Show
Phương trình quy về phương trình bậc hai – Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương là phương trình có dạng Ax^2+ bx + c = 0 (a != 0).Nhận xét. Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai, song có thể đưa nó về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ. Chẳng hạn, nếuđặt x” = t thì ta được phương trình bậc hai ato + bt + c = 0. Ví dụ 1. Giải phương trình: x” – 13x^+36 = 0. (1) GiaiiĐặt x”=t. Điều kiện là t > 0. Ta được một phương trình bậc hai đối với ån t- 13 + 36 = 0. (2) – Giải phương trình (2): A = 169 – 144 = 25, NA=5, t1 = = 4 và 12= la 5- 9. Cả hai giá trị 4 và 9 đều thoả mãn điều kiện t > 0.• Với t = t! = 4, ta có x* = 4. Suy ra x = -2, X2 = 2. • Với t = t2 = 9, ta có x° =9. Suy ra xa = -3, x = 3. Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm : x = -2, X2 = 2, x} = -3, X4 = 3.Giải các phương trình trùng phương :a) 4x’+ x’ – 5 = 0; b)3x’+ 4x + 1 = 0.Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Ở lớp 8 ta đã biết, khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình; Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức: Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được: Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.x – 3x + 6×2 – 9 x -3 (3)Giải phương trìnhbằng cách điền vào các chỗ trống (…) và trả lời các câu hỏi. – Điều kiện : x z….- Khử mẫu và biến đổi, ta được : x” – 3x + 6 =… <> x” – 4x + 3 = 0.- Nghiệm của phương trình x” – 4x +3 = 0 là: X = … , X2 = … . Hỏi xỉ có thoả mãn điều kiện nói trên không ? Tương tự, đối với X2 ?Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : … .Phương trình tích Ví dụ 2. Giải phương trình:(x + 1)(x° + 2X –3) = 0. (4) Giải (x + 1)(x° + 2x –3) = 0 < x + 1 = 0 hoặc x° + 2X – 3 = 0. Giải hai phương trình này, ta được các nghiệm của phương trình : X = -1, x2 = 1, Xs = -3.3. Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích35.37.56x + 3x + 2x = 0.Bời tộp Giải các phương trình trùng phương: a) x' - 5x + 4 = 0; b) 2x'-3x -2 = 0; c)3x'+ 10x +3 = 0. Giải các phương trình : (x +3)(x-3). x + 2 6a) 3. 2 = x(1-x) ; b) +3 = : c) 4 -x܊ - x +12 x + 1 (x + 1)(x + 2) Giải các phương trình : a) (3x - 5x + 1)(x-4) = 0; b) (2x + x - 4) - (2x - 1) = 0. Luyện fộp Giải phương trình trùng phương.a) 9x"- 10x + 1 = 0; b) 5x + 2x - 16 = 10 - x;c) 0.3x'+ 1,8x + 1.5 = 0; d) 2x + 1 = -4.Χ. Giải các phương trình :a)(x-3) + (x + 4) = 23-3x; b)x + 2x - (x-3)=(x-1)(x-2);Hướng dẫn, a) Đặt t = x^2 + x, ta có phương trình 3t^2 – 2t − 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x^2 + x, ta được một phương trình của ẩn X. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của X.
Table of ContentsỞ những bài viết trước chúng ta đã tìm hiểu về phương trình bậc hai một ẩn và cách giải phương trình. Đối với những phương trình chưa có dạng phương trình bậc hai, chúng ta sẽ tìm cách đưa nó về dạng phương trình bậc hai rồi giải. Một trong những phương trình đó, là phương trình trùng phương. Vậy thế nào là phương trình trùng phương? Cách giải phương trình trùng phương ra sao? Công thức phương trình trùng phương là gì?... Cùng tham khảo ở bài viết này nhé! 1. Phương trình trùng phương là gì? Có dạng như thế nào?Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 + bx2 + c =0 ( a 0) Cách giải phương trình trùng phương: Đặt ẩn phụ t = x2 ( t 0 ) để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 ( a 0) 2. Các dạng bài tập về phương trình trùng phương lớp 92.1. Dạng 1: Giải phương trình trùng phương*Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c =0 ( a 0)
