Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {AB} \).
Ví dụ 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?
- Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B .
I. Phương pháp
Bài toán: Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ).
Cách giải :
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .
- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định \( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {B'C} \). Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo \(\overrightarrow v = \overrightarrow {B'C} \)
- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : \(\overrightarrow {{\rm{OO}}'} = \overrightarrow {B'C} \). Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .
- Theo tính chất hình bình hành : BA=DC \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \). Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên \(\overrightarrow {AB} \) cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {AB} \) , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O
- Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ \(\overrightarrow {{\rm{OO}}'} = \overrightarrow {AB} \). Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D.
a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {AB} \). Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’).
b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB
c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho .
- Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : \(\overrightarrow {MH} = 2\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \). Vậy phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {BA} \) biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow {BA} \).
- Tương tự đối với tam giác NPQ .
Page 2
Bài toán: Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) ( thuộc H ). Tìm quỹ tích của điểm N khi M thay đổi .
Ví dụ 2. ( Bài 17-tr19-HH11NC).
Ví dụ 3. ( Bài 34-tr10-BTHH11NC) .
Ví dụ 4. ( Bài 35-tr10-BTHH11NC).
Chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm D .
Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MN
Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm I ta suy ra quỹ tích của N
Ví dụ 1. ( bài toán 2-tr17-HH11NC).
Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định . Với mỗi điểm M , ta xác định điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \). Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) .Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) , suy ra : \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MI} \). Có nghĩa là I là trung điểm của MM’
Ví A,B cố định , cho nên I cố định . Do đó \({D_I}:M \to M'\) . Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R)
Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO . Sau đó lấy O’ làm tâm , quay đường tròn có bán kính R .
Page 3
Dạng 3: QUỸ TÍCH ĐIỂM
Để giải một bài toán quỹ tích điểm M khi điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn . Trước hết ta cần phải làm một số việc sau
1. Trong hình H đã cho , ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn nào đó ( có thể là đường tròn , có thể là một đường thẳng ) sao cho AM nằm trên một đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó
2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng , từ đó tìm ra một tỉ số không đối k
3. Viết đẳng thức véc tơ : \(\overrightarrow {IM} = k\overrightarrow {IA} \) để kết luận M là ảnh của A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự là k .
4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k . Nêu cách dựng (C’) .
Ví dụ 2. ( Bài 8 ÔN chương I-tr35-HH11-NC)
Ví dụ 3. ( Bài 9-tr35-HH11NC)
Ví dụ 4. ( Bài toán 6-tr39-HH11CB).
Ví dụ 1. ( Bài 29-tr29-HH11NC) .
Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định khác O . Một điểm M thay đổi trên đường tròn . Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N . Tìm quỹ tích điểm N .- Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của đường phân giác trong chia cạnh đối diẹn làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của hai cạnh đó . Ta có kết quả sau :
* Do O,I cố định cho nên OI=a không đổi . Gọi N là chân đường phân giác của góc MOI ( N thuộc IM) , từ đó ta có : \(\frac{{NI}}{{NM}} = \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{a}{R} \Leftrightarrow \frac{{NI}}{{NM + NI}} = \frac{a}{{a + R}} \Leftrightarrow IN = \frac{a}{{a + R}}IM\)
Hay : \( \Leftrightarrow IN = \frac{a}{{a + R}}IM \Rightarrow \overrightarrow {IN} = \frac{a}{{a + R}}\overrightarrow {IM} \).
Vì I cố định cho nên \({V_{\left( {I,k} \right)}}:M \to N\) . Nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên N chạy trên đường tròn (C’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k .
* Cách xác định (O’;R’) như sau
- Nối OI , tìm O’ sao cho : \(\overrightarrow {I{\rm{O}}'} = k\overrightarrow {OI} \) , từ đó suy ra O’
- Bán kính R’ được xác định bằng công thức : k= R’/R suy ra : R’=kR .
( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay một đường tròn có bán kính là O’N )
Ví dụ 5. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;3R) tiếp xúc trong với nhau tại A. Nếu O biến thành O’ trong phép vị tự tâm A thì tỉ số vị tự bằng bao nhiêu ?
- Vẽ hình . Từ giả thiết : AO’=R’, AO=R suy ra AO’=3AO . Hay : \(\overrightarrow {AO'} = 3\overrightarrow {OA} \Rightarrow V_A^3:O \to O'\). Do đó tỉ số vị tự là k=3.
Ví dụ 6. Cho đường tròn O và một điểm P cố định ở ngoài (O) .Từ P kẻ một tiếp tuyến thay đổi PBC . Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC ?
Vẽ hình . Gọi I là trung điểm của BC thì theo tính chất của đường kính đi qua điểm giữa của dây cung : OI vuông góc với BC . Như vậy I nằm trên đường tròn đường kính OP. Mặt khác theo tính chất trọng tâm , thì G nằm trên AI và cách A một khoảng bằng 2/3 AI , hay : \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \Rightarrow V_A^{\frac{2}{3}}:I \to G\). Nhưng I chạy trên đường tròn đường kính OP cho nên G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3. - Cách xác định O’ bằng hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AO'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} \\R' = \frac{2}{3}\frac{{OP}}{2} = \frac{{OP}}{3}\end{array} \right.\). ( Với H là trung điểm của OP )
Ví dụ 7. Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định với OI=2R . M là một điểm di động trên O , phân giác góc IOM cắt IM tại M’ . Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên đường tròn O.
