Cách chuyển sang tọa độ cầu

Tuần 8

Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba:

·       Công thức đổi biến số trong tích phân bội ba:

Xét tích phân bội ba

 .

Trong đó f(x,y,z) liên tục trong V. Ta thực hiện phép

đổi biến số:

  (3.30)

Giả sử:

1.   

 là những hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong một miền đóng V’ của không gian

.

2.    Công thức

  xác định một song ánh từ miền V’ lên miền V trong không gian oxyz.

3.                Định thức Jacobi:                      

Khi đó ta có công thức:

.

*Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ.

  Tọa độ trụ của 1 điểm M(x,y,z,) trong không gian oxyz là bộ ba số

, trong đó

 là tọa độ cực của điểm M’(x,y), hình chiếu của M lên mặt phẳng XOY. Với mọi điểm của không gian:

. Ta có:

 

  Nếu

có song ánh giữa tọa độ Decac và tọa độ trụ. Định thức Jacobi của phép biến đổi là:

    

 .

Do đó:

         

  

  Đây là công thức tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ

Ví dụ tính 

  V là miền hình trụ giới hạn bởi các mặt phẳng                           

. 

Chuyển sang tọa độ trụ

        Tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu:

Tọa độ cầu của một điểm M(x,y,z) trong không gian oxyz là bộ ba số (r,φθ). Trong đó r=OM, φ là góc giữa trục OX và OM’ (M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng xoy, θ là góc giữa trục OZ và OM). Với mọi điểm M(x,y,z) có:

       

 (3.34)

        z từ âm sang dương; x,y âm dương phụ thuộc vào

.

Nếu r>0; 0<θ<π ;

 thì c/t trên xác định một song ánh giữa các tọa độ Decac và tọa độ cầu. J của (3.34):

 

    

Đây là c/t tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu.

Ví dụ: Tính

V là miền giới hạn bởi 2 mặt cầu

 

Chuyển sang tọa độ cầu 

             

3.34     TRỌNG TÂM CỦA VẬT THỂ     

Cho vật thể V trong không gian oxyz. Nếu khối lượng riêng của vật thể tại M(x,y,z) là ρ(x,y,z) thì khối lượng của vật thể được cho bởi công thức:

            

Tọa độ của trọng tâm G của vật thể được cho bởi:

            

Nếu vật thể đồng chất thì ρ không đổi và do đó:

            

V là thể tích của vật thể V.

Ví dụ 1: Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón: 

 và mặt cầu có bán kính bằng 1: 

Ta có:

Giao tuyến của mặt nón và mặt cầu: 

. Do đó những bán kính vecto của các điểm trên giao tuyến ấy làm với trục OZ một góc

( do

.

 Vì lí do đối xứng chúng ta sẽ tính đươc

 

       

Tương tự

.  

V xác định bởi

     

CHƯƠNG IV- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT

4.1 Tích phân đường loại 1:

4.1.1 Đ/N: Cho hàm số

  

xác định trên một cung phẳng

. Chia cung

thành n cung nhỏ

bởi các điểm

. Gọi độ dài các cung

 . Trên cung

 lấy một điểm tùy ý

.

Nếu khi

, sao cho

( độ dài cung). Tổng

 dần tới một giới hạn xác định,

không phụ thuộc vào cách chia

 và cách chọn

 trên cung

,

thì giới hạn đó được gọi là

 tích phân đường loại một của hàm số  f(x,y) dọc theo cung

 và kí hiệu là

 

. Nếu tích phân tồn tại thì hàm số f(x,y) khả tích trên

.

Nếu

cho bởi p/t y=f(x);

 được gọi là trơn nếu hàm số f(x)

 có đạo hàm liên tục trên

. Nếu

 được cho bởi p/t tham số x=x(t); y=y(t);

 ; cung

 

trơn nếu hàm số x=x(t); y=y(t) có đạo hàm liên tục trên

.

Đã CM rằng; nếu cung

trơn và nếu hàm số  f(x,y) liên tục trên cung

 

 thì f(x,y) khả tích trên

.

Trong tích phân đường loại một không để ý đến chiều

. Nếu cung

có khối

lượng riêng tại M(x,y) là

, thì khối lượng của

 là

.

Khi tích phân ấy

tồn tại chiều dài cung

 được tính bằng

.

Tích phân đường loại một có t/c giống tích phân xác định . Cung

được gọi là trơn từng khúc nếu nó gồm một số hữu hạn các cung trơn.

Nếu cung

 trơn từng khúc và nếu hàm số  f(x,y) liên tục trên cung

 thì f(x,y) khả tích trên

.

4.1.2 Cách tính: Giả sử:

* Cung

 trơn và được cho bởi p/t y=y(x);

* Hàm số  f(x,y) liên tục trên cung

, (xi.yi) là tọa độ của Ai; i=1,…n

. Khi

 

khá nhỏ,

 xấp xỉ bằng chiều dài

.

Theo c/t số gia giới nội:

    

do đó

 có tọa độ

 nằm trên cung

.

Nếu  hàm số

 

 

Tính

 

 L là đường tròn

.