Bài 1: Giải các phương trình trùng phương sau: a) x4 - 4x2 + 3 = 0 b) -2x4 - 7x2 + 9 = 0 c) x4 + 6x2 + 9 = 0 ĐÁP ÁNa) x4 - 4x2 + 3 = 0 Đặt t = x2 ( t 0 ) ta được phương trình bậc hai : t2 - 4t + 3 = 0 Ta có: = b2 - 4ac = (-4)2 - 4.1.3 = 4 > 0 suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1 = = 3 ( thỏa mãn) t2 = = 1 ( thỏa mãn) Với t = t1 = 3 x2 = 3 x = hoặc x = - Với t = t2 = 1 x2 = 1 x = 1 hoặc x = - 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = . b) -2x4 - 7x2 + 9 = 0 Đặt t = x2 ( t 0 ) ta được phương trình bậc hai : -2t2 - 7t + 9 = 0 Ta có: = b2 - 4ac = (-7)2 - 4.(-2).9 = 121 > 0 suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1 = ( không thỏa mãn) t2 = = 1 ( thỏa mãn) Với t = t2 = 1 x2 = 1 x = 1 hoặc x = - 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = c) x4 + 6x2 + 9 = 0 Đặt t = x2 ( t 0 ) ta được phương trình bậc hai : t2 + 6t + 9 = 0 Ta có: = b2 - 4ac = 62 - 4.1.9 = 0 Suy ra phương trình có nghiệm kép: t1 = t2 = = -3 < 0 Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải các phương trình trùng phương sau: a) (x + 1)4 + 2(x + 1)2 - 3 = 0 b) (x - 1)4 + (x - 1)2 - 20 = 0 ĐÁP ÁNa) (x + 1)4 + 2(x + 1)2 - 3 = 0 Đặt t = (x + 1)2 ( t 0 ) ta được phương trình bậc hai : t2 + 2t - 3 = 0 Ta có: = b2 - 4ac = 22 - 4.1.(-3) = 16 > 0 suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1 = = 1 ( thỏa mãn) t2 = = -3 ( không thỏa mãn) Với t = t1 = 1 (x + 1)2 = 1 x + 1 = 1 hoặc x + 1 = - 1 x = 0 hoặc x = -2 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = b) (x - 1)4 + (x - 1)2 - 20 = 0 Đặt t = (x - 1)2 ( t 0 ) ta được phương trình bậc hai : t2 + t - 20 = 0 Ta có: = b2 - 4ac = 12 - 4.1.(-20) = 81 > 0 suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1 = = 4 ( thỏa mãn) t2 = = -5 ( không thoả mãn) Với t = t1 = 4 (x - 1)2 = 4 x - 1 = 2 hoặc x - 1 = - 2 x = 3 hoặc x = -1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 2.2. Dạng 2: Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước trong phương trình trùng phương*Phương pháp giải: Cho phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (1) Đặt t = x2 (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: at2 + bt + c = 0 (2) + Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm + Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0 + Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu + Để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương + Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt Bài 1: Cho phương trình: x4 - (2m + 1)x2 - m = 0 (1) (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. ĐÁP ÁNĐặt t = x2 ( t 0 ) ta được phương trình bậc hai : t2 - (2m + 1) t - m = 0 (2) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.
Khi đó: a . c < 0 1. (-m) < 0 -m < 0 m > 0
Khi đó: = b2 - 4ac = [-(2m + 1)]2- 4.1.(-m) = 4m2 + 4m + 1 + 4m2 = 8m2 + 4m + 1 = 0 Phương trình vô nghiệm Vậy m > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Bài 2: Cho phương trình: x4 – 2(m + 4)x2 + m2 = 0 (1) (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm ĐÁP ÁNĐặt t = x2 ( t 0 ), khi đó phương trình (1) trở thành: t2 – 2(m + 4)t + m2 = 0 (2) Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0 Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được: m2 = 0 ⇔ m = 0 Với m = 0 thì phương trình (2) có dạng: t2 - 8t = 0 t = 0 hoặc t = 8 Suy ra m = 0 không thỏa mãn Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 1 nghiệm. Bài 3: Tìm giá trị của m để phương trình (m + 1)x4 + 2(m – 2)x2 + m + 2 = 0 (1) vô nghiệm. ĐÁP ÁNNếu m + 1 = 0 m = -1 Khi đó, phương trình (1) có dạng: -6x2 + 1 = 0 x2 = x = hoặc x = - Do đó m = -1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu m + 1 0 m -1 Đặt t = x2 ( t 0 ), khi đó phương trình (1) trở thành: (m +1)t2 + 2(m - 2)t + m + 2 = 0 (2) Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm. Trường hợp 1: Phương trình (2) vô nghiệm Khi đó: ' = b'2 - ac = (m - 2)2 - ( m + 1). ( m + 2) = m2 - 4m + 4 - m2 - 3m - 2 = -7m + 2 < 0 m > Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm âm Khi đó: m < -2. Vậy m < -2 thì phương trình (1) vô nghiệm. Trên đây là các dạng toán liên quan đến phương trình trùng phương, hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn hiểu và vận dụng tốt để giải các bài toán tương tự. Chúc các bạn học tập tốt. Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang |
