 9 - 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 3$ Bình luận: Kiến thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2: “Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ có $\Delta \le 0$ thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với a” . Câu 3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 ] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{{\tan x - 2}}{{\tan x - m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$ A. $\left[ \begin{array}{l} m \le 0\\ 1 \le m < 2 \end{array} \right.$ B. $m < 2$ C. $1 \le m < 2$ D. $m \ge 2$Để bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ \: Đặt $\tan x = t$ . Đổi biến thì phải tìm miền giá trị của biến mới. Để làm điều này ta sử dụng chức năng MODE 7 cho hàm $f\left( x \right) = \tan x$ .Ta thấy $0 \le \tan x \le 1$ vậy $t \in \left( {0;1} \right)$ Bài toán trở thành tìm m để hàm số $y = \frac{{t - 2}}{{t - m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ Tính đạo hàm : $y' = \frac{{\left( {t - m} \right) - \left( {t - 2} \right)}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}} = \frac{{2 - m}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}}$ $y' > 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow m < 2$ (1) Kết hợp điều kiện xác định $t - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne t \Rightarrow m \notin \left( {0;1} \right)$ (2) Từ (1) và (2) ta được $\left[ \begin{array}{l} m \le 0\\ 1 \le m < 2 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow $ Đáp án A là chính xác Bình luận: Bài toán chứa tham só m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta. Nếu không tỉnh táo chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số. $m \ne t$ mà $t \in \left( {0;1} \right)$ vậy $m \notin \left( {0;1} \right)$ .Câu 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ] Với giá trị nào của tham số m thì hàm số $y = \sin x - \cos x + 2017\sqrt 2 mx$ đồng biến trên R A. $m \ge 2017$ B. $m < 0$ C. $m \ge \frac{1}{{2017}}$ D. $m \ge - \frac{1}{{2017}}$Cách 1 : CASIO Tính đạo hàm $y' = \cos x + \sin x + 2017\sqrt 2 m$ $y' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - \sin x - \cos x}}{{2017\sqrt 2 }} = f\left( x \right)$ Để hàm số luôn đồng biến trên R thì $m \ge f\left( x \right)$ đúng với mọi $x \in R$ hay $m \ge f\left( {\max } \right)$ Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số ta lại sử dụng chức năng MODE 7. Vì hàm $f\left( x \right)$ là hàm lượng giác mà hàm lượng giác $\sin x,\cos x$ thì tuần hoàn với chu kì $2\pi $ vậy ta sẽ thiết lập Start 0 End $2\pi $ Step $\frac{{2\pi }}{{19}}$Quan sát bảng giá trị của F(x) ta thấy $f\left( {\max } \right) = f\left( {3.9683} \right) \approx {5.10^{ - 4}}$ Đây là 1 giá trị $ \approx \frac{1}{{2017}}$ vậy $m \ge \frac{1}{{2017}}$ $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm $y' = \cos x + \sin x + 2017\sqrt 2 m$. $y' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - \sin x - \cos x}}{{2017\sqrt 2 }} = f\left( x \right)$ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì ${\left( { - \sin x - \cos x} \right)^2} \le \left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 2$ $ \Rightarrow - \sqrt 2 \le \left( { - \sin x - \cos x} \right) \le \sqrt 2 $ $ \Rightarrow \frac{{ - \sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }} \le f\left( x \right) \le \frac{{\sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }}$ $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{{\sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2017}} \Rightarrow m \ge f\left( {\max } \right) = \frac{1}{{2017}}$ Bình luận: Vì chu kì của hàm $\sin x,\cos x$ là $2\pi $ nên ngoài thiết lập Start 0 End $2\pi $ thì ta có thể thiết lập Start $ - \pi $ End $ - \pi $ Nếu chỉ xuất hiện hàm $\tan x,\,\,\cot x$ mà hai hàm này tuần hoàn theo chu kì π thì ta có thể thiết lập Start 0 End $\pi $ Step $\frac{\pi }{{19}}$Câu 5-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 ] Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2. A. $m = 0$ B. $m < 3$ C. $m = 2$ D. $m > 3$Cách 1 : CASIO Tính $y' = 3{x^3} + 6{x^2} + m$ Ta nhớ công thức tính nhanh “Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $\alpha $ thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng $\alpha $” Với $\alpha $ là một số xác định thì $m$ cũng là 1 số xác định chứ không thể là khoảng $ \Rightarrow $ Đáp số phải là A hoặc C . Với $m = 0$ phương trình đạo hàm $3{x^2} + 6x = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 0 \end{array} \right.$ và khoảng cách giữa chúng bằng 2 => Đáp án A là chính xácCách tham khảo : Tự luận Tính $y' = 3{x^3} + 6{x^2} + m$. Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ và $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 0$ Theo Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}{x_2} = \frac{m}{3}\end{array} \right.$ Giải $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4$ $ \Leftrightarrow 4 - \frac{{4m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 0$Câu 6-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 ] Cho hàm số $y = - {x^4} + 2{x^2} + 1$ . Mệnh đền nào dưới đây đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \propto ; - 1} \right)$ B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \propto ;0} \right)$ C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \propto } \right)$ D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \propto } \right)$Giải bất phương trình đạo hàm với lệnhRõ ràng hàm số đồng biến trên miền $\left( { - \propto ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A Câu 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ] Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên R A. $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ B. $y = {\left( {\frac{5}{{3e}}} \right)^{ - x}}$ C. $y = {\left( \pi \right)^{3x}}$ D. $y = {\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^x}$Hàm số ngịch biến trên R tức là luôn giảm Kiểm tra tính nghịch biến $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$của hàm với chức năng MODE 7 Start -9 End 10 Step 1Ta thấy $f\left( x \right)$ luôn tăng $ \Rightarrow $ A sai Tương tự như vậy , với hàm $y = {\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^x}$ta thấy $f\left( x \right)$ luôn giảm $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D
