Tim gia tri lon nhat, nho nhat
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (114.93 KB, 6 trang ) Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN 9 2 ) 0 . Vậy Mx (dấu = xảy ra khi x = - . 5 5 5 9 2 với x = - . 5 5 II . Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đa về dạng Ax Ax 0 hoặc 2 0 2 k k Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 + 15 x + 16 Vói x là các số thực dơng . 3x x 2 + 15 x + 16 ( x 4) 2 23 ( x 4) 2 23 23 Lời giải: Ta có Ax = = + với mọi x >0 thì + 3 3x 3x 3 3x 3 23 . Vậy GTNN của Ax = với x= 4. 3 Ax = Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 x 2 + 6 x + 10 với x thuộc tập hợp số thực. x 2 + 2x + 3 1 1 1 3 x 2 + 6 x + 10 Lời giải:Ta có Mx= 2 =3+ . Vì nên ta có 2 2 ( x + 1) + 2 ( x + 1) + 2 2 x + 2x + 3 M x= 1 Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN 1 Mx = 3 + ( x + 1) 2 + 2 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Fx,y = xy 2 + y 2 ( y 2 x) + 1 với x, y là các số thực. x2 y4 + 2y4 + x2 + 2 xy 2 + y 2 ( y 2 x) + 1 y4 +1 = vì y4 +1 0 với mọi giá trị của x2 y4 + 2y4 + x2 + 2 ( y 4 + 1)( x 2 + 2) 1 x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta đợc : Fx,y = 2 vì x2 0 với mọi x nên x2 + 2 2 x +2 1 1 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y = 2 2 x +2 1 Vậy Fx,y dật GTLN = với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý. 2 Lời giải:Ta có Fx,y = III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. 1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có: a + b 2 ab đạt đợc dấu = khi a=b . a + b+ c 3 abc đạt đợc dấu = khi a=b = c . 2. Các ví dụ : Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8x 2 + 2 với x > 0. x 2 2 8x 2 + 2 Lời giải:Ta có Ax = = 8x + . Ta thấy 8x và là hai đại lợng lấy giá trị dơng x x x 2 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và ta có: x 2 2 1 2 8x + 2 8 x. = 2 16 = 8 dấu = xẩy ra khi 8x = = > x = . x x 2 x 1 Vậy GTNN Ax = 8 với x = . 2 Ax = Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng . Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) . Ta có x3 > 0 , còn 16 x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < 3 16 (*) ta thấy x3 và 16 x3 là hai đại lợng dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x3 và 16- x3 ta có 2 x 3 (16 x 3 ) x 3 + 16 x 3 = 16 suy ra x3( 16 x3) 64 dấu = xẩy ra khi x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của Bx = 64 , với x=2. IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ 8 : Với giá trị nào của x thì biểu thức 2 Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN 4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356 Px = đạt giá trị nhỏ nhất. x 2 + 2x + 5 256 4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356 Lời giải: Ta có : Px = = 4x2 + 8x+ 20 + 2 2 x + 2x + 5 x + 2x + 5 Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt 256 256 với y > 0 , ta thấy 4y và là hai đại lợng luôn y y 256 dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và ta có : y 256 256 256 2 4 y. = 2.2.16 = 64 . Dấu = xẩy ra khi 4y = 4y + => y = 8 hoặc y = -8 y y y y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y + từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64. Ví dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực. Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x 2x2 + 2 = -y +6 . Vậy Qx = y ( 6- 2y). Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3 Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y 2 2 y (6 2 y ) => 3 2 y (6 2 y ) => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi 2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+ 2 2 hoặc x= 1 .Vậy 2 2 2 2 hoặc x= 1 - . 2 2 Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Hx = (8 + x2 + x )(20 x2 x) với x là các số thực tuỳ ý . Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+ 1 2 31 ) + >0 với mọi giá trị của x 2 4 *20 x2 x > 0 khi -5 < x < 4 . Nh vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 x2 x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4). Với -5
.:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 1 CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1. Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x). Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D. Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu: Kí hiệu: xDm max f x hoặc giá trị lớn nhất của y = m. Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu: Kí hiệu: xDM min f x hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M. 2. Bài tập áp dụng theo dạng toán: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Cho biểu thức: f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0). Ta có: Giá trị lớn nhất của f(x): GTLN f(x) = m, đạt được khi cx + d = 0 dxc . Giá trị nhỏ nhất của f(x): GTNN f(x) = M, đạt được khi ex + f = 0 fxe Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x2 + 6x + 10. Giải Ta có: y = 2x2 + 8x + 15 y = 2(x2 + 4x + 4) + 7 y = 2(x + 2)2 + 7 ≥ 7. Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 7, đạt được khi x + 2 = 0 x = -2. Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 5 + 4x - 4x2. Giải Ta có: y = 5 + 4x - 4x2 y = 6 -(1 - 4x + 4x2) y = 6 - (1 - 2x)2 ≤ 6 Vậy giá trị lớn nhất của y = 6, đạt được khi 1 - 2x = 0 21x . Bài tập 3: Tìm giá trị của m, p sao cho: P = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Giải Ta có: P = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p) Đặt: X = m - 2p. Ta có: P = X2 + 10 X + (p - 1)2 + 27 = (X + 5) 2 + (p - 1)2 + 2. f(x) m, với mọi xD f(x) M, với mọi x0D f(x) = m - (cx + d)2 hoặc f(x) = M + (ex + f)2, với m, M là hai số thực. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 2 Ta thấy (X + 5)2 0; (p - 1)2 0, với mọi m, p. Do đó: P ≥ 2. P đạt giá trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p - 1 = 0. Giải hệ điều kiện trên ta được: p = 1, m = -3. Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của P = 2, với p = 1, m = -3 Vậy p = 1 và m = -3 là hai giá trị cần tìm. Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x316x15x2. Giải Ta có P = x316x15x2= 323x34x2, với mọi x > 0 Vì x > 0 nên 2x423 233x 3 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 323, đạt được khi x = 4. Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3x2x10x6x322. Giải Tập xác định: D = R. Ta có: P = 3x2x10x6x322 = 3 + 21x12. Vì 2121x12nên ta có: P = 3 + 21x12 3 + 21= 3,5. Vậy giá trị lớn nhất của P = 3,5, đạt được khi (x + 1)2 = 0 x = -1 Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2xy2yx1xyyxy2442222. Giải Ta có: P = 2xy2yx1xyyxy2442222 = 212x12x1y1y2244, vì x2 + 2 ≥ 2. Vậy giá trị lớn nhất của P = 21, đạt được khi x = 0 và yR. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy): Với hai số thực không âm x, y, z, t, ta có: xyxy2 3x y zxyz3 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng Px0Qx hoặc Px0Qx, với P(x) và Q(x) là các đa thức có bậc lớn hơn 0. Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 3 x y z txyz 44 Với mọi số thức không âm x1, x2, , xn, ta có: nnnx x xx x xn 1212 Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn. Đại lượng nx x xn 12 được gọi là trung bình cộng của các số x1, x2, , xn. Đại lượng 1 2 nx x x được gọi là trung bình nhân của các số x1, x2, , xn. Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2x82, với x > 0. Giải Ta có: P = x2x82= 8x + x2. Ta thấy 8x và x2 là hai đại lượng lấy giá trị dương. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và x2 ta có: 8x + x2.8162x2.x82 Dấu bằng xảy ra khi: 8x = x2 x =21. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8, đạt được khi x = 21. Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + x81, với x > 0. Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương: 2x và x81, ta có: P = 2x + 1412x81.x22x81 hay P ≥ 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1, đạt được khi 2x = x81 x = 41. Bất đẳng thức Buanhiakovski: Cho hai dãy số thực a1, a2, , an và b1, b2, , bn. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: (a1b1 + a2b2 + +anbn)2 (a12 + a22 + +an2)(b12 + b22 + bn2) Dấu bằng xảy ra khi 1 2 n1 2 na a a= = =b b b Bài tập 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2 + z2. Biết: x + y + z = 1995. Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số: (1, 1, 1) và (x, y, z) ta có: (x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2) Dạng 4: Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (Bouniakovski ) hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (C - S). .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 4 ( x + y + z )2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) 19952 ≤ 3(x2 + y2 + z2), vì x + y + x = 1995. Từ đó, ta có: P = x2 + y2 + z2 319952. