Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng trong hình lập phương. Khoảng cách giữa các đường thẳng trong không gian là khoảng cách giữa haiTrong vô số bài toán lập thể trong sách giáo khoa hình học, trong các bộ sưu tập bài toán khác nhau, trong đồ dùng dạy học cho các trường đại học, bài toán tìm khoảng cách giữa các đường thẳng là cực kỳ hiếm. Có lẽ điều này là do cả mức độ hạn hẹp trong ứng dụng thực tế của chúng (so với chương trình học ở trường, trái ngược với các bài toán “thắng” về tính diện tích và thể tích), và sự phức tạp của chủ đề này. Show
Thực hành SỬ DỤNG cho thấy nhiều học sinh không bắt đầu hoàn thành các bài tập hình học nằm trong đề thi. Để đảm bảo hoàn thành thành công các nhiệm vụ hình học có mức độ phức tạp tăng lên, cần phải phát triển tính linh hoạt của tư duy, khả năng phân tích cấu hình dự kiến và tách biệt các bộ phận trong đó, việc xem xét chúng cho phép bạn tìm ra cách giải quyết vấn đề. Khóa học của trường liên quan đến việc nghiên cứu bốn cách giải quyết vấn đề để tìm khoảng cách giữa các đường thẳng chéo nhau. Việc lựa chọn phương pháp trước hết được xác định bởi tính đặc thù của một nhiệm vụ cụ thể, khả năng lựa chọn do nó cung cấp, và thứ hai, bởi khả năng và đặc điểm của "tư duy không gian" của một học sinh cụ thể. Mỗi phương pháp này cho phép bạn giải phần quan trọng nhất của vấn đề - việc xây dựng một đoạn vuông góc với cả hai đường thẳng cắt nhau (đối với phần tính toán của các bài toán, không cần chia thành các phương pháp). Các phương pháp chính để giải bài toán tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau Tìm độ dài của đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau, tức là một đoạn có các đầu trên các đường thẳng này và vuông góc với mỗi đường thẳng này. Tìm khoảng cách từ một trong các đường thẳng chéo nhau đến mặt phẳng song song với nó và đi qua một đường thẳng khác. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đi qua hai đường thẳng chéo nhau đã cho. Tìm khoảng cách từ một điểm là hình chiếu của một trong các đường thẳng chéo nhau lên một mặt phẳng vuông góc với nó (cái gọi là "màn hình") đến hình chiếu của một đường thẳng khác lên cùng một mặt phẳng. Chúng tôi sẽ chứng minh tất cả bốn phương pháp đơn giản nhất sau đây nhiệm vụ: "Trong một khối lập phương có cạnh Một tìm khoảng cách giữa một cạnh bất kỳ và đường chéo không cắt nó. ”Đáp số:.  Bức tranh 1 h skr vuông góc với mặt phẳng của mặt bên chứa đường chéo NS và vuông góc với cạnh, do đó, h skr và là khoảng cách giữa các cạnh Một và đường chéo NS. Hình 2 Mặt phẳng A song song với cạnh và đi qua đường chéo đã cho, do đó, h skr không chỉ là khoảng cách từ cạnh đến mặt phẳng A mà còn là khoảng cách từ cạnh đến đường chéo cho trước. Hình 3 Các máy bay A và B song song và đi qua hai đường thẳng giao nhau nên khoảng cách giữa các mặt phẳng này bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. hinh 4 Mặt phẳng A vuông góc với cạnh của hình lập phương. Khi chiếu lên A, đường chéo NSđường chéo này quay về một trong các cạnh của hình lập phương. Cái này h skr là khoảng cách giữa đường thẳng chứa cạnh và hình chiếu của đường chéo lên mặt phẳng C, và do đó giữa đường thẳng chứa cạnh và đường chéo. Chúng ta hãy đi vào chi tiết hơn về ứng dụng của từng phương pháp cho các khối đa diện được học ở trường. Việc áp dụng phương pháp thứ nhất khá hạn chế: nó chỉ được sử dụng tốt trong một số bài toán, vì khá khó xác định và biện minh vị trí chính xác trong các bài toán đơn giản nhất và vị trí gần đúng của đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau trong phức những cái. Ngoài ra, khi tìm độ dài của đoạn vuông góc này trong các bài toán phức tạp, người ta có thể gặp phải những khó khăn không thể vượt qua. Bài toán 1. Trong một hình chữ nhật có hình bình hành có kích thước là a, b, h tìm khoảng cách giữa cạnh bên và đường chéo của mặt đáy không giao với nó. Hình 5 Cho AHBD. Vì A 1 A vuông góc với mặt phẳng ABCD nên A 1 A AH. AH vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau nên AH là khoảng cách giữa hai đường thẳng А 1 А và BD. Trong tam giác vuông ABD, biết độ dài các cạnh AB và AD, ta tìm được đường cao AH bằng công thức tính diện tích tam giác vuông. Bài giải: Bài toán 2. Trong hình chóp tứ giác đều có cạnh bên