BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Giải phương trình: 1)32 2 cos2 sin 2 cos 4sin 04 4x x x xπ π + + − + = ÷ ÷ .HD: [ ](sin cos ) 4(cos sin ) sin 2 4 0x x x x x+ − − − =4x k⇔ = − +ππ; 32 ; 22x k x k= = +ππ π2)2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −HD:2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − ⇔ cos (cos7 cos11 ) 0x x x− = ⇔ 29kxkxππ==3)2 234sin 3sin 2 1 2cos2 2 4xx xπ ππ − − − = + − ÷ ÷ ÷ với 0;2xπ ∈ ÷ HD: sin 2 sin3 2x xπ π − = − ÷ ÷ ⇔ 5 2( ) ( )18 352 ( ) ( )6x k k Z ax l l Z bπ πππ= + ∈= + ∈Vì 0;2xπ ∈ ÷ nên 518xπ=.4)1 1sin 2 sin 2cot 22sin sin 2x x xx x+ − − =HD: Ta có 2cos 2 cos cos2 2cos2sin 2 0x x x xx− − =≠ ⇔ cos2x = 0 ⇔ 4 2x k= +π π5)3sin 2 2sin 2sin 2 .cosx xx x−=HD: 2(1 cos )sin (2cos 1) 0sin 0, cos 0x x xx x− − =≠ ≠ ⇔ 2cosx – 1 = 0 ⇔ 23x kππ= ± +6)cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − −HD: 2(cos sin ) 4(cos sin ) 5 0x x x x− − − − = ⇔ 2 22x k x kππ π π= + ∨ = +7) Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn 131 log 0x+ ≥ : sin .tan 2 3(sin 3 tan 2 ) 3 3x x x x+ − =HD: (sin 3)(tan 2 3) 0x x− + = ⇔ ;6 2x k k Zπ π= − + ∈Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên 5;3 6x xπ π= =8)3 32 3 2cos3 cos sin3 sin8x x x x+− =HD: 2cos42x =⇔ 16 2x kπ π=± +9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”1BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁCHD: (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 ⇔ 1– sinx = 0 ⇔ 22x kππ= +10)Tìm nghiệm của phương trình: 2 3cos cos sin 2x x x+ + = thoả mãn : 1 3x − < HD: (cos 1)(cos sin sin .cos 2) 0− − − + =x x x x x ⇔ 2π=x k. Vì 1 3 2 4x x− < ⇔ − < <nên nghiệm là: x = 011)(sin 2 sin 4)cos 202sin 3x x xx− + −=+HD: (2cos 1)(sin cos 2) 02sin 3 0x x xx− + =⇔+ ≠ 23x kππ⇔ = +12)sin cos 4sin 2 1x x x− + =HD: Đặt sin cos , 0t x x t= − ≥. PT ⇔ 24 3 0− − =t t ⇔ 2x kπ=.13)3sin 2 2sin2sin 2 .cosx x x x−=HD: 2 1 2 00 0− − =≠ ≠x x xx x( cos )(sin sin )sin , cos ⇔ 23x kππ= ± +14)41 3 7 4cos cos2 cos4 cos2 4 2xx x x− − + =HD: cos2x + 3cos4x = 2 ⇔ cos2 13cos 14x x== ⇔ ( ; )83x kk mmxππ=∈=¢ ⇔ x = 8nπ15)( )( )2cos . cos 12 1 sinsin cosx xxx x−= ++HD: ĐK: sin cos4x x x mππ≠ − ⇔ ≠ − +Pt tương đương (1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )+ − − = + +x x x x x x( ) ( )1 sin 01 sin 0221 sin cos 1 0sin cos sin cos 1 02xxx kx xx x x xx kπππ π+ =+ == − +⇔ ⇔ ⇔+ + =+ + + == +(nhận)16)2 21 sin sin cos sin 2cos2 2 4 2x x xx xπ + − = − ÷ HD: PT 2sin sin 1 2sin 2sin 1 02 2 2x x xx ⇔ − + + = ÷ ÷ 4x kx kx kπππ π=⇔ ⇔ == +17)3 3sin .sin3 cos cos3 18tan tan6 3x x x xx xπ π+= − − + ÷ ÷ HD: Điều kiện: sin sin cos cos 06 3 6 3x x x xπ π π π − + − + ≠ ÷ ÷ ÷ ÷ Ta có tan tan tan cot 16 3 6 6x x x xπ π π π − + = − − = − ÷ ÷ ÷ ÷ GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”2BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁCPT 3 31sin .sin3 cos cos38x x x x⇔ + =1 cos2 cos2 cos4 1 cos2 cos2 cos4 12 2 2 2 8x x x x x x− − + +⇔ × + × =31 1 12(cos2 cos2 cos4 ) cos 2 cos22 8 2x x x x x⇔ + = ⇔ = ⇔ = 66x k (l)x kππππ= +⇔= − +Vậy phương trình có nghiệm 6x kππ= − +,( )∈k Z18)3 3sin .