Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Biến đổi một biểu thức lượng giác thành một tổng hoặc thành một tích, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Nội dung bài viết Biến đổi một biểu thức lượng giác thành một tổng hoặc thành một tích: Biến đổi một biểu thức thành một tổng hoặc thành một tích. Đây là dạng toán cơ bản chủ yếu để tập cho học sinh áp dụng được đối với các công thức biến đổi (tổng thành tích, tích thành tổng) đã học. Dưới đây là các công thức biến đổi đó. Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]. sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]. sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]. cos a sin b = [sin(a + b) − sin(a − b)]. Công thức biến đổi tổng thành tích: sin a + sin b = 2 sin a + b cos a − b. sin a − sin b = 2 cos a + b2 sin a − b. cos a + cos b = 2 cos a + b2 cos a − b. cos a − cos b = −2 sin a + b sin a − b. tan a + tan b = sin(a + b) cos a cos b. tan a − tan b = sin(a − b) cos a cos b. BÀI TẬP DẠNG 5. Ví dụ 1. Biến đổi mỗi biểu thức sau đây thành một tổng: a) A = 2 sin(a + b) sin(a − b). b) B = sin x sin 2x sin 3x. c) C = 8 cos x sin 2x sin 3x. d) D = cos x cos (x + 60◦) cos (x − 60◦). Lời giải. a) A = 2 sin(a + b) sin(a − b) = 2 · [cos (a + b − a + b) − cos (a + b + a − b)] = cos 2b − cos 2a. Vậy A = 2 sin(a + b) sin(a − b) = cos 2b − cos 2a. b) B = sin x sin 2x sin 3x = sin 3x (sin 2x sin x) = 1 sin 3x [cos x − cos 3x]. Vậy B = sin x sin 2x sin 3x = sin 2x + sin 4x − sin 6x. c) C = 8 cos x sin 2x sin 3x = 8 sin 3x sin 2x cos x = 4 [cos x − cos 5x] cos x = 4 cos2 x − 4 cos 5x cos x = 2 (1 + cos 2x) − 2 (cos 4x + cos 6x). Vậy C = 8 cos x sin 2x sin 3x = 2 + 2 cos 2x − 2 cos 4x − 2 cos 6x. Ví dụ 2. Biến đổi các biểu thức sau đây thành một tích: a) A = sin a + sin 3a + sin 5a b) B = 1 + cos x + cos 2x + cos 3x. Lời giải. a) sin a + sin 3a + sin 5a = sin 5a + sin a + sin 3a = 2 sin 3a cos 2a + sin 3a = sin 3a(2 cos 2a + 1). Vậy A = sin a + sin 3a + sin 5a = sin 3a(2 cos 2a + 1). b) B = 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = (cos 3x + cos x) + (cos 2x + 1) = 2 cos 2x cos x + 2 cos2 x − 1 + 1 = 2 cos x (cos 2x + cos x) = 2 cos x · 2 cos. Vậy B = 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 4 cos x cos cos x.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Biến đổi các biểu thức sau đây thành một tổng: a) cos 5a sin 3a. b) cos(a + b) cos a. c) 2 cos(a + b) cos(a − b). d) 4 cos x cos 2x cos 3x. e) sin(a − b) cos(b − a). f) cos a cos b cos c. g) 4 sin 2a sin 4a sin 6a . Bài 2. Biến đổi mỗi biểu thức dưới đây thành một tích: a) sin x + sin 2x + sin 3x. b) sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x. c) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x. d) cos x + cos y cos x − cos y. e) sin 7x + sin 5x sin 7x − sin 5x. f) sin x cos 3x + sin 4x cos 2x. g) sin a + sin b + sin(a + b). h) cos a + cos b + cos(a + b) + 1. i) sin2a − sin2b. j) 1 + sin a + cos a. k) 1 − cos a + sin a. l) 1 − 2 cos x + cos 2x. m) 1 + sin x − cos 2x. n) sin2 x − sin2 2x + sin2 3x.

Đối ᴠới học ѕinh, ᴠiệc học ᴠà nhớ Bảng công thức lượng giác là уếu tố quan trọng khi giải toán. Dưới đâу là hệ thống lại Bảng giá trị lượng giác cơ bản ᴠà nâng cao cùng ᴠới cách học thuộc công thức lượng giác bằng thơ, thần chú.

Bạn đang хem: Công thức biến đổi tổng thành tích

Bảng công thức lượng giác gồm các công thức cơ bản ᴠà các công thức biến đổi nâng cao, công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức nhân đôi, nhân ba ᴠà công thức hạ bậc

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Ảnh minh họa

Cách học thuộc các công thức lượng giác bằng thơ

Công thức CỘNG trong lượng giác

Coѕ + coѕ = 2 coѕ coѕcoѕ trừ coѕ = trừ 2 ѕin ѕinSin + ѕin = 2 ѕin coѕѕin trừ ѕin = 2 coѕ ѕin.Sin thì ѕin coѕ coѕ ѕinCoѕ thì coѕ coѕ ѕin ѕin “coi chừng” (dấu trừ).Tang tổng thì lấу tổng tangChia một trừ ᴠới tích tang, dễ òm.

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bắt được quả tangSin nằm trên coѕ (tan = ѕin:coѕ)Cotang dại dộtBị coѕ đè cho. (cot = coѕ:ѕin

)Cách 2:Bắt được quả tangSin nằm trên coѕCôtang cãi lạiCoѕ nằm trên ѕin!

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,102,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,274,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,216,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,191,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,356,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,65,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,290,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,14,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,139,Toán 11,176,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,37,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,271,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Trong cuối chương trình lớp 10, các em học sinh sẽ được làm quen với chương lượng giác. Trong chương này, các em sẽ học các kiến thức về cung và góc lượng giác. Để làm tốt các dạng bài tập về lượng giác yêu cầu các em phải nắm vững các công thức. Do đó, chúng tôi đã biên soạn các công thức lượng giác toán 10 đầy đủ nhất bao gồm các công thức lượng giác cơ bản và nâng cao mà chúng ta thường xuyên dùng để giải bài tập. 

Đặc biệt, để giúp các em học thuộc các công thức này một cách dễ dàng, trong phần 3 chúng tôi còn giới thiệu thêm một số cách ghi nhớ nhanh các công thức lượng giác. Hy vọng, đây sẽ là một tài liệu giúp các em học lượng giác một cách thú vị hơn.

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng
Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

I. Các công thức lượng giác toán 10 cơ bản

Trong phần I, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức lượng giác toán 10 cơ bản nằm trong chương trình sách giáo khoa lớp 10. Đây là những công thức bắt buộc các em học sinh lớp 10 cần phải học thuộc lòng thì mới có thể làm được những bài tập lượng giác cơ bản nhất. 

1. Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt :  

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

2. Hệ thức cơ bản :

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Đăng ký học ngay lớp Toán thầy Mạnh lớp 10

3. Cung liên kết :

(cách nhớ: cos đối, sin bù, tan hơn kém pi, phụ chéo)

Đây là những công thức lượng giác toán 10 dành cho những góc có mối liên hệ đặc biệt với nhau như : đối nhau, phụ nhau, bù nhau, hơn kém pi, hơn kém pi/2

• Hai góc đối nhau

cos(–x) = cosx

sin(–x) = – sinx

tan(–x) = – tanx

cot(–x) = – cotx

• Hai góc bù nhau

sin (π – x) = sinx

cos (π – x) = -cosx

tan (π – x) =  -tanx

cot (π – x) = -cotx

• Hai góc hơn kém π

sin (π + x) = -sinx

cos (π + x) = -cosx

tan (π + x) = tanx

cot (π + x) = cotx

• Hai góc phụ nhau

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

4. Công thức cộng :

(cách nhớ : sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ, tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số một trừ tan tan) :  

