 I. Phương pháp: Thông thường để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta thuờng dùng hai phương pháp sau: 1) Phương pháp 1: Đặt ƯCLN của chúng là d => mỗi số đều chia hết cho d, sau đó ta tìm cách chứng minh d = 1. Ví dụ: Chứng minh hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau Giải: Gọi hai số lẻ liªn tiếp là 2n + 1 và 2n + 3 (n N). Ta đặt (2n + 1, 2n + 3) = d. Suy ra 2n + 1 d; 2n + 3 d. Vậy (2n + 3) – ( 2n + 1) d hay 2 d, suy ra d { 1 ; 2 }. Nhưng d 2 vì d là ước của các số lẻ. Vậy d = 1, điều đó chứng tỏ 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. 2) Phương pháp 2: Ta dïng phương pháp phản chứng Giả sử điều cần chứng minh là sai, Từ đó ta tìm cách suy ra mâu thuẩn với giả thiết phản chứng huặc mâu thuẩn với một chân lý có trước. Ví dụ: Cho (a, b) = 1. Chứng minh rằng ab và a + b nguyên tố cùng nhau. Giải: Giả sử a + b và ab không nguyên tố cùng nhau . Do đó a + b và ab ắt phải có ít nhất một ước số chung nguyên tố d: a + b d (1) ab d (2) Vì d là số nguyên tố nên từ (2), ta có: a d b d • Nếu a d . Từ (1) b d Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết. • Nếu b d . Từ (1) a d Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết. Vậy, (a,b) = 1 thì ab và a + b nguyên tố cùng nhau. Bạn đang xem tài liệu "Tài liệu ôn tập Số học Lớp 6 - Chứng minh nguyên tố cùng nhau", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Chuyªn ®Ò Chøng minh nguyªn tè cïng nhau Phương pháp: Thông thường để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta thuờng dùng hai phương pháp sau: Phương pháp 1: Đặt ƯCLN của chúng là d => mỗi số đều chia hết cho d, sau đó ta tìm cách chứng minh d = 1. Ví dụ: Chứng minh hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau Giải: Gọi hai số lẻ liªn tiếp là 2n + 1 và 2n + 3 (n N). Ta đặt (2n + 1, 2n + 3) = d. Suy ra 2n + 1 d; 2n + 3 d. Vậy (2n + 3) – ( 2n + 1) d hay 2 d, suy ra d { 1 ; 2 }. Nhưng d 2 vì d là ước của các số lẻ. Vậy d = 1, điều đó chứng tỏ 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Phương pháp 2: Ta dïng phương pháp phản chứng Giả sử điều cần chứng minh là sai, Từ đó ta tìm cách suy ra mâu thuẩn với giả thiết phản chứng huặc mâu thuẩn với một chân lý có trước. Ví dụ: Cho (a, b) = 1. Chứng minh rằng ab và a + b nguyên tố cùng nhau. Giải: Giả sử a + b và ab không nguyên tố cùng nhau . Do đó a + b và ab ắt phải có ít nhất một ước số chung nguyên tố d: a + b d (1) ab d (2) Vì d là số nguyên tố nên từ (2), ta có: a d b d Nếu a d . Từ (1) b d Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết. Nếu b d . Từ (1) a d Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết. Vậy, (a,b) = 1 thì ab và a + b nguyên tố cùng nhau. Bài tập Bài 1: chứng minh rằng hai số tự nhiên liªn tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. Giải: Gọi hai số tù nhiên liªn tiếp là n và n + 1(n N ) . Đặt (n, n + 1) = d n d; n + 1 d. Do đó (n + 1) – n d hay 1 d suy ra d = 1. vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 2: Cho a là số tự nhiên lẻ, b là một số tự nhiên . chứng minh rằng các số a và ab + 4 nguyên tố cùng nhau. Giải: Giả sử a và ab + 4 cùng chia hết cho một số tự nhiên d( d 0 ). Như vậy thì ab chia hết cho d, do đó hiệu (ab + 4) – ab = 4cũng chia hết cho d. Suy ra d có thể bằng 1, 2 hay 4. Nhưng a không chia hết cho 2 và 4 vì a lẻ. Vậy d chỉ bằng 1 nên các số a và ab+ 4 nguyên tố cùng nhau. Bài 3:Cho a, b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh an + bn và ab nguyªn tè cïng nhau Giải: Giả sử an + bn và ab không nguyên tố cùng nhau. Ta