A. TÓM TẮC LÝ THUYẾTI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNBất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là Show
trong đó là những số thực đã cho, và không đồng thời bằng và là các ẩn số. II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNCũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng tọa độ tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình được gọi là miền nghiệm của nó. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình như sau (tương tự cho bất phương trình ) Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ vẽ đường thẳng : Bước 2. Lấy một điểm không thuộc (ta thường lấy gốc tọa độ ) Bước 3. Tính và so sánh với Bước 4. Kết luận: Nếu thì nửa mặt phẳng bờ chứa là miền nghiệm của Nếu thì nửa mặt phẳng bờ không chứa là miền nghiệm của Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNTương tự hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. B. BÀI TẬPDẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: a) b) Lời giải
a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng . Ta có chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm . Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa điểm (Miền không được tô màu trên hình vẽ).  b) Ta có
Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng Xét điểm , thấy không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ (không kể đường thẳng ) và không chứa điểm (Miền không được tô màu trên hình vẽ). Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: a) x+y-2≥0x-3y+3≤0 Lời giải a) Vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Xét điểm , thấy không phải là nghiệm của bất phương trình và do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng và . b) Vẽ các đường thẳng và trên mặt phẳng tọa độ Xét điểm , thấy là nghiệm của bất phương trình và . Do đó thuộc miền nghiệm của bất phương trình và . Xét điểm ta thấy là nghiệm của bất phương trình do đó điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình . Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức với nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước. Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm là đa giác. Bước 2: Tính giá trị của tương ứng với là tọa độ của các đỉnh của đa giác. Bước 3: Kết luận: Giá trị lớn nhất của là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. Giá trị nhỏ nhất của là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. Ví dụ 1: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất? Lời giải
Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là (phút), trên truyền hình là (phút). Chi phí cho việc này là: (đồng) Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:
hay Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: . Đồng thời do là thời lượng nên. Hiệu quả chung của quảng cáo là:. Bài toán trở thành: Xác định sao cho: đạt giá trị lớn nhất. Với các điều kiện (*) Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tam giác) không tô màu trên hình vẽ Giá trị lớn nhất của đạt tại một trong các điểm Ta có suy ra giá trị lớn nhất của bằng tại tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất. Ví dụ 2: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất? Lời giải
Phân tích bài toán: Gọi () là số kg loại I cần sản xuất, () là số kg loại II cần sản xuất. Suy ra số nguyên liệu cần dùng là , thời gian là có mức lời là Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc suy ra hay , hay . Bài toán trở thành: Tìm thoả mãn hệ (*) sao cho đạt giá trị lớn nhất. Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ Giá trị lớn nhất của đạt tại một trong các điểm . Ta có Vậy cần sản xuất kg sản phẩm loại I và kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất. |
