Chuyên đề 10: Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến Những tính chất cần nhớ: 1). Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại thì 2
). Đảo lại nếu hai đường thẳng cắt nhau tại và thì bốn điểm thuộc một đường tròn. 3). Nếu là tiếp tuyến và là cát tuyến thì
4). Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến , là trung điểm thì năm điểm nằm trên một đường tròn.
5). Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến thì
Ta có: Tương tự ta cũng có: mà nên suy ra Chú ý: Những tứ giác quen thuộc như trên thì ta luôn có: và NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU Bài 1: Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến đến . Gọi là giao điểm và . Vẽ dây qua . Chứng minh
Giải:
Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến , tiếp tuyến. Ta có: là tứ giác nội tiếp và nên ta có: Mặt khác là tứ giác nội tiếp nên Từ đó suy ra hay là tứ giác nội tiếp.
suy ra là phân giác của góc Bài 2: Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến đến . Gọi là giao điểm và . Chứng minh
G
iải:
Mặt khác tam giác vuông tại và nên suy ra hay là tứ giác nội tiếp
Mặt khác ta có: Trường hợp 1: Tia thuộc nửa mặt phẳng chứa và bờ là (h1) Hai góc có 2 góc phụ với nó tương ứng là mà nên hay là tia phân giác của góc Trường hợp 2: Tia thuộc nửa mặt phẳng chứa và bờ là (h2) thì tương tự ta cũng có là tia phân giác của góc Suy ra Đường thẳng chứa phân giác của góc . Bài 3. Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến đến . Gọi là trung điểm . Vẽ dây đi qua . Chứng minh Giải:
Để chứng minh ta chứng minh Ta có ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung ). Mặt khác là phân giác góc nên . Vì cùng nằm trên đường tròn đường kính nên Bài 4. Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến đến . Gọi là trung điểm . Đường thẳng qua song song với cắt tại . Chứng minh Giải:
Ta có . Mặt khác cùng chắn cung nên suy ra hay là tứ giác nội tiếp. Do đó . Mặt khác ta có cùng nằm trên đường tròn đường kính nên Từ đó suy ra . Mà Nhận xét: Mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề .Thay vì chứng minh ta chứng minh Bài 5: Cho đường tròn dây cung . Gọi là điểm đối xứng với qua . Kẻ tiếp tuyến với đường tròn . Tiếp tuyến của đường tròn tại cắt ở . Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn . Chứng minh rằng . Giải:
Ta cần chứng minh: Mặt khác ta có: nên ta sẽ chứng minh hay Thật vậy theo tính chất 5 ta có: mà Tứ giác nội tiếp nên Hay Bài 6 Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến đến . Gọi là giao điểm và . Vẽ dây qua . Chứng minh Giải:
Kẻ Ta chứng minh được: là tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên mà . Mặt khác ta có: . Từ đó suy ra Chú ý: là hình thang cân có hai đáy là Bài 7: Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến đến . Gọi là giao điểm và . Kẻ vuông góc với cắt ở . Chứng minh
G
iải:
là tứ giác nội tiếp nên . Do đó các góc phụ với chúng bằng nhau: . Suy ra là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc).
Mặt khác là tứ giác nội tiếp nên thuộc một đường tròn. Từ đó dễ chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn Bài 8) Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến đến . Vẽ đường kính . Các dây cắt theo thứ tự ở . Chứng minh rằng . Giải:
Ta vẽ trong hình trường hợp và nằm khác phía đối với . Các trường hợp khác chứng minh tương tự. Để chứng minh , ta sẽ chứng minh . Ta đã có , cần chứng minh , muốn vậy phải có . Ta sẽ chứng minh . Chú ý đến là đường kính, ta có , do đó ta kẻ Ta có là tứ giác nội tiếp, suy ra (1) Sử dụng bài 2, ta có là tứ giác nội tiếp và (2). Từ (1) và (2) suy ra . Ta lại có nên . HS tự giải tiếp. Bài 9 Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến đến . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng . Giải:
Kẻ , cắt ở . Theo bài 7 , là tiếp tuyến của đường tròn , nên theo bài toán quen thuộc 3, ta có là tứ giác nội tiếp, suy ra (2). Từ (1) và (2) suy ra . Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau: (g.g) nên |