suy ra an + bn và ab ắt phải cã một ước số chung nguyên tố d : an + bn d (1) ab d (2) V× ab d, d nguyªn tè nªn ta cã: a d b d NÕu a d an d Ta l¹i cã an + bn d suy ra bn d V× bn d, d nguyªn tè, nªn b d Nh vËy a vµ b sÏ cã mét íc sè chu ng nguyªn tè d, m©u thuÉn gi¶ thiÕt. NÕu b d: T¬ng tù VËy: an +bb = 1 và an + bn và ab nguyên tố cùng nhau. Bµi tËp t¬ng tù Cho a,b,c nguyªn tè cïng nhau. Chøng minh r»ng : ab + bc + ca , a + b + c, abc nguyªn tè cïng nhau Cho (a,b) = 1. Chøng minh 5a +3b vµ 13a + 8b nguyªn tè cïng nhau. Cho a,b nguyªn tè cïng nhau. Chøng minh r»ng an vµ b nguyªn tè cïng nhau Chøng minh r»ng víi mäi n kh¸c 0 th× sè 3n + 1 vµ 4n + 1 nguyªn tè cïng nhau. Tài liệu đính kèm:
Đề bài: Bài 1: Chứng minh hai số 2n + 3 và 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 2: Chứng minh hai số 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 3: Chứng minh rằng: B = 888….8 – 9 + n (n chữ số 8) chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải:
Gọi d là số nguyên tố thuộc ƯC(ab, a + b) nên suy ra: ab ⋮ d và a + b ⋮ d. Vì (a, b) = 1 Cho (a, b) = 1. CMR: (ab, a + b) = 1nên suy ra: một trong hai số a hoặc b chia hết cho d. Giả sử a ⋮ d, mà a + b ⋮ d nên suy ra: b ⋮ d. =>(a, b) = d mâu thuẫn với (a, b) = 1. Nên suy ra: (ab, a + b) = 1 (đpcm). Hai số nguyên tố cùng nhau Số nguyên tố là số tự nhiên có các điều kiện sau: Số đó lớn hơn 1. Số đó không thể được hình thành bằng cách nhân hai số tự nhiên nhỏ hơn.Hai số được gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của 2 số bằng 1. Phương pháp xác định 2 số nguyên tố cùng nhau: Dùng thuật toán Euclid để xác định tính nguyên tố cùng nhau trong hai số nguyên. Phi hàm của một số nguyên dương a là số các số nguyên giữa 1 và a nguyên tố cùng nhau với n. Có thể bạn quan tâm: Hỗ Trợ Giải Toán Khối 6 Trực Tuyến – Hs Mai Thị Hương Tính chất của 2 số nguyên tố cùng nhau:
số nguyên tố j và k là 2 số nguyên tố cùng nhau nếu thỏa mãn các điều kiện dưới đây: * Xuất hiện x và y sao cho jx + ky = 1 (theo Đẳng thức Bézout). * xuất hiện số nguyên y mà jy ≡ 1 (mod k). Đặc biệt: Số nguyên tố nhỏ nhất có 1,2,3 chữ số lần lượt là:2,11,101, 97, 997 Một số bài tập minh họa Tải tài liệu miễn phí ở đây
Ngày đăng: 20/10/2018 Hướng dấn giải bài toán lớp 6 chủ đề “Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau”. Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có Ước chung lớn nhất là 1 . Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 3. Trong bài viết này hệ thống giáo dục Vinastudy.vn sẽ hướng dẫn cách giải bài toán chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau. Kính mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo ! Thông thường để chứng minh hai số a và b là nguyên tố cùng nhau, ta thường dùng phương pháp sau: Đặt ƯCLN(a, b) = 1 Suy ra mỗi số đều chia hết cho d sau đó tìm cách chứng minh d = 1. Bài 1: Chứng minh rằng: 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. (với n $\in $ N) Bài giải: Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 3n + 1) $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2n+1\vdots d \\ & 3n+1\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 3(2n+1)\vdots d \\ & 2(3n+1)\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 6n+3\vdots d \\ & 6n+2\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ (6n + 3) – (6n + 2) $\vdots $ d $\Rightarrow $1 $\vdots $d $\Rightarrow $d = 1 Do đó: ƯCLN(2n + 1; 3n + 1) = 1 Vậy hai số 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 2: Chứng minh rằng: 2n + 5 và 4n + 12 là hai số nguyên