(1 cot ) cos (1 tan ) 2sin 2x x x x x+ + + =HD: ĐKXĐ: 2kxπ≠ sao cho sin 2 0x ≥.Khi đó, VT = 3 3 2 2sin cos sin cos cos sinx x x x x x+ + += 2 2(sin cos )(sin sin cos cos ) sin cos (sin cos )x x x x x x x x x x+ − + + + = sin cosx x+PT ⇔ 2sin cos 0sin cos 2sin 2(sin cos ) 2sin 2 (1)x xx x xx x x+ ≥+ = ⇔+ =(1) ⇔ 1 sin 2 2sin 2 sin 2 1( 0)x x x+ = ⇔ = > ⇔ 2 22 4x k x kπ ππ π= + ⇔ = +Để thoả mãn điều kiện sin cos 0+ ≥x x, các nghiệm chỉ có thể là: 24ππ= +x k 19)sin 3 sin 2 sin4 4x x xπ π − = + ÷ ÷ HD: PT ⇔ sin3 cos3 sin2 (sin cos )x x x x x− = +⇔ (sinx + cosx)(sin2x − 1) = 0 sin cos 0 tan 1sin 2 1 0 sin 2 1x x xx x+ = = − ⇔ ⇔ − = = 444x kx kx kππππππ= − +⇔ ⇔ = ± += +20)1cos3 cos2 cos2x x x− + =HD: Nếu cos 0 2 ,2xx k k Zπ π= ⇔ = + ∈, phương trình vô nghiệm.• Nếu cos 0 2 ,2xx k k Zπ π≠ ⇔ ≠ + ∈, nhân hai vế phương trình cho 22xcos ta được:2cos cos3 2cos cos2 2cos cos cos2 2 2 2x x x xx x x− + = ¬ →tích thành tông 702xcos = 2,7 7x k kπ π⇔ = + ∈¢, đối chiếu điều kiện: k ≠ 3 + 7m, m∈Z . GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”3BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC21)tan tan .sin3 sin sin 26 3x x x x xπ π − + = + ÷ ÷ HD: Điều kiện: cos .cos 06 3x xπ π − + ≠ ÷ ÷ PT sin sin6 3sin3 sin sin 2cos cos6 3x xx x xx xπ ππ π − + ÷ ÷ ⇒ = + − + ÷ ÷ ⇒ – sin3x = sinx + sin2x ⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0 sin 2 0212cos223kxxx x kπππ==⇔ ⇔= −= ± +Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là: 2223kxx kπππ== − +22)( )2 21 8 21 12cos cos 3 sin 2( ) 3cos sin3 3 2 3x x x x xππ π + + = + − + + + ÷ HD: PT ⇔ 1 sin 0(1 sin )(6cos sin 8) 0 1 sin 06cos sin 8 0xx x x xx x− =− + − = ⇔ ⇔ − =+ − =23)1 1sin 2 sin 2cot 22sin sin 2x x xx x+ − − =HD: PT ⇔ − cos22x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0⇔ 2cos2 0 2cos cos 1 0( )x x x VN= ∨ + + = ⇔ cos2x = 0 ⇔ 22 4 2x k x kπ π ππ= + ⇔ = +24)2 sin4(1 sin2 ) 1 tancosxx xxπ − ÷ + = +HD: Điều kiện cos 0 ,2x x k kππ≠ ⇔ ≠ + ∈¢.Ta có PT( )2cos sin cos sincos sincos cosx x x xx xx x− +⇔ + = (cos sin )(cos2 1) 0x x x⇔ + − =cos sin 0,4cos2 1 0x xx mmxx mπππ+ == − +⇔ ⇔ ∈− ==¢.25)2 2 3 3tan tan .sin cos 1 0x x x x− + − =HD: ĐK:2x kππ≠ =. PT ⇔ 2 3 3tan (1 sin ) (1 cos ) 0x x x− − − = ⇔ (1 cos )(1 sin )(sin cos )(sin cos sin cos ) 0x x x x x x x x− − − + + =GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”4BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC⇔ 