✬✩TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI IIKHOA TOÁN——————————o0o——————————ĐỖ THỊ HÒAỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁNTHỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤPKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: GIẢI TÍCHNgười hướng dẫn khoa họcTH.S NGUYỄN QUỐC TUẤNHÀ NỘI- 2016✫✪Mục lụcLỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiLỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiLỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivChương 1MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ11.1Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Chương 2ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN4THỰC TẾ2.1Bài toán đường truyền của tia sáng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2Bài toán tốc độ tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3Bài toán lợi nhuận kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4Bài toán chuyển động cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1Các thành phần ngang và dọc của vận tốc . . . . . . . . . . 162.4.2Gia tốc của vật thể khi chuyển động cong . . . . . . . . . . 172.4.3Nếu x, y không có phương trình tham số . . . . . . . . . . . 18Chương 3ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN SƠ CẤP213.1Ứng dụng của đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của phương trình . . 213.2Ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệphương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.1Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2Giải bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . 32iKhóa luận tốt nghiệp3.33.4Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . 343.3.1Sử dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2Sử dụng định lí Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . 403.4.1Khảo sát trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.2Khảo sát gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5Ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . 453.6Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . 463.7Ứng dụng đạo hàm để tính tổng trong khai triển nhị thức Newton . . 49Kết Luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Đỗ Thị HòaiiK38B SP ToánLỜI CẢM ƠNĐể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành tới các thầy giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 ,đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa vàtrong suốt thời gian làm khóa luận.Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Nguyễn Quốc Tuấn giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếphướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trình làmkhóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay.Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thâncòn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rấtmong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạnđọc.Tôi xin chân thành cảm ơn!Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016Sinh viênĐỗ Thị HòaiiiLỜI CAM ĐOANKhóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tậntình của thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Tuấn.Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.Tôi xin khẳng định đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toánthực tế và toán phổ thông” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗlực của bản thân, không có sự trùng lặp với các khóa luận trước đó.Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016Sinh viênĐỗ Thị HòaivLỜI NÓI ĐẦUTrong ngành giải tích toán học, đạo hàm như một nét đẹp tinh túy. Có thểnói, đạo hàm xuất hiện trong hầu hết các bài toán lí thuyết cũng như các bàitoán thực tiễn.Năm 1630, nhà toán học Fermat đã sử dụng một “công cụ” mới mẻ để giảiquyết các bài toán cực trị vô cùng hiệu quả. Tuy nhiên, ở thời điểm đó ôngsử công cụ này như một quy tắc và chưa có một cơ sở lí thuyết cho quy tắcnày.Đến những năm 1671 - 1675, hai nhà toán học Newton và Leibniz đã đồngđưa ra khái niệm đạo hàm và vi phân dựa trên phép toán giới hạn. Có thểnói, khái niệm đạo hàm này làm sáng tỏ về mặt lí thuyết cho quy tắc Fermatđã được chúng ta sử dụng trong những năm trước đó. Ngoài ra, Newton vàLeibniz sử dụng đạo hàm, vi phân để nghiên cứu các bài toán về tiếp tuyến,các bài toán về chuyển động chất điểm và từ đó thu được những kết quả vôcùng ý nghĩa.Ngày nay, ngoài ứng dụng trong toán học đạo hàm còn được ứng dụng ởnhiều lĩnh vực khác nhau. Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tính toántốc độ tăng trưởng nhằm giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định hợp lí, đúngđắn về sự lựa chọn mặt hàng kinh doanh cho lợi nhuận cao nhất hay đầutư với số lượng bao nhiêu là hợp lí. Hoặc muốn hoạch định chiến lược trongkinh tế vĩ mô liên quan đến tốc độ gia tăng dân số của một quốc gia thì đạohàm là cần thiết. Trong giao thông, thật bất ngờ khi không cần điều khiểnphương tiện mà cảnh sát giao thông vẫn biết được tốc độ vận hành của cácphương tiện đang tham gia giao thông trên đường nhờ súng bắn tốc độ. Đólà ứng dụng lí thú của đạo hàm.Chính vì vậy, đạo hàm có ứng dụng vô cùng to lớn trong toán học và nhiềuvKhóa luận tốt nghiệplĩnh vực khác của cuộc sống.Với những ứng dụng quan trọng và rộng rãi của đạo hàm, cùng với sự chỉdẫn, động viên của thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn, tôi mạnh dạn lựa chọn,nghiên cứu đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toánsơ cấp” trong khóa luận tốt nghiệp đại học.Khóa luận gồm ba chươngChương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một số kiến thức về đạohàm, trình bày một số định nghĩa, định lí và một số ứng dụng của đạo hàmsẽ được sử dụng ở các chương sau.Chương 2. Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế. Mục đích chínhcủa chương này là trình bày những ứng dụng của đạo hàm trong một số bàitoán thực tế. Đó là bài toán đường truyền của tia sáng, bài toán tốc độ tươngđối, bài toán lợi nhuận kinh tế và bài toán chuyển động cong.Chương 3. Ứng dụng của đạo hàm trong toán sơ cấp. Mục đích của chươngnày trình bày những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán sơ cấp.Đó là ứng dụng xét sự tồn tại nghiệm của phương trình; giải phương trình,giải bất phương trình, giải hệ phương trình, giải hệ bất phương trình; chứngminh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; tính giới hạn của hàmsố, dãy số; tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.Do còn hạn chế về trình độ và thời gian thực hiện đề tài, vì vậy khóa luậnkhông tránh khỏi những sai sót. Rất mong được thầy cô và bạn đọc góp ý đểđề tài này hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!Đỗ Thị HòaviK38B SP ToánChương 1MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 Một số định nghĩaĐịnh nghĩa 1.1 (xem [1]). Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b)và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạnf (x) − f (x0 ),limx→x0x − x0thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 và kí hiệuf (x0 ) hoặc y (x0 ), tức làf (x) − f (x0 ).x→x0x − x0f (x0 ) = limChú ý 1.1. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì hàm số liên tục tạix0 .Đại lượng ∆x = x − x0 được gọi là số gia đối số tại x0 .Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số giatương ứng của hàm số. Như vậy∆y.∆x→0 ∆xĐịnh nghĩa 1.2 (xem [1]). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phảif (x) − f (x0 )lim+,x − x0x→x0f (x0 ) = limta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y = f (x) tại x0 và kíhiệu là f (x+0 ).Tương tự giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)f (x) − f (x0 )lim−,x − x0x→x01Khóa luận tốt nghiệpđược gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f (x) tại x0 và kí hiệu là f (x−0 ).Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn - xem [1]).i. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên (a; b) nếu nó có đạo hàmtại mọi điểm trên khoảng đó.ii. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên [a; b] nếu nó có đạo hàmtại mọi điểm trên khoảng (a; b), có đạo hàm phải tại x = a và đạo hàm tráitại x = b.Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm cấp hai - xem [1]). Giả sử hàm số y = f (x) cóđạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a; b). Khi đó, hệ thức y = f (x) xác định mộthàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thìta gọi đạo hàm của y là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x) và kí hiệu lày hoặc f (x).1.2 Một số tính chất cơ bảnĐịnh lí 1.1 (xem [1]). Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khiđạo hàm trái và đạo hàm phải tồn tại và bằng nhau.Định lí 1.2 (Định lí Fermat - xem [1]). Cho hàm f (x) xác định trên khoảng(a; b). Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 và khả vi tại x0 thì f (x0 ) = 0.Định lí 1.3 (Định lí Roll - xem [1]). Giả sử hàm f : [a; b] → R liên tục vàkhả vi trong (a; b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.Định lí 1.4 (Định lí Lagrange - xem [1]). Nếu hàm số y = f (x) liên tụctrên [a; b], có đạo hàm trên (a; b). Khi đó, tồn tại điểm c thuộc (a; b) saof (b) − f (a).cho f (c) =b−aĐịnh lí 1.5 (xem [1]). Giả sử hàm y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứađiểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). Khi đói. Nếu f (x) đổi dấu khi từ âm sang dương khi x qua x0 thì hàm số đạt cựctiểu tại x0 .ii. Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì hàm số đạt cựcđại tại x0 .Đỗ Thị Hòa2K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpĐịnh lí 1.6 (xem [1]). Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)chứa x0 , f (x0 ) = 0 và f (x) có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 . Khiđói. Nếu f (x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 .ii. Nếu f (x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .Đỗ Thị Hòa3K38B SP ToánChương 2ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀMTRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ2.1 Bài toán đường truyền của tia sángLuật phản xạ của một tia sáng đi từ điểm A tới một gương phẳng rồi phảnxạ đến B đã được biết đến từ thời Hi Lạp cổ đại. Tuy nhiên, sự thật là tiasáng phản xạ theo con đường ngắn nhất được phát hiện muộn hơn nhiềubởi Heron tại thành Alexandria ở thế kỉ thứ nhất trước công nguyên. Ôngđã chứng minh rất đơn giản và khéo léo nhờ bất đẳng thức tam giác để chỉra rằng tia sáng đã chọn đường đi ngắn nhất từ A tới gương rồi tới B. Tuynhiên, bài toán này còn được