Câu 8-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình ] Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{{\left( {m - 1} \right)x + 1}}{{2x + m}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định A. $m < 2$ B. $\left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.$ C. $m \ne 2$ D. $ - 1 < m < 2$Chọn m= -3 . Khảo sát hàm $y = \frac{{\left( { - 3 - 1} \right)x + 1}}{{x - 3}}$ với chức năng MODE 7Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ \Rightarrow $ m= -3 sai $ \Rightarrow $ A, B, C đều sai $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D Chú ý : Việc chọn m khéo léo sẽ rút ngắn quá trình thử đáp án Câu 9 - [Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 ] Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{{m - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)$ A. $m \ge \frac{5}{2}$ B. $m \le \frac{5}{2}$ C. $m \le \frac{5}{4}$ D. $m \ge \frac{5}{4}$Chọn m=3. Khảo sát hàm $y = \frac{{3 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$ với chức năng MODE 7Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ \Rightarrow $ m= 3 sai $ \Rightarrow $ A, D đều sai Chọn $m = 1.3$ . Khảo sát hàm $y = \frac{{1.3 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$ với chức năng MODE 7 Ta thấy hàm số luôn $ \Rightarrow $ $m = 1.3$ đúng $ \Rightarrow $ B là đáp số chính xác (Đáp án C không chứa 1.3 nên sai) Câu 10-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 ] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = 2{\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + m\sin x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ A. $m > 0$ B. $m < \frac{3}{2}$ C. $m \ge \frac{3}{2}$ D. $m > \frac{3}{2}$Chọn $m = 5$ . Khảo sát hàm $y = 2{\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + 5\sin x$ với chức năng MODE 7Ta thấy hàm số luôn giảm $ \Rightarrow $ $m = - 5$ sai $ \Rightarrow $ B sai Chọn $m = 1$ . Khảo sát hàm $y = 2{\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + \sin x$ với chức năng MODE 7 Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ \Rightarrow $ m=1 sai $ \Rightarrow $ A sai Chọn $m = \frac{3}{2}$ . Khảo sát hàm $y = 2{\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + \frac{3}{2}\sin x$ với chức năng MODE 7 Ta thấy hàm số luôn tăng $ \Rightarrow $ $m = \frac{3}{2}$ đúng C sai Câu 11 [Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 ] Tìm $m$ để hàm số $y = m{x^3} - {x^2} + 3x + m - 2$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 3;0} \right)$ ? A. $m = 0$ B. $m = \pm 1$ C. $3m \ne \pm 1$ D. $m = 1$Tính đạo hàm $y' = 3m{x^2} - 2x + 3$ . Hàm số đồng biến $ \Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}} = f\left( x \right)$ Vậy $m \ge f\left( {\max } \right)$ trên miền $\left( { - 3;0} \right)$ . Tìm $f\left( {\max } \right)$ bằng lệnh MODE 7Ta thấy $f\left( {\max } \right) = 0.3333... = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow $ $m \ge \frac{1}{3}$ sai $ \Rightarrow $ D là đáp số chính xác Câu 12 [Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 ] Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{{{e^x} - m - 2}}{{{e^x} - {m^2}}}$ đồng biến trong khoảng $\left( {\ln \frac{1}{4};0} \right)$ A. $m \in \left[ { - 1;2} \right]$ B. $m \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$ C. $m \in \left( {1;2} \right)$ D. $m \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1;2} \right)$Chọn m=1 . Khảo sát hàm $y = \frac{{{e^x} - 1 - 2}}{{{e^x} - {1^2}}}$ với chức năng MODE 7Ta thấy hàm số luôn tăng trên $ \Rightarrow $ m=1 nhận $ \Rightarrow $ A, D có thể đúng Chọn m= -1 . Khảo sát hàm $y = \frac{{{e^x} - \left( { - 1} \right) - 2}}{{{e^x} - {{\left( { - 1} \right)}^2}}}$ với chức năng MODE 7 Ta thấy hàm số luôn không đổi (hàm hằng) $ \Rightarrow $ m= -1 loại $ \Rightarrow $ A sai và D là đáp số chính xac Câu 13 [Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 ] Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số $y = 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 3$ nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3. A. $\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 0\end{array} \right.$ B. $m > 6$ C. $m < 0$ D. $m = 9$Tính $y' = 6{x^2} + 6\left( {m - 1} \right)x + 6\left( {m - 2} \right)$ . Theo Vi-et ta có : $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 1 - m\\ {x_1}{x_2} = m - 2 \end{array} \right.$ Khoảng nghịch biến lớn hơn 3 $ \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} > 9$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 9 > 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) - 9 > 0$ Sử dụng MODE 7 với Start - 3 End 10 Step 1 để giải bất phương trình trênXem đính kèm 2887 Ta nhận được $\left[ \begin{array}{l} m > 6\\ m < 0 \end{array} \right.$=> A là đáp số chính xác. |