tố cùng nhau. (với n $\in $ N) Bài giải: Gọi d = ƯCLN(2n + 5; 4n + 12) $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2n+5\vdots d \\ & 4n+12\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2(2n+5)\vdots d \\ & 4n+12\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 4n+10\vdots d \\ & 4n+12\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ (4n + 12) – (4n + 10) $\vdots $ d $\Rightarrow $2 $\vdots $d Mà: 2n + 5 là số lẻ nên d = 1 Do đó: ƯCLN(2n + 5; 4n + 12) = 1 Vậy hai số 2n +5 và 4n + 12 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 3: Chứng minh rằng: 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. (với n $\in $ N) Bài giải: Gọi d = ƯCLN(12n + 1; 30n + 2) $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 12n+1\vdots d \\ & 30n+2\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 5(12n+1)\vdots d \\ & 2(30n+2)\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 60n+5\vdots d \\ & 60n+4\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ (60n + 5) – (60n + 4) $\vdots $ d $\Rightarrow $1 $\vdots $d $\Rightarrow $d = 1 Do đó: ƯCLN(12n + 1; 30n + 2) = 1 Vậy hai số 12n +1 và 30n +2 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 4: Chứng minh rằng: 2n + 5 và 3n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. (với n $\in $ N) Bài giải: Gọi d = ƯCLN(2n + 5; 3n + 7) (với d $\in $N*) $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2n+5\vdots d \\ & 3n+7\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 3(2n+5)\vdots d \\ & 2(3n+7)\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 6n+15\vdots d \\ & 6n+14\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ (6n + 15) – (6n + 14) $\vdots $ d $\Rightarrow $1 $\vdots $d $\Rightarrow $d = 1 Do đó: ƯCLN(2n + 5; 3n + 7) = 1 Vậy hai số 2n + 5 và 3n +7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 5: Chứng minh rằng: 5n + 7 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. (với n $\in $N) Bài giải: Gọi d = ƯCLN(5n + 7; 3n + 4) (với d $\in $N*) $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 5n+7\vdots d \\ & 3n+4\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 3(5n+7)\vdots d \\ & 5(3n+4)\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 15n+21\vdots d \\ & 15n+20\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ (15n + 21) – (15n + 20) $\vdots $ d $\Rightarrow $1 $\vdots $d $\Rightarrow $d = 1 Do đó: ƯCLN(5n + 7; 3n + 4) = 1 Vậy hai số 5n + 7 và 3n +4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 6: Chứng minh rằng: 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. (với n $\in $N) Bài giải: Gọi d = ƯCLN(7n + 10; 5n + 7) (với d $\in $N*) $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 7n+10\vdots d \\ & 5n+7\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 5(7n+10)\vdots d \\ & 7(5n+7)\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 35n+50\vdots d \\ & 35n+49\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ (35n + 50) – (35n + 49) $\vdots $ d $\Rightarrow $1 $\vdots $d $\Rightarrow $d = 1 Do đó: ƯCLN(7n + 10; 5n + 7) = 1 Vậy hai số 7n + 10 và 5n +7 là hai số nguyên tố cùng nhau. -----------Chúc các con học tốt ! ------------- Phụ huynh có thể tham khảo các khóa học Toán lớp 6 tại link: Toán lớp 6: mon-toan-dc8746.html Tác giả: Vinastudy ******************************** Hỗ trợ học tập: _Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc _Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/ _Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/ Khách hàng nhận xét |