- Vẽ hình . Theo tính chất của đường phân giác trong : \(\frac{{M'I}}{{MM'}} = \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{2R}}{R} = 2 \Rightarrow \frac{{IM'}}{{IM' + M'M}} = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{IM'}}{{IM}} = \frac{2}{3} \to IM' = \frac{2}{3}IM \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {IM} \) Vậy : Qua phép vị tự tâm I tỉ số 2/3 biến điểm M thành điểm M’ , nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên M’ chạy trên (O’;R’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I . - Để xác định (O’;R’) : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {I{\rm{O}}'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {I{\rm{O}}} \\R' = \frac{2}{3}R\end{array} \right.\).
Ví dụ 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong với nhau tại A , đường kính kẻ từ A cắt (O) ,(O’) theo thứ tự tại B,C . Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O);(O’) tại M,N . Tìm quỹ tích giao điểm T của BN và CM , khi d thay đổi ?
Vẽ hình minh họa . Căn cứ hình vẽ , ta có phân tích : BM và CN cùng vuông góc với đường thẳng d , suy ra BM//CN (1) . Hai tam giác OCN đồng dạng với tam giác OBM cho nên : \(\frac{{TN}}{{TB}} = \frac{{CN}}{{BM}} = \frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{2{\rm{R}}'}}{{2{\rm{R}}}} = \frac{{R'}}{R} \Rightarrow \frac{{TN + TB}}{{BT}} = \frac{{R' + R}}{R} \Leftrightarrow \frac{{BN}}{{BT}} = \frac{{R' + R}}{R} = k \leftrightarrow BT = \frac{R}{{R' + R}}BN\) Hay : \(\overrightarrow {BT} = \frac{R}{{R + R'}}\overrightarrow {BN} \Rightarrow V_B^{\frac{R}{{R + R'}}}:N \to T\). Nhưng N chạy trên (O’;R’) cho nên T chạy trên đường tròn ảnh của (O’) qua phép vị tự tâm B tỉ số k = \(\frac{R}{{R + R'}}\). ( HD học sinh cách tìm giới hạn quỹ tích ) .
Ví dụ 9. ( Bài 73-tr17- Ôn CI-BTHH11-NC).
Cho điểm P nằm trong đường tròn (O). Một đường thẳng thay đổi đi qua P , cắt (O) tại hai điểm A,B . Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} \).Vẽ hình minh họa choi học sinh . Căn cứ hình vẽ ta có phân tích : - Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất trung điểm của dây cung thì OI vuông góc với AB , có nghĩa là I chạy trên đường tròn đường kính OP (1) - Theo quy tắc véc tơ trung tuyến ta có : \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {MI} \Rightarrow M\)phải nằm trên d do I,P nằm trên d . Ví : PM=2MI=2(PM-PI) suy ra PM=2PI hay : \(\overrightarrow {PM} = 2\overrightarrow {PI} \Rightarrow V_P^2:I \to M\). Vậy phép vị tự tâm P biến điểm I thành thành M . Nhưng I lại chạy trên (O;OP) vì thế M phải chạy trên đường tròn ảnh của (O) qua phép vị tự tâm P tỉ số k=2.Ví dụ 10. Cho đường tròn (O) và một điểm P ngoài O . M là một điểm thay đổi trên O . H là hình chiếu vuông góc của của O trên PM
a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác POM ? b/ Tìm quỹ tích các điểm H và trung điểm I của PH ? c/ Tìm quỹ tích trọng tâm K của tam giác OPH ?Vẽ hình minh họa cho học sinh . Từ hình vẽ phân tích cho HS biết : -Vì H là hình chiếu của O trên PM cho nên OH vuông góc với PM , cho nên H nằm trên đường tròn O’ có đường kính OP . - Gọi J là trung điểm của PO ( J là tâm đường tròn O’) thì G phải nằm trên MJ và theo tính chất của trọng tâm : \(\overrightarrow {JG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {JM} \Rightarrow V_J^{\frac{1}{3}}:M \to G\). Nhưng M lại chạy trên đường tròn O cho nên G chạy trên đường tròn O’’ là ảnh của O qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 . - Vì I là trung điểm của PH cho nên PI=1/2PH hay : \(\overrightarrow {PI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {PH} \Rightarrow V_P^{\frac{1}{2}}:H \to I\). Nhưng H lại chạy trên tâm J bán kính \(\frac{{OP}}{2}\), cho nên I chạy trên đường tròn ảnh của đường tròn tâm J qua phép vị tự tâm P tỉ số k= ½ . - Trọng tâm K của tam giác OPH phải nằm trên JH và theo tính chất trọng tâm , ta có : \(\overrightarrow {JK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {JH} \Rightarrow V_J^{\frac{1}{3}}:H \to K\). Do vậy K chạy trên đường tròn ảnh của đường tròn tâm J bán kính \(\frac{{OP}}{2}\) qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 .Ví dụ 11. Cho đường tròn O và một điểm A nằm trong O , M là một điểm di động trên đường tròn O .
a/ Tìm quỹ tích trung điểm I của AM ? b/ Đường trung trực AM cắt đường tròn O tại P và P’ . Tìm quỹ tích chân đường vuông góc H kẻ từ O đến PP’ ? c/ Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APP’ ?- Vẽ hình minh họa cho học sịnh . Từ hình vẽ hãy chỉ cho học sinh một số kết quả : * Vì I là trng điểm của AM cho nên : \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \Rightarrow V_A^2:M \to I\). Như vậy qua phép vị tự tâm A tỉ số ½ đã biến M thành I , nhưng M chạy trên đường tròn O , cho nên I chạy trên đường tròn ảnh của O qua phép vị tự tâm A tỉ số k=1/2.* Đường trung trực của AM phải đi qua I và vuông góc với AM .