giải nhanh chóng hơn bằng công cụ đạo hàmtrong toán học. Để rõ hơn ta xét bài toán 2.1.Bài toán 2.1. Giả sử một tia sáng đi từđiểm A tới một gương phẳng rồi phản xạđến điểm B như trong hình 2.1. Thựcnghiệm cho thấy, góc tới α bằng góc phảnxạ β. Chứng minh rằng, tia sáng đã chọncon đường ngắn nhất từ A tới gương rồitới B.Chứng minh. Giả sử A , B lần lượt làHình 2.1hình chiếu của A và B lên gương phẳng và P là điểm nằm trên gương phẳngnhư hình 2.1. Đặt AA = a, BB = b, A B = c, A P = x suy ra P B = c − x.Khi đó, độ dài L(x) của đường đi mà tia sáng từ A tới B làL(x) = AP + P B,4Khóa luận tốt nghiệphaya2 + x2 +L(x) =b2 + (c − x)2 ,là một hàm số phụ thuộc theo biến x trên [0; c]. Dễ thấy nó khả vi trên [0; c].Lấy đạo hàm của hàm L(x) ta đượcc−xdL(x)x−=√dxa2 + x2b2 + (c − x2 ).Theo thực tiễn, ánh sáng đi từ A tới gương rồi tới B thỏa α = β cho nêncos α = cos β hay√c−xx=a2 + x2b2 + (c − x2 )Suy ra, tại điểm P ứng với α = β thì đạo hàm.dL(x)= 0. Hơn nữa, lấy đạodxhàm cấp hai của L(x) ta đượcd2 L(x)=dx2a2(a2 + x2 )3+b2(b2 + (c − x2 ))3>0nên theo Định lý 1.6 suy ra L đạt cực tiểu.Vì vậy, ta đã chỉ ra rằng tia sáng đã chọn con đường ngắn nhất từ A tới∇gương rồi tới B.Như ta đã biết, tia sáng đi trong môi trường thuần nhất thì nó được truyềntheo đường thẳng với tốc độ không đổi. Tuy nhiên, trong môi trường khácnhau (không khí, nước, thủy tinh) liệu tia sáng còn truyền được theo đườngthẳng và tốc độ như nhau nữa không? Năm 1621, nhà khoa học Hà Lan Snellđã phát hiện đường truyền thực sự của một tia sáng. Tia sáng sẽ lệch hướngkhi đi qua mặt phân cách. Tính chất này được gọi là luật khúc xạ Snell. Cụthể là bài toán 2.2Bài toán 2.2. Giả sử tia sáng đi từ điểm A trong không khí với vận tốc Vatới điểm P tại mặt phân cách rồi truyền đến điểm B trong nước với vận tốclà Vn . Chứng tỏ rằng, con đường mà tia sáng đi từ A đến B là con đường mấtít thời gian nhất. Biết rằng góc tới, góc phản xạ lần lượt là α, β và thỏasin αVa== cont.sin βVnĐỗ Thị Hòa5(2.1)K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpHình 2.2Chứng minh. Giả sử A , B lần lượt là hình chiếu của A và B lên mặt phâncách. Đặt AA = a, BB = b, A B = c, A P = x suy ra P B = c − x. Khi đó,thời gian T (x) mà tia sáng đi từ A tới B là√b2 + (c − x)2a2 + x2T (x) =+,VaVnlà một hàm số phụ thuộc theo biến x trên [0; c]. Dễ thấy nó khả vi trên [0; c].Lấy đạo hàm của hàm T (x) ta đượcdT (x)x= √−dxVa x2 + a2 Vnc−xb2 + (c − x)2=sin α sin β−.VaVnMặt khác, theo thực nghiệm ta cósin αVasin αsin βhay=.=sin βVnVaVnTừ đó suy ra đạo hàmT (x) ta đượcdT (x)= 0. Hơn nữa, lấy đạo hàm cấp hai của hàmdxd2 T (x)=dx2Vaa2(a2 + x2 )3+b2Vn(b2 + (c − x2 ))3>0nên theo Định Lý 1.6 suy ra T đạt cực tiểu.Vậy ta đã chỉ ra rằng con đường tia sáng đi từ A tới B là ít thời gian∇nhất.Đỗ Thị Hòa6K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpNhận xét 2.1. Hằng số bên phải của (2.1) là tỉ lệ giữa tốc độ của ánh sángtrong không khí và tốc độ của ánh sáng trong nước. Hằng số này gọi là chỉsố chiết suất của nước.2.2 Bài toán tốc độ tương đốiGiả sử bạn đang đổ nước vào một cái bình. Hãy quan sát và mô tả sự dânglên của mực nước trong bình. Ở đây, chúng ta đang nói tới tốc độ thay đổicủa mực nước hoặc một cách tương đương là tốc độ thay đổi của chiều sâu.Nếu chiều sâu và thời gian lần lượt được kí hiệu là h và t được tính từ mộtthời điểm phù hợp nào đó, vậy thìdhdt≈h(t+∆t)−h(t)∆tlà tốc độ thay đổi củachiều sâu tại thời gian t. Tương tự như vậy thì thể tích V của nước trongbình cũng thay đổi theo thời gian vàdVdt≈V (t+∆t)−V (t)∆tlà tốc độ thay đổi củathể tích tại thời điểm t.Nói chung, giả sử Q là một đại lượng hình học hay một đại lượng vật líthay đổi theo thời gian, tức Q = Q(t). Khi đó, đạo hàm của nó được cho bởicông thứcdQdt= lim∆t→0Q(t+∆t)−Q(t)∆tlà tốc độ thay đổi của đại lượng Q tại thờiđiểm t. Hơn nữa, nếu đại lượng thay đổi mà đại lượng này quan hệ với đạilượng kia thì tốc độ thay đổi của chúng cũng có quan hệ với nhau.