L và mặt bên của đế Một tìm khoảng cách giữa apothem và mặt bên của cơ sở đi qua mặt bên chứa apothem này. Hình 6 SHCD là apothem, ADCD là ABCD là hình vuông. Do đó, DH là khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và AD. DH bằng nửa cạnh CD. Bài giải: Việc áp dụng phương pháp này cũng bị hạn chế do thực tế là nếu bạn có thể nhanh chóng dựng (hoặc tìm một mặt phẳng làm sẵn) đi qua một trong các đường thẳng chéo song song với một đường thẳng khác, thì việc dựng một đường vuông góc từ bất kỳ điểm nào của đường thẳng thứ hai tới mặt phẳng này (bên trong khối đa diện) gây khó khăn. Tuy nhiên, trong các công việc đơn giản, nơi mà việc xây dựng (hoặc tìm) đường vuông góc xác định không gây khó khăn, thì phương pháp này là nhanh nhất và dễ nhất, và do đó có sẵn. Bài toán 2. Giải bài toán trên bằng phương pháp này không gây khó khăn cụ thể nào. Hình 7 Mặt phẳng EFM song song với đường thẳng AD, vì AD || EF. Đường thẳng MF nằm trong mặt phẳng này nên khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng EFM bằng khoảng cách giữa đường thẳng AD và đường thẳng MF. Hãy làm OHAD. OHEF, OHMO, do đó OH (EFM), do đó OH là khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng EFM, và do đó là khoảng cách giữa đường thẳng AD và đường thẳng MF. Tìm OH từ tam giác AOD. Bài toán 3. Trong hình bình hành hình chữ nhật có kích thước là a, b và NS tìm khoảng cách giữa cạnh bên và đường chéo của hình bình hành không giao với nó. Hình 8 Đường thẳng AA 1 song song với mặt phẳng BB 1 D 1 D, B 1 D thuộc mặt phẳng này nên khoảng cách từ AA 1 đến mặt phẳng BB 1 D 1 D bằng khoảng cách giữa đường thẳng AA 1 và B 1 D. Hãy vẽ AHBD. Ngoài ra, AH B 1 B, do đó AH (BB 1 D 1 D), do đó AHB 1 D, nghĩa là, AH là khoảng cách cần thiết. Tìm AH từ tam giác vuông ABD. Bài giải: Bài toán 4. Trong lăng trụ lục giác đều A: F 1 có chiều cao là NS và mặt bên của đế Một tìm khoảng cách giữa các dòng: Hình 9 Hình 10 a) AA 1 và ED 1. Xét mặt phẳng E 1 EDD 1. Do đó, A 1 E 1 EE 1, A 1 E 1 E 1 D 1 A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Ngoài ra A 1 E 1 AA 1. Do đó, A 1 E 1 là khoảng cách từ đường thẳng AA 1 đến mặt phẳng E 1 EDD 1. ED 1 (E 1 EDD 1)., Do đó AE 1 là khoảng cách từ đường thẳng AA 1 đến đường thẳng ED 1. Tìm A 1 E 1 từ tam giác F 1 A 1 E 1 bằng định lý côsin. Bài giải: b) AF và đường chéo BE 1. Kẻ từ điểm F một đường thẳng FH vuông góc với BE. EE 1 FH, FHBE, do đó FH (BEE 1 B 1), do đó FH là khoảng cách giữa đường thẳng AF và (BEE 1 B 1), và do đó là khoảng cách giữa đường thẳng AF và đường chéo BE 1. Bài giải: PHƯƠNG PHÁP III Việc áp dụng phương pháp này rất hạn chế, vì một mặt phẳng song song với một trong các đường thẳng (phương pháp II) dễ dựng hơn hai mặt phẳng song song, tuy nhiên, phương pháp III có thể được sử dụng trong lăng kính nếu các đường giao nhau thuộc các mặt song song, cũng như trong trường hợp khối đa diện dễ dàng tạo ra các mặt cắt song song chứa các đường thẳng đã cho. Nhiệm vụ 4. Hình 11 a) Các mặt phẳng BAA 1 B 1 và DEE 1 D 1 song song với nhau vì AB || ED và AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và ED 1 bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng BAA 1 B 1 và DEE 1 D 1. A 1 E 1 AA 1, A 1 E 1 A 1 B 1, do đó A 1 E 1 BAA 1 B 1. Ta chứng minh một cách tương tự rằng A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Do đó, A 1 E 1 là khoảng cách giữa các mặt phẳng BAA 1 B 1 và DEE 1 D 1, và do đó giữa các đường thẳng AA 1 và ED 1. Tìm A 1 E 1 để tam giác A 1 F 1 E 1 cân với góc A 1 F 1 E 1 bằng. Bài giải: Hình 12 b) Tìm khoảng cách giữa AF và đường chéo BE 1 cùng phương. Bài toán 5. Trong một hình lập phương có cạnh Một tìm khoảng cách giữa hai đường chéo rời nhau của hai mặt kề nhau. Bài toán này được coi là cổ điển trong một số sách giáo khoa, nhưng theo quy luật, lời giải của nó được đưa ra bằng phương pháp IV, tuy nhiên, nó khá dễ tiếp cận đối với phương pháp giải bằng phương pháp III. Hình 13 Một số khó khăn trong bài toán này là do việc chứng minh tính vuông góc của đường chéo A 1 C với cả hai mặt phẳng song song (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 và BC 1 A 1 B 1, do đó, đường thẳng BC 1 vuông góc với mặt phẳng A 1 B 1 C, và do đó BC 1 A 1 C. Ngoài ra, A 1 CBD. Do đó, đường thẳng A 1 C vuông góc với mặt phẳng BC 1 D. Phần tính toán của bài toán không gây khó khăn gì đặc biệt, vì h skr= EF là hiệu giữa đường chéo của hình lập phương và chiều cao của hai hình chóp đều A 1 AB 1 D 1 và CC 1 BD. PHƯƠNG PHÁP IV. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi. Đối với các nhiệm vụ có độ khó trung bình và cao, có thể coi đây là nhiệm vụ chính. Không cần phải áp dụng nó chỉ khi một trong ba phương pháp trước hoạt động dễ dàng hơn và nhanh hơn, vì trong những trường hợp như vậy, phương pháp IV chỉ có thể làm phức tạp thêm giải pháp của vấn đề hoặc gây khó khăn cho việc truy cập. Phương pháp này rất hữu ích để sử dụng trong trường hợp vuông góc của các đường giao nhau, vì không cần xây dựng hình chiếu của một trong các đường trên "màn hình" L và mặt dưới Một. Hình 16 Trong các bài toán này và các bài toán tương tự, phương pháp IV dẫn đến giải nhanh hơn các phương pháp khác, vì bằng cách dựng một mặt cắt đóng vai trò là "màn hình" vuông góc với AC (tam giác BDM), rõ ràng là không cần dựng thêm. hình chiếu của một đường thẳng (BM) khác lên màn hình này. DH là khoảng cách cần thiết. DH được tìm thấy từ tam giác MDB bằng cách sử dụng công thức diện tích. Bài giải: Trong bài này, sử dụng ví dụ giải bài C2 từ đề thi, phương pháp tìm bằng phương pháp tọa độ được phân tích. Nhắc lại rằng các đường thẳng cắt nhau nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Đặc biệt, nếu một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và đường thẳng thứ hai cắt mặt phẳng này tại một điểm không nằm trên đường thẳng thứ nhất, thì các đường thẳng đó cắt nhau (xem hình vẽ). Để tìm khoảng cách giữa các vạch giao nhau cần thiết:
Hãy cùng chúng tôi phân tích thuật toán này chi tiết hơn bằng cách sử dụng ví dụ giải bài toán C2 từ đề thi môn toán. Hình học – Chương 3 – Bài 5: Khoảng cáchMay 3, 2018 0 Share Bài 1 (trang 119 SGK Hình học 11):Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng? a) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥a và Δ ⊥b. b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P). c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ). d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b. e) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia. Lời giải: a) Sai, đúng là “Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥a và Δ ⊥b” b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Sai. Bài 2 (trang 119 SGK Hình học 11):Cho tứ diện S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy. b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC). c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA. Lời giải: Bài 3 (trang 119 SGK Hình học 11):Cho hình lập phương ABCD.A‘B‘C‘D‘cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A‘, B‘và D‘đến đường chéo AC‘đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó. Lời giải: Bài 4 (trang 119 SGK Hình học 11):Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A‘B‘C‘D‘có AB = a, BC = b, CC‘= c. a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC‘A‘). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB‘và AC‘. Lời giải: Bài 5 (trang 119 SGK Hình học 11):Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’) b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD) c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ Lời giải: Bài 6 (trang 119 SGK Hình học 11):Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC. Lời giải: Bài 7 (trang 120 SGK Hình học 11):Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC). Lời giải: Bài 8 (trang 120 SGK Hình học 11):Cho tứ diện ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó. Lời giải: Commentscomments
Share Previous articleHình học – Câu hỏi ôn tập chương 3 Next articleHình học – Chương 3 – Bài 4 : Hai mặt phẳng vuông góc Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D' ) có cạnh bằng (a ). Khoảng cách từ đỉnh (A ) của hình lập phương đó đến đường thẳng (CD' ) bằngCâu 8839 Nhận biết Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách từ đỉnh \(A\) của hình lập phương đó đến đường thẳng \(CD'\) bằng Đáp án đúng: b Phương pháp giải Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD'\), chứng minh \(AM \bot CD'\) và tính độ dài \(AM\). Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng --- Xem chi tiết ... |
