Hàm số bậc nhất là một chương cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS. Chủ đề này luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi tuyển sinh vào lớp 10. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru gửi đến bạn đọc bài viết tổng hợp những phương pháp và ví dụ minh họa điển hình kèm lời giải chi tiết. Cùng nhau khám phá nhé: Show
I. Trọng tâm kiến thức về hàm số bậc nhất.1. Hàm số bậc nhất là gì?Hàm số có dạng y=ax+b (  2. Tính biến thiên ở hàm số bậc nhất.- Xét hàm số y=ax=b (a≠0): - Tập xác định: D=R - Khi a>0, hàm số đồng biến. Ngược lại, khi a<0, hàm số nghịch biến. - Ta có bảng biến thiên hàm số: 3. Đồ thị hàm số.Hàm số y=ax+b ( Đặc biệt, trong trường hợp a=0, hàm số suy biến thành y=b, là một hàm hằng, đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành. Lưu ý: khi cho đường thẳng d có hệ số góc a, đi qua điểm (x0;y0), sẽ có phương trình: II. Các dạng toán hàm số bậc nhất tổng hợp.Dạng 1: Tìm hàm số bậc nhất, xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất.Phương pháp: Đối với bài toán xác định hàm số bậc nhất, ta sẽ làm theo các bước: - Hàm số cần tìm có dạng: y=ax+b (Đối với bài toán tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất: gọi đường thẳng d: y=ax+b (a≠0), đường thẳng d’: y=a’x+b’ (a’≠0), lúc này: + d trùng d’ khi và chỉ khi:đặc biệt khi thì d vuông góc với d’. Ví dụ 1: Xét hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, hãy xác định hàm số biết rằng: a. d đi qua điểm (1;3) và (2;-1). b. d đi qua điểm (3;-2), đồng thời song song với d’: 3x-2y+1=0. c. d đi qua điểm (1;2), đồng thời cắt tia Ox và tia Oy lần lượt tại M, N thỏa diện tích tam giác OMN là nhỏ nhất. d. d đi qua (2;-1) và vuông góc với d’: y=4x+3.Hướng dẫn: Hàm số có dạng y=ax+b ( a. Chú ý: một đường thẳng có dạng y=ax+b ( Vì hàm số đi qua hai điểm (1;3) và (2;-1), ta có hệ phương trình: Vậy đáp số là Do d song song d’, suy ra: lại có d đi qua (3;-2), suy ra: Ta có thu được hàm số cần tìm. c. Tọa độ các điểm cắt lần lượt là:Do điểm giao nằm trên tia Ox và tia Oy, vì vậy a<0 và b>0 Lúc này, diện tích tam giác được tính theo công thức: Theo đề, đồ thị đi qua điểm (1;2), suy ra: 2=a+b ⇒ b=2-a Thế vào công thức diện tích: Vậy diện tích tam giác MNO đạt nhỏ nhất khi: Đáp số cần tìm: Chú ý: ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương để giải bài toán trên, cụ thể: cho hai số thực dương a,b, khi đó ta có bất đẳng thức: điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi: a=b d. Đồ thị đi qua điểm (2;-1) nên: Lại có d vuông góc d’:
Vậy ta thu được: Ví dụ 2: Xét hai đường thẳng d:y=x+2m và d’:y=3x+2.
Hướng dẫn: a. Vì 1≠3 (hai hệ số góc khác nhau) nên d và d’ cắt nhau.Tọa độ giao điểm là nghiệm của: Vậy tọa độ giao điểm là M(m-1;3m-1) b. Do 3 đường thẳng đồng quy, vậy M ∈d’’. Suy ra:Xét: m=1, khi đó 3 đường thằng là d:y=x+2; d’: y=3x=2 và d’’: y=-x+2 phân biệt cắt nhau tại (0;2) m=-3 khi đó d’ trùng với d’’, không thỏa mãn tính phân biệt.Vậy m=1 là đáp số cần tìm. Dạng 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.Phương pháp: Dựa vào tính chất biến thiên đã nêu ở mục I để giải. Ví dụ 1: Cho hàm số sau, xét sự biến thiên: Hướng dẫn: a. Tập xác định D=Ra=3>0, vậy nên hàm số đồng biến trên R. Bảng biến thiên được vẽ như sau: Vẽ đồ thị: để vẽ đồ thị, ta xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua, cụ thể là hai điểm (-2;0) và (-1;3) Tập xác định D=R. Hệ số góc a<0, hàm số nghịch biến trên R. Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số: Dạng 3: Hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối.Phương pháp: Xét đồ thị hàm số có dạng Cách 1: Vẽ đồ thị (C1) của hàm số y=ax+b với các tọa độ x thỏa mãn ax+b≥0. Tiếp tục vẽ đồ thị (C2) của hàm số y= -ax-b ở các tọa độ x thỏa mãn ax+b<0. Đồ thị © cần tìm là hợp của đồ thị (C1) và (C2). Cách 2: Vẽ đồ thị (C’) của hàm số y=ax+b, lấy đối xứng phần đồ thị (C’) nằm dưới trục hoành qua trục hoành, rồi xóa toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Phần đồ thị còn lại là đồ thị © cần tìm. Mở rộng: Cho trước đồ thị (C) : y=f(x). Khi đó:
Ví dụ: Vẽ đồ thị: Hướng dẫn: a. Khi x≥0, hàm số có dạng y=2x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (0;0) và (1;2) (chú ý chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0) - Khi x<0, hàm số có dạng y=-x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (-1;1) và (-2;2) (chú ý lấy phần nằm bên trái đường thẳng x=0)
|