Để rõ hơn ta xét bài toán 2.3 và bài toán 2.4Bài toán 2.3. Gas được bơm vào khối cầu cao su lớn có bán kính r với tốcđộ 8cm3 /s. Chứng minh rằng tốc độ tăng của bán kính r bằng12π cm/skhibán kính r của khối cầu bằng 2cm.Chứng minh. Thể tích V của khối cầu với bán kính r được cho bởi côngthức4V = πr3 .3Theo giả thiết khối cầu được bơm gas vào với tốc độ 8cm3 /s nghĩa là(2.2)dVdt= 8.Chúng ta thấy rằng cả V và r đều phụ thuộc vào thời gian t. Vì vậy, để xuấthiện cả tốc độ thay đổi của V và r ta lấy vi phân đẳng thức (2.2) theo t tađượcĐỗ Thị HòadVdr= 4πr2 .dtdt7(2.3)K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpTừ (2.3) suy raThaydrdtdr1 dV2dV== 2 (vì= 8).(2.4)2dt4πr dt4rdt1= 2πcm/s và r = 2cm vào (2.4) và thấy rằng nó nghiệm đúng phươngtrình.∇Vì vậy ta có điều phải chứng minh.Nhận xét 2.2. Kết quả trên cho thấy mặc dù thể tích của khối cầu tăng vớimột tốc độ không đổi nhưng bán kính tăng tỉ lệ nghịch với thể tích.Bài toán 2.4. Một cái thang dài 13f t đang dựa vào một bức tường thì phầnchân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độ không đổi 6f t/min. Chứng minhrằng, đầu trên của chiếc thang chuyển động xuống phía dưới chân tường vớitốc độ là 2, 5f t/min khi chân thang cách tường là 5f t.(a)(b)Hình 2.3Chứng minh. Ta mô tả tình huống trên bằng hình vẽ (hình 2.3). Giả sử xlà khoảng cách từ chân thang tới tường và y là khoảng cách từ đầu trên củathang tới mặt đất. Khi đó, ta quy ướcdydtlà tốc độ mà y thì đang tăng theothời gian t và − dydt là tốc độ mà y thì đang giảm theo thời gian t.Như vậy, trong bài toán này ta cần chứng tỏ rằng − dydt = 2, 5f t/min khix = 5.Thật vậy, theo giả thiết chân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độkhông đổi là 6f t/min nghĩa làdxdt= 6. Mặt khác, từ hình vẽ (2.3) ta cóx2 + y 2 = 169.Đỗ Thị Hòa8(2.5)K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpLấy vi phân (2.5) theo t, ta có2xdxdy+ 2y= 0,dtdtsuy ra−nêndyxdx=,dtydtdy6x=.dty(2.6)Từ (2.5) khi x = 5 ta có y = 12. Thay vào (2.6), ta được−dy6.5== 2, 5f t/min.dt12∇Vì vậy, ta có điều phải chứng minh.2.3 Bài toán lợi nhuận kinh tếPhép tính vi phân xuất hiện hơn ba thế kỉ trước, đầu tiên chúng được ứngdụng trong vật lí, sau đó nó tiếp tục được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác.Đặc biệt, nó có nhiều ứng dụng trong lí thuyết kinh tế và quản lí kinh doanh.Các ứng dụng này tập trung chủ yếu quanh vấn đề về tổng chi phí, giá cả,lượng hàng tồn kho (dự trữ),...Trong cơ chế thị trường hiện nay ở nước ta, mục tiêu lâu dài bao trùmcủa các doanh nghiệp là kinh doanh có hiệu quả và tối đa hóa lợi nhuận. Môitrường kinh doanh luôn biến đổi đòi hỏi mỗi doanh nghiệp phải có chiến lượckinh doanh thích hợp. Công việc kinh doanh là một nghệ thuật đòi hỏi sựtính toán nhanh nhạy, biết nhìn nhận vấn đề ở tầm chiến lược. Vậy sẽ xuấthiện hai bài toán lớn mà các nhà kinh doanh cần phải giải quyết.Bài toán 2.5. Giả sử một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y. Tổng chiphí C = C(x) là một hàm phụ thuộc theo x sản lượng hàng hóa Y. Tổng chiphí này thường bao gồm hai loại: thứ nhất là chi phí để xây dựng nhà máy,mua sắm máy móc, nó là một con số cố định a; loại thứ hai là chi phí tiềnlương và chi phí vật liệu thô. Vậy làm sao để hoạt động sản xuất đạt hiệu quảtối đa?