Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Đê-cac vuông góc OxyzOxyz cho điểm A(1;2;3)A(1;2;3) và hai đường thẳng

d1:x2=y+1−2=z−21;d2:⎧⎩⎨⎪⎪x=4ty=−2z=3td1:x2=y+1−2=z−21;d2:{x=4ty=−2z=3t

Viết phương trình đường thẳng đi qua AA và cắt hai cả hai đường thẳng d1,d2d1,d2.

Giải.

Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(A,d1)mp(A,d1) (với cặp vectơ chỉ phương là a⃗ =(2;−2;1);BA−→−=(1;3;1)a→=(2;−2;1);BA→=(1;3;1) và mp(A,d2)mp(A,d2) (với cặp vectơ chỉ phương là b⃗ =(4;0;3);CA−→−=(1;4;3)b→=(4;0;3);CA→=(1;4;3)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là (a⃗ ×BA−→−)×(b⃗ ×CA−→−)(a→×BA→)×(b→×CA→)

w513 nhập VctA

T123 nhập VctB

T133 nhập VctC

T143 nhập VctD

Đáp số: x−156=y−2−16=z−333

Giả sử ∆ cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B, ta tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}};B\in {{d}_{2}}$theo ẩn t và u.

Do $\Delta //d\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow t;u\Rightarrow $tọa độ các điểm A,B.

Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Chú ý:

R Trường hợp: $\Delta \bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow $t và u.

R Trường hợp: ∆ đi qua điểm M $\Rightarrow M,A,B$thẳng hàng ta giải $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow t;u$và k.

Bài tập viết phương trình đường thẳng oxyz có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): $(P):x+y+z-1=0$đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=-1+t \\ {} y=-1 \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Lấy $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M(1+2t;-1-t;t);N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N(-1+u;-1;-u)$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left( u-2t-2;t;-u-t \right)$

Do $d\bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow \frac{u-2t-2}{1}=\frac{t}{1}=\frac{-u-t}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=\frac{4}{5} \\ {} t=-\frac{2}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( \frac{1}{5};\frac{-3}{5};\frac{-2}{5} \right)$

Phương trình đường thẳng d là: ${{d}_{1}}:\frac{x-\frac{1}{5}}{1}=\frac{y+\frac{3}{5}}{1}=\frac{z+\frac{2}{5}}{1}$

Bài tập 2: phương trình đường thẳng d đi qua $A(1;-1;1)$biết d cắt cả hai đường ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+1}{-2}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=2-t \\ {} y=t \\ {} z=3t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Gọi $B(1+2u;-3-u;-1+2u)\in {{d}_{1}}$và $C(2-t;t;3t)\in {{d}_{2}}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2u;u-2;2u-2 \right);\overrightarrow{AC}=(1-t;t+1;3t-1)$

Do A, B, C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} 2u=k(1-t) \\ {} u-2=k(t+1) \\ {} 2u-2=k(3t-1) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2u-k+kt=0 \\ {} u-k-kt=2 \\ {} 2u+k-3kt=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=0 \\ {} k=-1 \\ {} kt=-1 \\ \end{array} \right.$

Suy ra $u=0;t=1\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=(0;1;1)\Rightarrow d:\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-1+t \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d1 và d2 có phương trình là

A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$

C. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ D. $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$

Lời giải chi tiết

Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại

$M,N\Rightarrow M(1-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}),N(5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}})$

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2;2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4;-{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4 \right)$và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;3 \right)$

Mà d vuông góc với (P) nên $\overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{P}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2=k \\ {} 2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4=2k \\ {} -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4=3k \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{t}_{1}}=2 \\ {} {{t}_{2}}=1 \\ {} k=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} M(1;-1;0) \\ {} N(2;1;3) \\ \end{array} \right.$

$\overrightarrow{MN}=(1;2;3)\Rightarrow d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$. Chọn A.

Bài tập 4: Phương trình đường thằng song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{-1}$và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$

A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$ D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$

Lời giải chi tiết

Gọi $A(-1+2t;-1+t;2-t)\in {{d}_{1}};B(1-u;2+u;3+3u)\in {{d}_{2}}$

Khi đó: $\overrightarrow{AB}=\left( 2-u-2t;3+u-t;1+3u+t \right)$

Do $AB//d\Rightarrow d:\frac{2-u-2t}{1}=\frac{3+u-t}{1}=\frac{1+3u+t}{-1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=1 \\ {} u=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow A(1;0;1)\Rightarrow (\Delta ):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$

Chọn B.

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}$và $\left\{ \begin{array} {} x=-1+2t \\ {} y=1+t \\ {} z=3 \\ \end{array} \right.(t\in \mathbb{R})$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $(P):7x+y-4z=0$và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là

A. $\frac{x}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$ B. $\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$

C. $\frac{x+1}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-4}$ D. $\frac{x+\frac{1}{2}}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-\frac{1}{2}}{-4}$

Lời giải chi tiết

Giả sử $d\cap {{d}_{1}}=A\Rightarrow A\in {{d}_{1}}$nên $A(2u;1-u;u-2)$

$d\cap {{d}_{2}}=B\Rightarrow B\in {{d}_{2}}$nên $B(2t-1;t+1;3)$

Vì thế $\overrightarrow{AB}=\left( 2t-2u-1;t+u;5-u \right)$là vecto chỉ phương của d.

Do $d\bot (P)$nên $\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{n}=(7;1;-4)$ở đây $\overrightarrow{n}$là vecto pháp tuyến của mp (P)

Từ đó có hệ phương trình $\frac{2t-2u-1}{7}=\frac{t+u}{1}=\frac{5-u}{-4}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2t-2u-1=7t+7u \\ {} 4(t+u)=u-5 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=-2 \\ {} u=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-7;-1;4)$và đường thẳng d đi qua điểm $A(2;0;-1)$nên

$(d):\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$. Chọn B.

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}$;${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-4}$;${{d}_{3}}:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$;${{d}_{4}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$

Gọi ∆ là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆?

A. $\overrightarrow{n}=(2;1;1)$ B. $\overrightarrow{n}=(2;1;-1)$ C. $\overrightarrow{n}=(2;0;-1)$ D. $\overrightarrow{n}=(1;2;-2)$

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{1}})}}}=\left( 1;2;-2 \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{2}})}}}=\left( 2;4;-4 \right)$suy ra $\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{2}})}}}=2\overrightarrow{{{u}_{({{d}_{1}})}}}\Rightarrow ({{d}_{1}})//({{d}_{2}})$

Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1), d(2) là $y+z-2=0$

Gọi $A=({{d}_{3}})\cap (P)\Rightarrow A\left( 1;\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)$và $B=({{d}_{4}})\cap (P)\Rightarrow B\left( 4;2;0 \right)\to \overrightarrow{AB}=\left( 3;\frac{3}{2};-\frac{3}{2} \right)$

Khi đó $\overrightarrow{AB}$ và ${{u}_{({{d}_{1}})}}$không cùng phương $\Rightarrow AB$cắt đường thẳng (d1), (d2)

Vậy $\overrightarrow{{{u}_{(\Delta )}}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;-1 \right)$là vecto chỉ phương của đường thẳng cắt (d1), (d2), (d3), (d4).

Chọn B.

Bài tập 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho điểm $M(3;3;-2)$và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}$;${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$. Đường thẳng d qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A.3 B. 2 C. $\sqrt{6}$ D. $\sqrt{5}$

Lời giải chi tiết

Gọi $A(1+t;2+3t;t)\in {{d}_{1}};B(-1-u;1+2u;2+4u)\in {{d}_{2}}$

Ta có: $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} t-2=k(-u-4) \\ {} 3t-1=k(2u-2) \\ {} t+2=k(4u+4) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t+4k+ku=2 \\ {} 3t+2k-2ku=1 \\ {} t-4k-4ku=-2 \\ \end{array} \right.$

Giải hệ với ẩn t; k và ku $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} t=0 \\ {} k=\frac{1}{2} \\ {} ku=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow t=0;u=0\Rightarrow A(1;2;0);B(-1;1;2)\Rightarrow AB=3$. Chọn A.