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 319952, đạt được khi 665zyx1995zyxzyx. Bài tập 10: Cho biểu thức: z5y4x2P . Trong đó x, y, z là các đại lượng thoả mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 169. Tìm giá trị lớn nhất của P. Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số:(2, 4, 5) và (x, y, z), ta có: 2222222zyx542z5y4x2 Hay P2 222222zyx542 , vì x2 + y2 + z2 = 169 nên P2 25.169. Vậy giá trị lớn nhất của P = 65, đạt được khi 169zyx5z4y2x222 . Từ đó tìm được: x = 526;526. y = .552;552 z = 5513;5513. * Lưu ý: - Giá trị lớn nhất của A = afx (với a là số dương) là aGTNN f xcña. - Giá trị nhỏ nhất của B = bfx (với b là số dương) là bGTLN f xcña. 3. Bài tập áp dụng chung: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 - 4x + 7 b) B = 4x2 + 5x - 1 c) C = 2225x -20x+4 + 25x -30x+9 Giải a) Ta có: A = x2 - 4x + 7 = (x - 2)2 + 3 3. Vậy GTNN của A là 3, đạt được khi x - 2 = 0 x = 2. b) Ta có: B = 4x2 + 5x - 1 = x 25 21 2122 4 4. Vậy GTNN của B là 214, đạt được xx 552024. c) Ta có: 2222C = 25x -20x +4 + 25x -30x+9 = 5x-2 + 5x -3 x ; 25 2 0đạt được khi 5x=2. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 5 Và x ; 25 3 0đạt được khi 5x=3 Với 5x=2 hoặc 5x=3 thì GTNN của C = 0. Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của P = x 1- x Giải P = x x x x x 21 1 114 2 4 Đẳng thức xảy ra khi xx 1124 Do đó giá trị lớn nhất của P là 14 đạt khi 1x=4. Bài tập 3: Tìm giá trị của x để biểu thức 21x -2 2x +5 có giá trị lớn nhất. Giải Ta có: x x xxx 2222 2 5 2 3 31132 2 5 Khi x = 2 thì biểu thức 21x -2 2x +5 đạt giá trị lớn nhất là 13. Bài tập 4: Với hai số không âm x và y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 4009P = x - 2 xy +3y - 2 x +2 Giải Đặt: x = a, y = b, với a, b 0, ta có: P = a2 - 2ab + 3b2 - 2a + 2004,5 = a2 - 2(b+ 1)a + 3b2 + 2004,5 = a2 - 2(b + 1)a + (b + 1)2 + 2b2 - 2b + 2003,5 a b b b ,a b b 2222111 2 2003 54211 2 2003 20032 Vì ab 210 và b , a, b 2102. P = 2003 khi ababb31211022 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 6 Vậy GTNN của P = 2003 đạt được khi xxyy39241124. Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xx2624. Giải Ta có: x2 - 2x + 4 = (x -1)2 + 3 3. Do đó: .xx261622 4 3 Dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 x = 1. Vậy GTLN của xx2624 là 3. Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xx 21049. Giải Ta có: -x2 + 4x - 9 = -5 - (x - 2)2 - 5. Do đó: xx 210 1024 9 5. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 2 = 0 x = 2. Vậy GTNN của biểu thức xx 21049 là -2. Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 228x -50x +79x -6x +9. Giải Ta có: 22222228 x -6x +9 -2 x-3 +18x -50x +79 =x -6x +9x -31 1 1 1= 8-2. + = -2. +1+7x -3 x -3 x -3 x -31= -1 + 7 ³ 7x -3 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x x .x 11 0 3 1 43 Vậy GTNN của biểu thức 228x -50x +79x -6x +9 là 7. Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức xAx28341. Giải xAx28341 A(4x2 + 1) = 8x + 3 4Ax2 - 8x + A - 3 = 0. Ta có: = 82 - 4.4A.(A - 3) = 0. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 7 A2 - 3A - 4 = 0 A = -1, A = 4. Giá trị nhỏ nhất là của A là -1 đạt được khi x = -1 và giá trị lớn nhất của A là 4 đạt được khi x = 14. Bài tập 9: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x + y. Giải Ta có: (x + y)2 2(x2 + y2) = 2 M2 2 2 M 2 Suy ra Min M = -2, đạt được khi 2x = y = -2 Bài tập 10: Cho x, y, z là ba số không âm thoả mãn: xy + yz + zx = 100. Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz. Giải Ta có: P 0. Xét 100 = xy + yz + zx 33 xy.yz.zx 3322100100 3 P P3100 100P33 Suy ra: maxP = 100 10033, đạt được xy = yz = zx. Bài tập 11: Cho biểu thức y = x - x -1993(với x > 1993). Tìm giá trị nhỏ nhất của y. Giải Ta có: y = (x - 1993) - x -1993 + 1993 = 21 7971 7971x 19932 4 4 Suy ra: min y = 79714. Bài tập 12: Cho a và b thoả mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = a3 + b3 + ab. Giải Ta có: E = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2+ b2 Ta lại có: 2(a2 + b2) ( a+ b)2 = 1 a2 + b2 12 Suy ra: MinE = 12, đạt được khi a = b = 12. Bài tập 13: Cho biểu thức: P = a +3-4 a-1 + a +15-8 a -1, (với a > 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giải Ta có: a + 3 - 24 a -1 = a -1-2 a + 15 - 28 a -1 = a -1-4 P a 1 2 a 1 4 a 1 2 4 a 1 2 Suy ra: minP = 2 đạt được khi a= 1. Bài tập 14: Cho biểu thức: Q = (x - ay)2 + 6(x - ay) + x2 + 16y2 - 8xy + 2x - 8y + 10. Với x, y, a là các số nguyên. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 8 Giải Ta có: Q = (x - ay + 3)2 + (x - 4y)2 + 2(x - 4y) + 1 = (x- ay + 3)2 + (x - 4y + 1)2 0. Suy ra: minQ = 0, đạt được khi x - ay + 3 = 0 và x - 4y + 1 = 0. Bài tập 15: Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2211T = 1- 1-xy. Giải Biến đổi: T = 1 + 2xy Mà: 1 = (x + y)2 24xy 8 T 9xy Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của T = 9, đạt được khi x = y = 12 Bài tập 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2xy=x +1 Giải Tập xác đinh D = R y0 là một giá trị của hàm số Phương trình 02xy=x +1 có 1 nghiệm x R. Phương trình 200x y +y = x có 1 nghiệm x R. Phương trình 200x y -x + y = 0 có 1 nghiệm x R. 0 1 - 4y2 0 y2 4 y 1122 Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 12, giá trị lớn nhất của y = 12. Bài tập 17: Xác định các tham số a, b sao cho hàm số y = 2ax + bx +1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1. Giải Tập xác định D = R. y0 là một giá trị của hàm số phương trình 02ax +by=x +1 có nghiệm x R. Phương trình y0x2 - ax + y0 - b = 0 có nghiệm x R (1) Nếu y0 = 0 thì (1) ax = - b có nghiệm. aba00 Nếu y0 0 thì (1) có nghiệm 0 a2 - 4(y0 - b)y0 0. y by a 22004 4 0 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 9 Theo đề bài y0 đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là -1 nên phương trình 22004y 4by a phải có nghiệm là -1 và 4 (Do -1.4 = - 4 < 0). Theo định lý Viét, ta có: aabb244433 Vậy với a = 4; b = 3 hoặc a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4. Bài tập 18: Cho a1 a2 n. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = |x - a1| + |x - a2| + + |x - an|. (Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK TP. HCM) Giải Ta xét 2 trường hợp, n chẵn và n lẻ. Với n chẵn, đặt n = 2k. Ta có: A = |x - a1| + |x - a2| + + |x - ak| + |ak+1 - x| + |ak+2 - x| + + |a2k - x| x - a1 + x - a2 + + x - ak + ak+1 - x + ak+2 - x + + a2k - x = -a1 - a2 - - ak + ak+1 + + a2k. Dấu bằng có thể xảy ra, chẳng hạn như x = ak. Với n chẵn, đặt n = 2k. Ta có: A = |x - a1| + |x - a2| + + |x - ak| + |ak+1 - x| + |ak+2 - x| + |ak+3 - x| + + |a2k+1 - x| x - a1 + x - a2 + + x - ak + ak+1 - x + ak+2 - x + ak+3 - x + a2k+1 - x = -a1 - a2 - - ak + ak+1 + ak+3 + a2k+1. Dấu bằng có thể xảy ra, chẳng hạn như x = ak+1. Bài tập 19: Cho a, b là các số thực thỏa mãn a2 + b2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của: P = (|a + 1| + |b + 1|) + (|a - 1| + |b + 1|) Giải Theo bất đẳng thức Bouniakovski. Ta có: 1.|a + 1| + 1.|a - 1| a a a 2222 1 1 2 1 1.|b + 1| + 1.|b - 1| b b b 2222 1 1 2 1 . a . b a b 2 2 2 22 1 2 1 8 2 2 6 Cộng các vế bất đẳng thức, ta được: (|a + 1| + |b + 1|) + (|a - 1| + |b + 1|) ab 222 1 2 1 2 6 Vậy giá trị lớn nhất của P là 26. Bài tập 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = |2x - 3| + |2x - 1| Giải Áp dụng BĐT: |x| + |y| |x + y| Dấu "=" xảy ra khi xy 0. Suy ra: A = |2x - 3| + |2x - 1| |2x - 3 +1 - 2x| = |-2| = 2. Dấu "=" xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 x 1322 Vậy Min A = 2 khi x1322. Bài tập 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = |x2 + x + 3| + |x2 + x - 6| Giải Tương tự (Bài tập 3): Min B = 9 khi -3 x 2. Bài tập 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| Giải .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 10 Tương tự (Bài tập 4): Min B = 4 khi 2 x 3. Bài tập 23: Cho a < b < c < d. Tìm: Min f(x) = |x - a| + |x - b| + |x - c| + |x - d| HD: Tương tự (Bài tập 5), ta có: Min f(x) = d + c - b - a đạt được khi b x c. Bài tập 24: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các biểu thức sau: a) E =|x - 1| + |x - 3| b) F = |2x - 1|2 - 3|2x - 1| + 2 Giải a) x 1 3 x – 1 - 0 + + x - 3 - - 0 + Khi x < 1: E = 1 – x + 3 – x = 4 – 2x > 4 – 2.1 = 2. Khi 1 x 3: E = x – 1 + 3 – x = 2. Khi x > 3: E = x – 1 + x – 3 = 2x – 4 > 2.3 – 4 = 2. Vậy minE = 2 khi 1 x 3. b) Đặt t 2x 1 0 khi đó 223 1 1F t 3t 2 t , t2 4 4 Dấu “=” xảy ra khi 5x3 3 34t 2x 1 2x 112 2 2x4 Vậy minF = 1-4 khi 5x=4 hoặc 1x = -4. Bài tập 25: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: Z = x2y(4 - x - y) Trong đó x, y 0xy6 (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán ĐHTH Hà Nội năm 1993) Giải Ta tìm GTLN. Ta có: x2y(4 - x - y) = xx4. . .y 4 - x - y .22 Nhận thấy bộ 4 số xx; ; y; 4 - x - y22 có tổng là 4. Nhưng 4 - x - y nhận giá trị không âm, do đó ta xét 2 trường hợp: Xét 0 x + y 4, ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Z = x2y(4 - x - y) = xxy x yxx. . .y x y 44224 4 4 42 2 4 Dấu "=" xảy ra khi x = 2; y = 1. Xét 4 x + y, ta có: Z 0 < 4. Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có Z 4. Vậy Zmax = 4. Đẳng thức xảy khi x = 2, y = 1. Ta tìm GTNN. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 11 Xét 4 x + y 6. Ta có: x + y - 4 6 - 4 2. (1) Áp dụng bất đẳng thức cho 3 số không âm x; x; 2y ta có: xyx x yx.x. yxy 3332223243322 2 2 2 (2) Suy ra: - x2y - 32 Nhân các vế của bất đẳng thức trên với nhau ta được: x2y(4 - x - y) x2y.2 - 32.2 = - 64. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 4, y = 2. Xét 0 x + y 4, ta có: Z 0 > - 64. Vậy trong mọi trường hợp Z - 64. Suy ra Zmin = - 64. Bài tập 26: (Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski) a) Cho x, y thỏa: x y y x 221 1 1 (1) Chứng minh x2 + y2 = 1. (2) b) Từ (2) có thể suy ra (1) được hay không? (Đề thi vào lớp 10 PT Năng Khiếu TP.HCM năm 1999( Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski cho hai bộ 2x, 1 x và 21 y , y ta được: 2 2 2 2 2 222 x 1 y 1 x .y x 1 x 1 y yx 1 y y 1 x 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2222222 2 2 22 2 2 21yx0y1xx 1 y1 x yx 1 x 1 x x11 y y 1 y y x2 = 1 - y2 x2 + y2 = 1. b) Từ việc xét dấu bằng, chúng ta thấy ngay nếu x, y, 0 thì (1) (2). Tuy nhiên ở đây do đề bài không cho x, y là các số thực dương nên ta dễ dàng chỉ ra trường hợp (2) 1. Chẳng hạn như x = 0, y = -1. Bài tập 27: Cho a, b, c [0; 1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(a, b, c) = a + b + c - ab - ac - bc. (Chuyên đề Toán học số 7 - PTNK TP.HCM) Giải Ta sẽ chứng minh f(a, b, c) max{f(a,b,0), f(a, b, 1)}. Thật vậy: Nếu 1 - a - b 0 thì f(a, b, c) = a + b - ab + c(1 - a - b) a + b - ab + (1 - a - b) = f(a, b, 1). Nếu 1 - a - b 0 thì f(a, b, c) = a + b - ab + c(1 - a - b) a + b - ab = f(a, b, 0) Như vậy f(a, b, c) max{f(a, b, 1), f(a, b, 0)} Ở đây ta có thể lý luận một cách tương tự như trên, để suy ra rằng: .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 12 f(a, b, c) max {f(0, 0, 0), f(0, 0, 1), f(0, 1, 1), f(1, 1, 1)} và tính toán trực tiếp các giá trị trên để suy ra f(a, b, c) 1. Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như a = b = 0, c = 1. Hoặc là ta sẽ đánh giá f(a, b, 1), f(a, b, 0). f(a, b, 1) = 1 - ab 1. f(a, b, 0) = a + b - ab = (a - 1)(1 - b) + 1 1. Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như a = b = 0, c = 1. Vậy max f(a, b, c) = 1. Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0, c = 1. Bài tập 28: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1+=x y 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y. Giải Vì x > 0; y > 0 nên 110; 0; x 0; y 0,xy theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1 1 1 1 .x y 2 x y11xy 44xy Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương x và y, ta được: A = x + y ³ 2 x. y ³ 2 4 = 4. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = 4. Vậy Min A = 4, đạt được khi x = y = 4. Bài tập 29: (Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski) Cho a, b, c > 0. Tìm min 5a 4b 3cP = + +b + c c + a a + b Giải 25a 4b 3cP 5 4 3 (5 4 3)b c c a a b5 4 3a b c 5 4 3b c a c a b1 5 4 3a b b c c a 5 4 32 b c a c a b15 4 3 5 4 32 (Theo bất đẳng thức bouniakovski) Vậy min P = 215 4 3 5 4 32 khi và chỉ khi b c a c a b5 4 3. 6. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: a) A = (3x - 1)(2 - x) b) B = (2x + 1)(x + 2) - (4x2 - 2x) c) C = (5x + 2)(1 + 3x). d) D = (4x + 3)(3x - 1) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x. ĐS: Max P = 3 khi (x; y) = (1; -2) Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x, y) = x2 - 2xy + 6y2 - 12x + 45. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 13 ĐS: f(x, y) = (x - y - 6)2 + 5y2 + 9 9. Bài tập 4: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: 8x2 + y2 + 214x=4. Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất. HD: Thêm 4xy + 4x2 vào hai vế. KQ: Tích xy đạt GTNN là 12 khi 1x = ± ; y = ±12 Bài tập 5: Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2. ĐS: A 0 khi a - 4, A = 95 khi a = - 4. Bài tập 6: Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 - 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất B = 223x +14x +4 Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = 226x 5 9x Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = 6x 3 x 7 Bài tập 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A = 23 4xx1 Bài tập 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức B = 24x 3x x 1 Bài tập 12: Tìm cực trị các đa thức sau: a) Tìm Min A = 4x2 - 4x + 6 b) Tìm Max B = - x + 3x - 7 c) Tìm Min và Max của f(x) = x2 - 4x + 6 khi x 3; 4 Bài tập 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x) = x -1 x +2 x +3 x +6 Bài tập 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 34212x x -ax +36 ĐS: Max y = 3246+ a +36 Bài tập 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức y = 22x 2x 2x 2x 2 ĐS: Max y = 3 + 22, Min y = 3 - 22. Bài tập 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức y = 3 x + 3 + 4 1- x +14 x + 3 +3 1- x +1 ĐS: Max y = 97 khi x = - 3; Min y = khi x = 1. Bài tập 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x + 21x , x>0x ĐS: Min f(x) = 2, với x > 0. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 14 Bài tập 18: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = 212 3 x Bài tập 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 211 x x, với 0 < x < 1. Bài tập 20: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của: a) A = 2x + 25x b) B = 2x 99+ 101-x Bài tập 21: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 223x +14x +15x + 4x +4. ĐS: Max A = 4, đạt được khi x = - 4. Bài tập 22: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) 21A9x 12x 11 b) 25B4x 4x 21 Bài tập 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) 21-4x +20x-29 b) 27B=-25x +10x -12 Bài tập 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) 22x -x +1A=x -2x +1 với 1x b) 2211x -70x +112B=x +9-6x, với 3x . Bài tập 25: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) 22x +10x +20A = ,x +6x +9 với x -3 b) 22x + 4x -14B=x -2x +1, với 1x . Bài tập 26: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) 24x +3A=x +1 b) 222x -2x +9B=x + 2x +5. Bài tập 27: Bài toán vui. Xuân, Hạ, Thu, Đông là bốn bạn học rất giỏi Toán của lớp 9A. Xuân đố các bạn: Cho biểu thức 1:2:3: : 2004:2005. Hãy viết thêm dấu ngoặc để biểu thức mới có kết quả: a) Nhỏ nhất b) Lớn nhất. Vừa nghe xong câu đố. Hạ đã nói rằng: Thêm dấu ngoặc như sau sẽ được kết quả nhỏ nhất (1:2:3: :2004) : 2005 Thu tiếp lời: Thêm dấu ngoặc như sau sẽ được kết quả lớn nhất 1:(2:3: : 2004:2005) Và Đông sẽ nói gì các bạn biết không? ĐS: Có lẽ Đông sẽ nói: Cả Hạ và Thu đều đúng. Bài tập 28: Cho a + b = 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3. ĐS: Min M = 14 , đạt được khi a = b = 12. Bài tập 29: Cho a3 + b3 = 2. Tính giá trị lớn nhất của N = a + b. ĐS: Max N = 2, đạt được khi a = b = 1. Bài tập 30: Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 - 3a - 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. ĐS: Min M = 1998, đạt được khi a = b = 1. Bài tập 31: Tìm GTLN của biểu thức: 22A = x 9-x .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 15 Bài tập 32: Cho x, y, z là các số thực thoả mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 + y4 + z4 Đáp số: minP = 13, đạt được khi x = y = z= 33 Bài tập 33: Cho ba số dương x, y, z có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2 2 2x y zy z x z y x Đáp số: minQ = 12. Bài tập 34: Cho hai số dương a b, x và y là hai biến thoả mãn: x a, x + y a + b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2. Đáp số: minS = a2 + b2. Bài tập 35: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = 22x x 1 x x 1 Đáp số: min E = 2, đạt được khi x = 0. Bài tập 36: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2220x 10x 33x 2x 1 Đáp số: max y = 7, đạt được khi x = -2. Bài tập 37: Tìm giá trị của m để giá trị lớn nhất của hàm số: y = -x2 - 2ax + 2 trên tập D = [1, 3] có giá trị bằng 5. Đáp số: a = -2 hoặc a = -3 Bài tập 38: Cho ba số thực a, b, c thoả mãn: a, b, c 0a b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 2 2a b c1 a 1 b 1 c Đáp số: maxA = 32, đạt được khi a = b = c= 1. Bài tập 39: Cho ba số a, b, c là các số không âm thoả mãn đồng thời 3a + 2c = 51 và c + 5b = 21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a + b + c. Đáp số: maxP = 24, đạt được khi b = 0, c = 21, a = 3. Bài tập 40: Cho hai số thực x, y thoả mãn hệ thức: 8x2 + y2 + 2144x. Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất. (Đề thi tuyển sinh chọn HSG lớp 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003-2004) Đáp số: min xy = 12 khi (x, y) = 11, 1 ; - , 122 Bài tập 41: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 5x2 + 9y2 - 12xy + 24x - 48y - 82 (Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Lê Hồng Phong năm học 2004-2005) Đáp số: min P = 2m, đạt được khi (x, y) = 164, 3. Bài tập 42: Tìm giá trị nhỏ nhất A = 223x -8x +6x -2x +1 Bài tập 43: Tìm GTNN của: A = 3x + 3y với x + y = 4. Bài tập 44: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: a) 22x -x +1a=x + x +1 b) 2x +1B=x +1 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 16 Bài tập 45: Cho các số thực x, y, z [1; 2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2- xy 2- yz 2-zxP = + =z x + y x y +z y z + x Bài tập 46: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau, biết x [-2; 3]. a) A = |2x + 1| + 3 b) B = |x + 1| + |2x - 1| c) C = |x2 - 2x| Bài tập 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |x - 1| + |x - 3|. ĐS: Min A = 3. Bài tập 48: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 222x + y 1-xy1+ x 1+ y Bài tập 49: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 222x + x -1x - x +1 Bài tập 50: Tìm giá trị lớn nhất của A = |x - y|, biết x2 + 4y2 = 1. Bài tập 51: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = x - 2 + y -1 với |x| + |y| = 5. Bài tập 52: Tìm GTLN của: A = |x - y|, biết x2 + 4y2 = 1. Bài tập 53: Cho a, b, c là các số thực phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b cA = + +b - c c - a a - b ĐS: Min A = 2. Bài tập 54: Cho các số thực x, y, z khác nhau đôi một. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 33 3 3x - y y -z z - xA = + +x - y y-z z - x Bài tập 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 22 2 21 1 1B = x + y +c + +x - y y-z z-x Trong đó x, y, z là các số thực phân biệt. Bài tập 56: Cho x + y = 2. Tính giá trị nhỏ nhất của S = x2 + y2. Bài tập 57: Cho a, b, > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. Bài tập 58: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Cho x, y thỏa: x2 + y2 = 4 + xy. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Q = x2 + y2. (Đề thi HSG lớp 9 TP.HCM năm 1995) Bài tập 59: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Cho a, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 22abP = +b-1 a -1 (Đề kiểm tra lớp 9 Chuyên Toán TP.HCM năm 1994) Bài tập 60: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Tìm giá trị nhỏ nhấ của: 2211S = 1- 1- , xy biết x, y > 0x + y =1 (Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM năm 1994) .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 17 Bài tập 61: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) (Đề thi học sinh giỏi lớp 9, bảng B toàn quốc năm 1994) Bài tập 62: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 2 2 233 3 3a b c 3 2b c a c a b 2 (Trích từ tạp chí toán học và tuổi trẻ) Bài tập 63: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Tìm giá trị lớn nhất của A = x2y, với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. Bài tập 64: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = yxz++y z x, với x, y, z > 0. Bài tập 65: (Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b cP = + +2a + b b + 2c c + 2a ĐS: Min P = 1. Bài tập 66: (Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski) Cho a, b, c, d > 0 và ab + bc + cd + da = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 3a b c dP = + + +b+c+d c+d+a d +a + b a +b+c ĐS: Min P = 13. (Trích ra từ đề thi HSG khối PTCT - ĐHSP Hà Nội năm 1995) Bài tập 67: (Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski) Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3a b cA = + +a + 2b+3c b+2c+3a c+2a +3b (Đề thi đề nghị Olympic 30 - 4 lần 6 nắm 2000) Bài tập 68: (Áp dụng phương pháp tiếp cận dấu bằng của bất đẳng thức) Cho a, b, c [1, 2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (a + b + c)1 1 1++a b c (Chọn lọc từ tạp chí Toán học và tuổi trẻ) ĐS: Max A = 10. Bài tập 69: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2. Biết rằng: x2(x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = 1. Bài tập 70: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của: A = |x - x| + |y - 1|, với |x| + |y| = 5. Bài tập 71: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4, biết rằng: xy + yz + zx = 1. Bài tập 72: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: A = 1- x + 1+ x. Bài tập 73: Tìm giá trị lớn nhất của: 2M = a + b, với a, b > 0 và a + b 1. Bài tập 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của: x + a x + bA=x .