Đỗ Thị Hòa9K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpLời giải. Ta thấy chi phí tiền lương và vật liệu thô để làm ra một đơn vịsản lượng là cố định, giả sử là b. Khi đó, để làm ra x sản phẩm hàng hóa Ycần bx chi phí. Trong các mô hình đơn giản, tổng chi phí C được tính nhưsauC(x) = a + bx.(2.7)Để cho doanh nghiệp sản xuất hiệu quả nhất thì chi phí đạt cực tiểu và lợinhuận đạt cực đại hay chi phí trung bìnhcủa hàmC(x)xC(x)xđạt cực tiểu. Ta lấy đạo hàmta đượcC(x)x=xC (x) − C(x).x2Mức làm hiệu quả sản xuất tối đa là mức làm cho đạo hàm của nó bằngkhông, tức làxC (x) − C(x)= 0,x2hayC (x) =C(x).x(2.8)Vì vậy, ta kết luận rằng hoạt động sản xuất đạt hiệu quả tối đa khi chiphí lề bằng chi phí trung bình.Nhận xét 2.3. Tuy nhiên, thực tế thì tổng chi phí không chỉ đơn giản nhưvậy mà nó còn phụ thuộc cả vào thời gian hoặc loại chi phí thứ hai nhiều khikhông chỉ tỉ lệ với x vì khi x tăng (theo thời gian) thì máy móc hỏng nhiềuhơn và những sự thiếu hiệu quả khác mà nó phát sinh từ lực lượng sản xuấtvới mức độ ngày càng cao hơn. Vì vậy, hàm chi phí có dạngC(x) = a + bx + cx2 ,(2.9)hoặc nó có thể là hàm phức tạp hơn nữa. (Có thể hình dung về hàm chi phínhư vậy trong hình 2.4a). Đạo hàmdCdxcho ta biết tốc độ của tổng chi phí Ctheo x. Các nhà kinh tế gọi đạo hàm này là chi phí lề (hay chi phí cận biên).Thực tế nó chính là chi phí gia tăng khi ta muốn tăng sản lượng lên một đơnĐỗ Thị Hòa10K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệp(a)(b)Hình 2.4vị từ mức x. Thật vậy, khi sản lượng biến đổi từ x tới x + 1 (mức tăng tốithiểu) thìdCC(x + 1) − C(x)≈= C(x + 1) − C(x)dx1như chỉ ra trong hình 2.4b. Hình 2.4a cho thấy qua tốc độ của đường congtăng nhanh chi phí lề có thể lên giá trị cao nhất như là một tình huống lạthường trong sản xuất.Một vấn đề quan tâm hàng đầu nữa của nhà sản xuất đó là làm ra lợinhuận và sao cho tối đa hóa nó. Vậy làm sao để lợi nhuận của nhà sản xuấtđạt giá trị lớn nhất? Ta xét bài toán 2.6Bài toán 2.6. Giả sử một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y . Biết rằngC = C(x) là hàm tổng chi phí tính theo x sản lượng hàng hóa Y . Hãy tínhtoán sao cho hoạt động sản xuất của doanh nghiệp này đạt lợi nhuận tối đa.Lời giải. Ta thấy rằng mức lợi nhuận của nhà sản xuất phụ thuộc vào giábán p. Nhà sản xuất luôn mong muốn rằng có thể bán được x đơn vị sảnphẩm với giá đặc biệt p. Nói chung, với giá p giảm thì thường phải giảm sảnlượng x (xem hình 2.5b biểu thị sản lượng x như một hàm của giá bán p). Đểcho tiện, ta thường biểu thị các yếu tố liên quan qua sản lượng x, nên hình2.5a cho ta hình dung về p như là một hàm của x. Nhiều khi giá bán và sảnlượng cũng không biến đổi tỉ lệ thuận. Đối với mặt hàng thiết yếu như gạo vàxăng dầu con người vẫn phải mua thường xuyên với mức khá ổn định bất kểĐỗ Thị Hòa11K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpgiá cả thế nào. Ngược lại, đối với những mặt hàng không thiết yếu như bánhkẹo thì ngày càng nhiều người mua nó khi giá của nó thấp, có nghĩa là hànghóa càng nhiều thì giá thành càng giảm. Vì vậy, nhiều khi hàm giá p = p(x)mô tả liên hệ giữa giá p và nhu cầu của thị trường về mặt hàng đó. Vì vậy,nó còn được gọi là hàm cầu. Giả sử R(x) là hàm tổng doanh thu của nhà sản(a)(b)Hình 2.5xuất và hàm thu nhập lề là R (x) - thu nhập gia tăng khi sản lượng tăng lênmột đơn vị từ mức x. Khi đó, lợi nhuận P (x) là hiệu giữa doanh thu và tổngchi phíP (x) = R(x) − C(x).