2 ; ; 2 ; 24 4 4x k x k x k x kπ π ππ π α π α π= = + = + + = − +26)2cos3 3sin cos 0x x x+ + =HD: PT ⇔ cos cos33x xπ − =− ÷ ⇔ cos cos( 3 )3x xππ − = − ÷ ⇔ 3 2kxπ π= +27)6 62 2sin cos 1tan 2cos sin 4x xxx x+=−HD: Điều kiện: cos2 0 ( )4 2kx x kπ π≠ ⇔ ≠ + ∈¢ PT 23 11 sin 2 sin 24 4x x⇒ − = ⇒ 3sin22x + sin2x – 4 = 0 ⇒ sin2x = 1 ⇒ 4x kππ= + ( không thoả). Vậy phương trình vô nghiệm28)3 32cos cos3 sin sin34x x x x+ ==HD: 2cos4 ,2 16 2x x k k Zπ π= ⇔ = ± + ∈29)cot 3 tan 2cot 2 3x x x+ + + =HD: Điều kiện: sin cos 02x x x kπ≠ ⇔ ≠.Ta có: 2 2cos2 cos sin2cot 2 2 2 cot tansin 2 2sin cosx x xx x xx x x−= = = −.PT ⇔ 2cot 33 cot 3 cot cot 1 ,4cot 7cot 6 0xx x x x k kx xππ≤+ = − ⇔ ⇔ = ⇔ = + ∈− + =¢ 30)22cos 3 4cos4 15sin 2 214x x xπ − − − = ÷ HD: PT ⇔ 3 2sin 2x 2sin 2x 3sin 2x 6 0− + + = ⇔ sin 2 1x = − ⇔ 4x kππ= − +31)21(1 4sin )sin32x x− =HD: Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: PT ⇔ 32sin3 (4cos 3cos ) cosx x x x− = ⇔ 2sin3 .cos3 cosx x x= ⇔ sin 6x sin2xπ = − ÷ ⇔ 2 214 7 10 5k kx xπ π π π= + ∨ = +32)21sin sin 2 1 cos cos2x x x x+ = + +HD: PT ⇔ (sin 1)(sin cos 2) 0x x x− + + = ⇔ sin 1x = ⇔ 22x kππ= +.GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”5BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC33)3sin 3tan2cos 2tan sinx xxx x+− =−HD: Điều kiện: {cos 0sin 0xx≠≠. PT ⇔ 1cos2x = − ⇔ 223x kππ= ± +.34)1 2(cos sin )tan cot 2 cot 1x xx x x−=+ −HD: Điều kiện: sin 0cos 0cot 1xxx≠≠≠. PT ⇔ 2cos2x = ⇔ 24x kππ= − +.35)3cos cos cos sin 2 02 6 3 2 2 6x xx xπ π π π − + − + − + − = ÷ ÷ ÷ ÷ HD: PT ⇔ cos cos2 cos3 cos4 02 6 2 6 2 6 2 6x x x xπ π π π − + − + − + − = ÷ ÷ ÷ ÷ Đặt 2 6xtπ= −, PT trở thành: cos cos 2 cos3 cos4 0t t t t+ + + = ⇔ 54cos .cos .cos 02 2t tt = ⇔ cos 02cos 05cos 02ttt=== ⇔ ππππ π= += += +t mt lkt(2 1)225 5• Với (2 1) (4 2)3t m x mππ π= + ⇒ = + +• Với 422 3t l x lπ ππ π= + ⇒ = +• Với 2 11 45 5 15 5k kt xπ π π π= + ⇒ = +36)22 3cos2 sin 2 4cos 3x x x− + =HD: PT ⇔ 3 1cos2 sin 2 cos62 2x x x−+ = ⇔ 5cos 2 cos66x xπ − = ÷ ⇔ 548 4524 2x kx lπ ππ π= += − +37)(1 2sin )cos3(1 2sin )(1 sin )x xx x−=+ −HD: Điều kiện: {1 2sin 01 sin 0xx+ ≠− ≠ ⇔ 2672622x mx nx pππππππ≠ − +≠ +≠ +GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”6BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁCPT ⇔ 2cos 2sin .cos31 sin 2sin 2sinx x xx x x−=− + − ⇔ cos sin 2 3(sin cos 2 )x x x x− = + ⇔ 3 1 1 3cos2 sin2 cos sin2 2 2 2x x x x+ = − ⇔ cos 2 cos6 3x xπ π − = + ÷ ÷ ⇔ x k loaïix k nhaän2 ( )22( )18 3πππ π= += − +. Vậy PT có nghiệm: 218 3π π= − +x k.38)2 sin 2 3sin cos 24x x xπ + = + + ÷ HD: PT ⇔ ( ) ( )sin cos 1 2cos 3 0x x x+ + − = ⇔ 21sin cos 1 sin2422x kx x xx kππππ π= − + + = − ⇔ + = − ⇔ ÷ = +. KL: nghiệm PT là 2 ; 22x k x kππ π π= − + = +.39)2sin 2 4sin 16x xπ + + = ÷ HD: PT 3sin 2 cos2 4sin 1 0x x x⇔ + + − =22 3 sin cos 2sin 4sin 0x x x x⇔ − + =.