Phương trình đường tròn viết lại là:

 

  4.1.3 Trường hợp đường lấy tích phân là một đường trong không gian.

Tích phân đường loại một hàm số  f(x,y,z) dọc theo cung

trong không gian tương tự . Nếu

 được cho bởi p/t tham số

 

4.1.4 Trọng tâm của cung đường

Nếu cung

có khối lượng riêng tại M(x,y,z) là

      

Trong đó

  là khối lượng của cung

.

4.2 Tích phân đường loại 2:

Công của lực biến đổi: Công= Lực x Quãng đường.

Cho M di chuyển trên quãng đường L từ A đến B. Công ∆W của lực

làm chất điểm di chuyển từ

 đến

 là:

Nếu thành phần của lực

 là P(M),Q(M) thì:

Ở đây ∆x, ∆y là 2 thành phần của

. Nếu 

 khá nhỏ ta có:

ĐN tích phân đường loại 2: Khi:  n→∞;

 Tổng:

giới hạn xác định là tích phân đường loại 2:

       

Đã CMR: Nếu cung

 trơn và nếu

 liên tục trên

 thì tồn tại tích phân đường loại 2:

.

Trong tích phân đường loại 2, chiều đường lấy tích phân quan trọng ( khác với tích phân đường loại 1). Nếu ta đổi chiều đường lấy tích phân thì hình chiếu của vec tơ 

 lên 2 trục Ox, Oy đổi dấu:

Nếu đường lấy tích phân là đường kín L, quy ước chiều dương trên L sao cho một người đi dọc theo chiều ấy sẽ thấy các điểm lân cận của D gần mình nhất về bên trái.

·       T/C : Tích phân đường loại 2 có các tính chất như tích phân xác định.

·       4.22 Cách tính:  Cho

 

Gọi Mi là điểm

 nằm trên cung

 

Nếu cung

cho bởi p/t y=y(x); a là hoành độ của A; b là hoành độ của B

Ví dụ 1: Tính

  L là đường elip

.

Từ p/t đường elip L lấy: x=acost; y=bsint với

.

Chiều tăng của t ứng với chiều dương của L.

Ta có:  dx=-asintdt ; dy=bcostdt.

4.2.3 Công thức GREEN:

Cho D là một miền liên thông bị chặn, biên L gồm một hay nhiều đường kín trơn từng khúc rời nhau từng đôi một.

* Công thức Green:Nếu các hàm số

 và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền D thì ta có:

Giả sử D là miền đơn liên và mọi đường thẳng song song với các trục Ox,Oy cắt L nhiều nhất tại 2 điểm. Miền D xác định bởi 

Theo c/t tính tích phân đường:

( xem dấu của đường cong L là: ANBMA)

Giả sử L như hình vẽ

 ;

IH và KJ // OY.

 

Tương tự: 

      

Do đó ta CM được c/t Green.

·       Xét trường hợp miền D đa liên: Chia miền D thành 6 miền nhỏ mà biên đều thỏa mãn các g/t đã nêu. Áp dụng c/t Green cho cả 6 miền nhỏ rồi cộng lại ta có:

Vì tổng các tích phân đường của Pdx+Qdy trên cùng 1cung 2  lần theo 2 chiều ngược nhau bằng 0.

Ví dụ  Tính

  

L là đường tròn

Áp dụng c/t Green:

  Do D là hình tròn bán kính là: R=1

Hệ quả của c/t Green: Nếu đường kín L là biên của miền D thì diện tích S của miền ấy được cho bởi c/t: 

Ví dụ diện tích hình elip giới hạn bởi đường 

 là πab.

4.2.4 Đ/K để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

Đ/L: Giả sử các hàm số P(x,y),Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền đơn liên D nào đó thì khi đó 4 mệnh đề sau đây tương đương với nhau :

1.   

    

2.   

 dọc theo mọi đường kín L nằm trong D.

3.   

 trong đó

 là một cung nằm trong D chỉ phụ thuộc đường đi từ A tới B.

4.    Biểu thức

 là vi phân toàn phần của một hàm u(x,y) nào đó trong miền D.

CM:

.

a/

: Giả sử L là đường kín trong D

            

  

(do 1)  nên (2) thỏa mãn 

b/

: Giả sử 

  là 2 đường bất kỳ nối A và B trong D. Từ (2) có:

          

  

 chỉ phụ thuộc vào 2 mút A, B.

c/

: Giả sử  A(x0,y0) là một điểm cố định trong D, M(x,y) là một điểm chạy trong D. Xét hàm số :

    

- C là hằng số tùy ý.

 Tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nên tích phân là xác định.

Điểm

với h nhỏ.

  (như hình vẽ)

Dọc theo

 thì y=constant do đó dy=0 

 

Theo đ/l về giá tri trung bình đối với tích phân xác định ta có:

  .

Tương tự CM rằng:

  . Do vậy

là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y) cho bởi c /t

d/ 4 suy ra 1 : Giả sử  Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y) nào đó. Khi đó: 

  . Các hàm số liên tục nên theo Đ/L Schwarz chúng bằng nhau:

       

   

·       Hệ quả 1: Nếu Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y)

 

·       Hệ quả 2:Nếu D là toàn R2  thì p/t : Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y) cho bởi c/t:

       

  

CM: Vì tích phân của vế phải :

 không phụ thuộc đường đi từ

nên có thể chọn :

           

  .

Ví dụ 1: CM rằng :

là vi phân toàn phần của hàm số nào đó.

 nên Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y) xác định trên R2.

 Nếu lấy