(2.10)Nói chung, nhà sản xuất sẽ thất thu khi sản lượng quá thấp, bởi vì giá chiphí cố định là a, và cũng thất thu khi sản lượng quá cao, vì giá chi phí lề cao.Vì thế nhà sản xuất chỉ có thể có lãi khi sản lượng quanh mức trung bình.Đạo hàm hai vế của (2.10) ta đượcP (x) = R (x) − C (x).Mức sản lượng làm cực đại lợi nhuận là mức mà tại đó đạo hàm P (x) = 0,tức làR (x) − C (x) = 0,hayR (x) = C (x).Vì vậy, ta kết luận được rằng lợi nhuận của doanh nghiệp đạt giá trị lớnnhất khi mà sản lượng được điều chỉnh sao cho thu nhập lề bằng chi phí lề.Đỗ Thị Hòa12K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpNhận xét 2.4. Giả sử p(x) là giá bán của đơn vị sản phẩm. Khi đó, thunhập R(x) = xp(x) và (2.10) trở thànhP (x) = xp(x) − C(x).(2.11)Do đó, nếu biết cả hàm cầu p(x) và hàm tổng chi phí C(x) thì ta có thể sửdụng (2.10) để tính mức sản lượng x làm cực đại lợi nhuận P . Rõ ràng giá trịđó của x không chỉ phụ thuộc vào giá bán p(x) mà còn phụ thuộc vào tổngchi phí C(x).Chính vì vậy, từ các nghiên cứu trên cho thấy được vai trò quan trọng củađạo hàm trong kinh tế. Nói cách khác, trong kinh tế học hiện đại cần tớinhiều loại toán khác nhau, đặc biệt là rất cần phép tính vi phân.Áp dụng lí thuyết trên vào các ví dụ sauVí dụ 2.1. Một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y . Biết rằng lợi nhuậnP của doanh nghiệp là một hàm phụ thuộc vào mức sản lượng Q như sau1P = − Q3 + 14Q2 + 60Q − 54.3Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.Lời giải. Thực ra ta chỉ cần khảo sát để tìm giá trị lớn nhất của P . Dễ thấyP xác định trên (0; +∞). Đạo hàm của hàm số P ta đượcP = −Q2 + 28Q + 60.Cho P = 0 suy ra −Q2 + 28Q + 60 = 0 bởi vậy Q = 20 hoặc Q = −2 (loại).Cụ thể, ta có bảng biến thiênQ−∞0+∞20+P (Q)0−P (20)P (Q)−54−∞Từ bảng biến thiên thấy P đạt giá trị lớn nhất khi Q = 20.Vậy mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa của nhà sản xuất là 20.Đỗ Thị Hòa13K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpNhận xét 2.5. Vậy bài toán đã được giải quyết bằng công cụ giải tích mộtcách nhanh chóng.Ví dụ 2.2. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh√3với giá P = 200000 VNĐ . Cho biết hàm sản xuất Q = 12 L2 và giá trị thuêlao động là WL = 40000 VNĐ. Xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuậntối đa.Lời giải. Hàm lợi nhuận P của nhà sản xuất là√3P = P Q − W L = 2400000 L2 − 40000L.Chúng ta dễ thấy, hàm P khả vi trên R. Lấy đạo hàm của hàm P ta đượcP =Cho P = 0 suy ra1600000√3L1600000√− 40000.3L− 40000 = 0 bởi vậy L = 64000. Cụ thể, ta có bảngbiến thiênL−∞0+∞64000+P (L)0−P (64000)P (L)−∞0Theo bảng biến thiên thì P đạt giá trị lớn nhất tại L = 64000.Vậy mức sử dụng lao động tối đa là 64000.Ví dụ 2.3. Một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y. Biết rằng doanh thuP và chi phí C là các hàm phụ thuộc vào mức sản lượng Q lần lượt được chonhư sauP = 4000Q − 33Q2vàC = 2Q3 − 3Q2 + 400Q + 5000.Xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất.Đỗ Thị Hòa14K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpLời giải. Hàm lợi nhuận P của doanh nghiệp được tính như sauP = R − C = −2Q3 − 30Q2 + 3600Q − 5000.Chúng ta dễ thấy, hàm P khả vi trên [0; +∞). Lấy đạo hàm của hàm P tađượcP = −6Q2 − 60Q + 3600.Cho P = 0 suy ra −6Q2 −60Q+3600 = 0 bởi vậy Q = 20 hoặc Q = −30(loại).Cụ thể, ta có bảng biến thiênQ−∞0+∞20+P (Q)0−P (20)P (Q)−5000−∞Theo bảng biến thiên, ta suy ra P đạt giá trị lớn nhất tại Q = 20.Vậy mức sản lượng để tối ưu (sản lượng cho lợi nhuận tối đa) là Q = 20.2.4 Bài toán chuyển động congNhư ta đã biết, vận tốc chính là thương số giữa quãng đường và thời gianvật đi hết quãng đường đó, nhưng điều này chỉ đúng khi vận tốc là hằng sốcố định (hay vật chuyển động đều). Ta cần một công thức khác khi vận tốcthay đổi theo thời gian.Nếu ta có biểu thức S (quãng đường) theo t (thời gian) thì vận tốc ở bấtkì thời điểm nhỏ t nào được xác định bởi∆S,∆x→0 ∆tv = limhayv=dShoặc v = Sdtvà gia tốc được tính bởidvd2 Sa== 2.dtdtĐỗ Thị Hòa15K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpCông thức trên chỉ thích hợp với chuyển động thẳng, điều này chưa phù hợpvới nhiều vấn đề trong cuộc sống. Vì vậy, ta nghiên cứu khái niệm về chuyểnđộng cong khi một vật thể di chuyển trên đường cong cho trước.Thông thường ta biểu diễn thành phần chuyển động là x và y là hàm sốtheo thời gian, gọi là dạng tham số.2.4.1 Các thành phần ngang và dọc của vận tốcThành phần ngang của vận tốc được xác định bởidxvx =dtvà thành phần dọc của vận tốcdyvy = .dtTa có thể tìm độ lớn của vận tốc tổng hợp v một khi ta biết các thành phầnngang dọc của vận tốc bằng cách sử dụngv=vx2 + vy2 .Phương vị θ mà vật thể di chuyển được xác định bởivytan θv = .vxVí dụ 2.4. Một chiếc xe hơi chuyển động với biểu thức đường đi là x = 5t3và y = 4t2 với thời gian t, tìm độ lớn và phương vị của vận tốc của chuyểnđộng khi t = 10.Lời giải. Khi t = 10 ta được tọa độ điểm (5000; 400). Ta mô tả chuyển độngcủa chiếc xe bằng đồ thị sauĐỗ Thị Hòa16K38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpTa cóx = 5t3 .Vì vậydx= 15t2 .dtVới t = 10 vận tốc theo trục x làvx =dx= 1500 (m/s).dtTương tự, y = 4t2 nên vận tốc theo trục y khi t = 10 làvy =dy= 80 (m/s).dtVậy độ lớn của vận tốc sẽ làvx2 + vy2 = 1520, 1 (m/s).v=Bây giờ ta xác định phương vị của vận tốc (tính theo góc hợp với trục xdương)tan θv =vy= 0, 053.vxVậy θv = 0, 053 rad = 3, 05o .2.4.2 Gia tốc của vật thể khi chuyển động congBiểu thức của gia tốc có cách xác định tương tự như cách xác định vận tốc.Thành phần ngang của gia tốcax =dvx.dtay =dvy.dtThành phần dọc của gia tốcĐộ lớn của gia tốca=a2x + a2y .Phương vị của gia tốctan θa =Đỗ Thị Hòa17ay.axK38B SP ToánKhóa luận tốt nghiệpVí dụ 2.5. Một chiếc xe hơi trên đường chạy thử nghiệm đến khúc cua thìchạy với biểu thức đường đi là x = 20 + 0, 2t3 , y = 20t − 2t2 với x, y tính theomét (m) và t giây (s).i. Mô tả chuyển động của chiếc xe với 0 ≤ t ≤ 8.ii. Tính gia tốc và phương vị của xe khi t = 0, 3s.Lời giải. i. Đồ thị của đường cong với 0 ≤ t ≤ 8 làii. Từ biểu thức đường đi của chuyển động ta xác định được ax = 1, 2tvà ay = −4. Khi đó, tại t = 3 thì ax = 3, 6 và y = −4. Suy ra gia tốc a vàphương vị θa của chuyển động lần lượt làa=vàa2x + a2y = 5, 38ay= 312o .axVậy gia tốc của xe có độ lớn 5, 38 (m/s2 ) và phương vị 312o hợp với trụcθa = arctanx theo chiều dương.2.4.3 Nếu x, y không có phương trình tham sốVí dụ 2.6. Một hạt di chuyển theo đường y = x2 + 4x + 2 tính theo cm, vớivận tốc ngang vx = 3 cm/s. Xác định độ lớn và phương vị của vận tốc tạithời điểm (−1; −1).Lời giải. Để xác định độ lớn cũng như phương vị của vận tốc, ta cần biết vxvà vy nhưng trong bài đã cho vx = 3. Vậy ta cần tìm vy . Ta đạo hàm phươngtrình đã cho theo t bằng cách sử dụng công thức đạo hàm hàm hợpdy∂y dxdx== (2x + 4) .dt∂x dtdtĐỗ Thị Hòa18K38B SP Toán |
