Cách chứng minh tứ giác là hình thang vuông

Như các em đã biết thì hình thang cân là hình rất quen thuộc trong môn Toán cũng như trông đời sống hằng ngày.

Bạn đang xem: Chứng minh tứ giác là hình thang

Vậy hình thang cân gồm có những kiến thức gì? Hay được áp dụng thế nào trong cuộc sống thì sau đây chúng ta hãy cùng ôn tập qua bài viết này nhé.

Nội dung:

4 Những phương pháp để chứng minh hình thang cân7 Một số ví dụ bài tập về hình thang cân

Định nghĩa về hình thang cân

Đây là hình có định nghĩa rất dễ ghi nhớ và học thuộc và được định nghĩa như sau: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Hình thang cân là 1 trường hợp đặc biệt của hình thang.

Đây là ví dụ của hình thang cân:

Tứ giác ABCD là hình thang cân có đáy là (AB,CD).

Tính chất của hình thang cân

Hình thang cân gồm có 4 tính chất đó là:

Trong một hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau.Trong một hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.Hình thang cân nội tiếp hình tròn.

Đây là 4 tính chất rất quan trọng của hình thang cân để các e có thể áp dụng vào bài tập.

Dấu hiệu nhận biết của hình thang cân

Nếu hình thang cân có 4 tính chất thì sang đến dấu hiệu nhận biết của hình thang cân thì gồm có 5 dấu hiệu đó là:

Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.Hình thang có hai trục đối xứng của hai đáy trùng nhau là hình thang cân.Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau (nếu hai cạnh bên ấy không song song) là hình thang cân.Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

Chú ý: Hình thang cân thì có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.

Vì vậy, sau khi đã ôn tập lại đầy đủ kiến thức về hình thang cân. Thì ngay sau đây chúng ta hãy cùng đi đến phương pháp để chứng minh hình thang cân trong toán học.

Những phương pháp để chứng minh hình thang cân

Để chứng minh được hình đó là hình thang cân chúng ta gồm có 3 phương pháp. Và dưới đây là chi tiết nội dung về 3 phương pháp chứng minh hình thang cân.

Xem thêm: Soạn Đức Tính Giản Dị Của Bác Hồ, Soạn Bài Đức Tính Giản Dị Của Bác Hồ

Phương pháp 1:

Để chứng minh tứ giác đó là hình thang cân ta phải chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh song song với nhau dựa vào các cách chứng minh song song như sau:

Hai góc đồng vị bằng nhau.Hai góc so le trong bằng nhau.Hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ góc vuông đến góc song song.

Phương pháp 2:

Chứng minh hình thang đó có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Phương pháp 3:

Chứng minh hình thang đó có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Đây là 3 phương pháp rất hay được sử dụng để các em có thể sử đụng để làm bài tập về chứng minh hình thang cân.

Trục đối xứng của hình thang cân

Đường thẳng đi qua trung điểm 2 đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

Ứng dụng của hình thang cân trong đời sống

Hình thang cân là 1 hình dạng phổ biến đối với mỗi con người. Và nó được dùng làm đồ chơi cho trẻ em có dạng hình thang cân. Hay hình thang cân còn được tạo ra thành những mô hình làm bằng nhựa để cho các em học sinh có thể học tập và nhận biết…..

Một số ví dụ bài tập về hình thang cân

Bài tập 1:

Cho hình thang cân ABCD có AB||CD, AB→ ⊿AHD = ⊿BKD ( theo trường hợp cạnh huyền-góc nhọn)→ DH=KC (đpcm)

Bài tập 2:

Trong các tứ giác ABCD, EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h.31), tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao?

Lời giải:

Để nhận biết được tứ giác nào là hình thang cân thì phải dùng tính chất: “Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau”.

Tứ giác ABCD là hình thang cân vì AD = BC.Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì EF > GH.

Tổng kết

Như vậy qua bài viết hôm nay chúng ta đã có thể nhớ lại và ôn tập lại lí thuyết về hình thang cân. Hi vọng với những kiến thức bổ ích này sẽ giúp các em có thể ôn tập và rèn luyện lại kiến thức cho mình một cách tốt nhất và hiệu quả nhất.

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Với Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng một trong hai cách sau:

• Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc.
• Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? 

Giải

Tứ giác AEDF là hình vuông.

Theo hình vẽ thì

 . Tứ giác AEDF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình vuông.

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Giải

Đặt AD = a thì AB = 2a

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:

AE = EB = CF = FD = a.

a) Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a

⇒ AE = EF = DF = AD = a

Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Hình thoi ADFE có

 nên nó là hình vuông.

b) Tứ giác MENF là hình vuông

Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được:

Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc

 nên nó là hình vuông.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

 

 và MB = NC = PD = QA = a – x, nên bốn tam giác vuông MBN, NCP, PDQ, QAM bằng nhau theo trường hợp (c – g – c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là MN = NP = PQ = QM.

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:

Lại có góc BNC là góc bẹt hay

Từ (1) và (2) suy ra  

Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.

Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi. Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông.

Đáp án: A.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Mà AE = BF = CG = DH (gt) nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH 

hay DG = CF = EB =AH.

nên HG = GF = HE = EF.

Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Hình thoi EFGH có

 nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Vì ABCD là hình thoi nên

 (tính chất).

Mà OE, OF, OG, OH lần lượt là phân giác

 nên ta có  

Suy ra   

nên H, O, F thẳng hàng.

Tương tự ta có: E, O, G thẳng hàng.

Xét

ta có OD = OB;

(đối đỉnh);

(so le trong) nên

 (g – c - g) suy ra OE = OG (1)

Tương tự ta có:

 (g – c – g) ⇒ OF = OH         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác EFGH là hình bình hành vì có hai đường chéo EG; HF giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Lại xét

 có:

Suy ra: hình bình hành EFGH có hai đường chéo bằng nhau EG = HF nên EFGH là hình chữ nhật.

Lại có:

Hình chữ nhật EFGH có:

 nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Ta có: ΔABC vuông cân tại A nên  

Xét tam giác vuông FGC có:

 

Suy ra ∆FGC là tam giác vuông cân tại  

Chứng minh tương tự: 

Xét tam giác vuông EHB có 

 

Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H

 

Mà BH = HG = GC(gt) nên FG = EH = HG

Lại có: 

Xét tứ giác EFGH có:

 

 ⇒Tứ giác EFGH là hình bình hành. 

Mà

 nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Mặt khác EH = HG (cmt) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Xét hai tam giác ABE và ADF có:

AB = AD (do ABCD là hình vuông)

Mặt khác lại do EP//AF; FP//AE  ⇒AEPF là hình bình hành (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ AEPF là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ

 tại E, tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA. Khi đó MNPQ là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Từ giả thiết M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA ta suy ra:

MN là đường trung bình của ΔADF và  

PQ là đường trung bình của ΔACF và 

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác D là giao điểm của hai đường cao AB và FE trong tam giác AFC suy ra CD là đường cao còn lại

 

 (do NP là đường trung bình của tam giác FDC nên NP//DC)

Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

ΔFEC  vuông tại E và có

(Tam giác ABC vuông cân tại A) nên ΔFEC vuông cân tại E

 vuông cân tại B suy ra BD = BF

Xét hai tam giác ABF và CBD có:

BF = BD (cmt)

 

Do đó MNPQ là hình vuông.

Đáp án: D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.