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 18 Bài tập 75: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:A = 2x + 3y, biết 2x2 + 3y2 5. Bài tập 76: Tìm GTNN của A = x + y, biết x, y > 0 thỏa mãn ab+ = 1xy (a và b là hai số dương). Bài tập 77: Tìm GTNN của A = (x + y)(y + z), với x, y, z > 0, xyz(x + y + z) = 1. Bài tập 78: Tìm GTNN của A = xy yz zxA = + +z x y với x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Bài tập 79: Tìm GTNN của 2 2 2x y zA = + +x + y y+z z + x, biết x, y, z > 0, xy + yz + zx =1. Bài tập 80: Tìm GTLN của: a) 2A = a + b, với a, b, > 0, a + b 1. b) 4 4 4 4 4 4B = a + b + a + c + a + d + b + c + b + d + c + d với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. Bài tập 81: (Áp dụng phương pháp tiếp cận dấu bằng của bất đẳng thức) Cho a, b, c [1, 2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 3 3a + b +cA=3abc Bài tập 82: Tìm GTNN của: bcA = +c + d a + b, với b + c a + d; b, c > 0; a, d 0. Bài tập 83: (Áp dụng phương pháp tiếp cận dấu bằng của bất đẳng thức) Cho a, b, c, d, e [0, 1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = a(1 - b) + b(1 - c) + c(1 - d) + d(1 - a). Bài tập 84: Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3, biết x, y 0; x2 + y2 = 1. Bài tập 85: Tìm GTNN, GTLN của A = x x + y y, biết x + y =1. Bài tập 86: (Áp dụng phương pháp tiếp cận dấu bằng của bất đẳng thức) Cho x, y, z [1, 2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: xy xz yzC = + +xz + yz xy + yz xy + xz Bài tập 87: Cho x + y = 15. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: B = x-4 + y-3 ĐS: Min B = 8, khi và chỉ khi x = 4, y = 11 hoặc x = 12, y = 3. Max B = 4 khi và chỉ khi x = 8, y = 7. Bài tập 88: Cho x, y, z 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a. Tìm GTLN của biểu thức A = xy + yz + zx. Tìm GTNN của biểu thức B = x2 + y2 + z2 ĐS: Min A = Max A = 2a3 Bài tập 89: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y z++y z x. ĐS: Min P = 6, khi x = y = z = 4. Bài 90: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 19 Tìm GTNN của biểu thức 1+ a 1+ b 1+ cA=1- a 1- b 1- c ĐS: Min A = 8. Bài tập 91: Cho x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1 và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x2y3. ĐS: 108Max B =3125 Bài tập 92: Tìm GTNN của xy yz zxA = + +z x y, với x, y, z là các số dương và a) x + y + z = 1. b) x2 + y2 + z2 = 1. ĐS: a) Min A = 1, khi x = y = z = 13 b) Min A = 3, với x = y = z = 33. Bài tập 93: Tìm GTLN của biểu thức 3 3 3 3 3 31 1 1A = + +a +b +1 b +c +1 c +a +1 Với a, b, c là các số dương và abc = 1. ĐS: Max A = 1, khi a = b = c = 1. Bài tập 94: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: A = x + y + z + xy + yz + zx, biết rằng x2 + y2 + z2 = 3. ĐS: Min A = -2, khi x = y = -1, z = 1. Bài tập 95: Cho a, b, c. Tìm min P = a +3c c+3b 4b++a + b b+c c+a. ĐS: Min P = 6, khi và chỉ khi a = b = c. Bài tập 96: Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau: a) y = 2x -2x +5 b) y = 2xx- +146 c) y = 2+2x -4x +5 d) y = 2x +6x +10 -3 e) y = 2x+ 2x +109 f) y = 2-3x-2x +178 Bài tập 97: Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau: a) y = 2x+ x -14 b) y = 22x + 2x + 2x + 2x +3= 1 - 21x + 2x +3 c) g(x, y) = 3(x - y)2 + 11-xy2 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 20 d) y = x -2 x -3 e) y = x2 - 6x +10 f) A=22x -2x + 2005x Bài tập 98: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = a b c++b c a với a,b,c > 0Và a + b + c 3 b) Y = x-1-2 x-2 + x +7-6 x-2 Bài tập 99: Cho x,y,z là những số thực và thoã mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTNN của A = 2xy + yz + zx. Bài tập 100: Tìm giá trị lớn nhất các biểu thức sau: a) y = 222 xx b) y = 2- 1442 xx c) y = - 2x2 + x - 1 d) y = 32x +1x -x +2x +4 e) A = 334x-x + x +x .Với 0x2 f) B = 793179322xxxx g) A= -(x-1)2 + 231 x h) y = 22x -6x +11x -6x +10 Bài tập 101: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 29- x b) B = x -x c) y = -x+ x +12 d) M = 22x + x +1x - x +1 |