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

6. Công thức nhân ba:

       sin3x = 3sinx – 4sin3x

       cos3x = 4cos3x – 3cosx

7. Công thức hạ bậc:

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

8. Công thức tính tổng và hiệu của sin a và cos a:

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

11. Công thức biến đổi tích thành tổng :

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

II. Các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao

Trong phần 2, ngoài các công thức lượng giác toán 10 cơ bản, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm cho các bạn học sinh các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao. Đây là những công thức lượng giác hoàn toàn không có trong sách giáo khoa nhưng rất thường xuyên gặp phải trong các bài toán rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức, giải phương trình lượng giác.  Các em học sinh khá, giỏi có thể tham khảo để vận dụng trong các bài tập nâng cao. Các công thức được biên soạn thành 4 dạng:

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

 1. Các công thức kết hợp với các hằng đẳng thức đại số:

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

III. Cách ghi nhớ công thức lượng giác toán 10

Đối với nhiều em học sinh việc học các công thức lượng giác toán 10 được xem là rất khó khăn. Do đó, chúng tôi sẽ giới thiệu một số cách ghi nhớ công thức lượng giác nhanh và hiệu quả.

Công thức lượng giác chuyển tích thành tổng

Cách ghi nhớ Công thức cộng

Cos + cos = 2 cos cos
cos –  cos = trừ 2 sin sin
Sin + sin = 2 sin cos
sin – sin = 2 cos sin.
Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin rồi trừ
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia 1 trừ với tích tang, dễ mà.

Tan(x+y)=

Bài thơ : Tan 2 tổng 2 tầng cao rộng

Trên thượng tầng tang cộng cùng tang

Hạ tầng số 1 rất ngang tàng

Dám trừ đi cả tan tan anh hùng

Cách ghi nhớ Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi

Cách ghi nhớ Công thức biến đổi tích thành tổng

Cos cos nửa cos-+, + cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-+
Sin cos nửa sin-+ + sin-trừ 

Cách ghi nhớ Công thức biến đổi tổng thành tích

tính sin tổng ta lập tổng sin cô
tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi chàng
còn tính tan tử + đôi tan (hay là: tan tổng lập tổng 2 tan)
1 trừ tan tích mẫu mang thương rầu
nếu gặp hiệu ta chớ lo âu,
đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng

Một cách nhớ khác của câu Tang mình + với tang ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là

tangx + tangy: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta

tangx – tang y: tình mình trừ với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình

Cách ghi nhớ Công thức nhân đôi

VD: sin2x= 2sinxcosx (Tương tự các loại công thức như vậy)

Cách ghi nhớ: Sin gấp đôi bằng 2 sin cos

Cos gấp đôi bằng bình phương cos trừ đi bình sin

Bằng trừ 1 cộng hai bình cos

Bằng cộng 1 trừ hai bình sin

(Chúng ta chỉ việc nhớ công thức nhân đôi của cos bằng câu nhớ trên rồi từ đó có thể suy ra công thức hạ bậc.)
Tan gấp đôi bằng Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan )

Chia một trừ lại bình tan, ra liền.

Mỗi bạn sẽ suy nghĩ cho mình những cách ghi nhớ công thức lượng giác toán 10 khác nhau nhưng  kết quả cuối cùng là sự dễ thuộc, dễ hiểu và khả năng áp dụng được vào mọi bài toán mình gặp

Trên đây là các công thức lượng giác toán 10 cơ bản và nâng cao. Để có thể làm tốt các bài tập rút gọn biểu thức hay chứng minh biểu thức lượng giác các em cần phải học thuộc lòng các công thức lượng giác trên. Việc học các công thức lượng giác này nhuẫn nhuyễn  còn giúp các em rất nhiều khi lên 11, đặc biệt là phục vụ cho những bài toán giải phương trình lượng giác. Có thể nói lượng giác đối với các bạn học sinh rất mới mẻ và phức tạp. Tuy nhiên nó chỉ khó với những ai lười học công thức và sẽ đơn giải nếu ta học thuộc và vận dụng khéo léo các công thức. Cuối cùng, xin chúc các bạn học thuộc các công thức này thành công và đạt điểm tốt trong các bài kiểm tra lượng giác.