( )2 3 cos sin 2 sin 0x x x⇔ − + =⇔ sin 3 cos 2sin 0x xx− == ⇔ sin 13xx kππ − = ÷ = ⇔ 526x kx kπππ= +=40)( )cos3 sin 2 3 sin3 cos2x x x x+ = + HD: PT cos3 3sin3 3 cos 2 sin 2x x x x⇔ − = + 1 3 3 1cos3 sin3 cos2 sin 22 2 2 2x x x x⇔ − = +cos 3 cos 23 6x xπ π ⇔ + = − ÷ ÷ ⇔ 26210 5x kkxπππ π= − += − +41)24cos 2tan 2 .tan 24 4 tan cotxx xx xπ π − + = ÷ ÷− GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”7BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC HD: Điều kiện ( )cos 2 0; cos 2 0*4 4sin 2 0; tan cot 0x xx x xπ π − ≠ + ≠ ÷ ÷ ≠ − ≠Để ý rằng: tan 2 .tan 2 tan 2 .tan 2 cot 2 .tan 2 14 4 4 4 4 4x x x x x xπ π π π π π − + = − − + = − + + = − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Khi đó PT trở thành: 224cos 21 cot tan 4cos 2tan cotxx x xx x− = ⇔ − =−( )222 21 tan 1 2 44 tan 2 1 0tan tan 21 tan 2 1 tan 2xxx xx x−⇔ = ⇔ = ⇔ − =+ + ( )tan 2 1 24 8 2x x m x k kπ π ππ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈Z: Không thoả điều kiện (*). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.42)22sin 3 sin 2 1 3sin cosx x x x+ + = + HD: PT ⇔ ( )23sin cos 3sin cosx x x x+ = + ⇔ ( ) ( )3sin cos 3sin cos 1 0x x x x+ + − = ⇔ 3sin cos 03sin cos 1 0x xx x+ =+ − = ⇔ 3tan3sin sin6 6xxπ π= − + = ÷ ⇔ 622 ; 23x kx k x kππππ π= − += = +43)2 322cos cos 1cos2 tancosx xx xx+ −− = HD: Điều kiện: cos 0x ≠. PT ⇔ 2 2 2cos2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos 1 0x x x x x x− = + − + ⇔ − − = ⇔ cos 11cos2xx== − ⇔ 2223x kx kπππ== ± + (thoả đk)44)55cos 2 4sin – 93 6x x + = − ÷ ÷ π π HD: PT ⇔ 210sin 4sin 14 06 6x xπ π + + + − = ÷ ÷ ⇔ sin 16xπ + = ÷ ⇔ 23x kππ= +.45)sin cos2tan 2 cos2 0sin cosx xx xx x++ + =− HD: Điều kiện: cos2 0x≠. PT ⇔ 2 2(sin cos ) 2sin 2 cos 2 0x x x x− + + + = ⇔ 2sin 2 sin 2 0x x− =⇔ sin 2 0sin 2 1 ( )xx loaïi== ⇔ 2x kπ=.46)2 22sin 2sin tan4x x xπ − = − ÷ HD: Điều kiện: ≠xcos 0⇔.2x kππ≠ + (*).GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”8BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁCPT ⇔2221 cos 2sin tan x x xπ − ÷ − = −⇔1– sin2 tan (sin 2 –1)x x x=⇔sin 2 1tan 1xx== −⇔2 .22.4x kx lππππ= += − +⇔.4.4x kx lππππ= += − +⇔.4 2x kπ π= +. (Thỏa mãn điều kiện (*) ).47)52 2 cos sin 112x xπ − = ÷ HD: PT 5 52 sin 2 sin 112 12xπ π ⇔ − + = ÷ 5 5 1sin 2 sin sin12 12 42xπ π π ⇔ − + = = ÷ 5 5sin 2 sin sin 2cos sin sin12 4 12 3 12 12xπ π π π π π ⇔ − = − = − = − ÷ ÷ ÷ ( )52 25612 12sin 2 sin5 13312 122 212 124x kx kx kx kx kππ ππππ ππ ππππ= +− = − + ⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈ ÷ ÷ − = += +¢GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”9 |
