Hay chỉ ra một số cách chứng minh hai đường thẳng song song

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Khái niệm hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song (trong mặt phẳng) là hai đường thẳng không có điểm chung.

Kí hiệu \(a//b.\)

- Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song.

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

+ Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

+ Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

+ Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng song song.

Ngoài ra ta còn có dấu hiệu: Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le ngoài bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

Ví dụ:

+) \(\widehat {A_1} = \widehat {B_1}\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

 \(\Rightarrow a//b\)

+) \(\widehat {A_3} = \widehat {B_1}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow a//b\)

+) \(\widehat {A_2} + \widehat {B_1} = {180^0}\)

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía

\(\Rightarrow a//b\)

3. Tiên đề Ơ-clít về hai đường thẳng song song

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song song với đường thẳng đó.

4. Tính chất hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau

+ Hai góc đồng vị bằng nhau

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau

Ví dụ:

Nếu $a//b$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\widehat A_1} = {\widehat B_1}\\{\widehat A_3} = {\widehat B_1}\\{\widehat A_2} + {\widehat B_1} = {180^0}\end{array} \right.\)

5. Vẽ hai đường thẳng song song

Một số cách vẽ được minh họa như sau:

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Xét cặp góc so le trong, cắp góc đồng vị hoặc cặp góc trong cùng phía.

Rồi sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Dạng 2: Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng cắt hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau

+ Hai góc đồng vị bằng nhau

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau

Dạng 3: Xác định các góc bằng nhau hoặc bù nhau dựa vào tính chất hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Bước 1: Chứng minh hai đường thẳng song song (nếu chưa có)

Bước 2: Sử dụng tính chất:

Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau

+ Hai góc đồng vị bằng nhau

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh hai đường thẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Chứng minh hai đường thẳng song song: Cơ sở của phương pháp cần thực hiện hai bước cơ bản cho định nghĩa a || b. Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng ở trong cùng một mặt phẳng hay hiểu rằng điều đó hiển nhiên xảy ra nếu chúng cùng nằm trong một hình phẳng nào đó. Bước 2: Dùng định lý Thales, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba), là hai đáy của hình thang, hai cạnh đối của hình bình hành… để khẳng định hai đường thẳng đó không có điểm chung. Suy ra điều phải chứng minh. BÀI TẬP DẠNG 1: Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ Song song với CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CB và BD suy ra MN || CD. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD (QA/QD) và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng PQ || MN và PQ || AC. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN || BS, NP || CD, MQ || CD. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi A’, B, C, D lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh A’B’CD là hình bình hành. Trong (SAB) có AB là đường trung bình của ASAB = AB || AB, AB = AB. (1) Trong (SCD) có CD là đường trung bình của ASCD = CD || CD, CD = CD. (2) Mà AB || CD, AB = CD. (3). Từ (1), (2) và (3) » A’B’ || CD và A’B’ = CD. Vậy A’B’C’D’ là hình bình hành. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hình chóp tứ S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh: MN || BD. Gọi I là trung điểm của SA. Trong (SAB) có: M là trọng tâm tam giác SAB. N là trọng tâm tam giác SAD. Xét tam giác IBD có: IB = ID = 33 MN || BD.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm BC,CD, SB, SD. a) Chứng minh rằng MN || PQ. b) Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC, J thuộc SA. Chứng minh IJ | SM. a) Chứng minh MN || PQ. MN || BD (M N là đường trung bình của ABCD). và PQ || BD (PQ là đường trung bình của ASBD). Suy ra MN || PQ. b) I là trọng tâm của AABC. Ta có IJ || SM.

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

Ở bài viết này các em học sinh lớp 7 sẽ được học về các cách chứng minh hai đường thẳng song song bằng phương pháp dưới đây.

Tổng quan kiến thức cách chứng minh 2 đường thẳng song song.

I. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

1. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba (so le, đồng vị…)
2. Sử dụng tính chất của hình bình hành.
3. Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
4. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành.
5. Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song.
6. Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng.
7. Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang.
8. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn.
9. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

II. Chứng minh hai đường thẳng song song

Để chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhau, ta cần trang bị cho bản thân các kiến thức sau đây:
1. Ghi nhớ lại các một số kiến thức trong hình học phẳng:
– Trong hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật,…: Các cặp cạnh đối song song với nhau.
– Đường trung bình của tam giác, hình bình hành,…: Đường thẳng đi qua hai trung điểm của cặp cạnh bên (cặp cạnh đối diện).
– Định lý Ta – let đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
2. Ghi nhớ các tính chất:
– Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
A ∉ a ⇒ ∃! b: b ⊃ A và a//b
– Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
a//x; b//x và a ≠ b ⇒ a//b
–Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng:
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Phương pháp:
1. Nếu ta nhìn thấy được hai đường thẳng đó đồng phẳng thì ta sẽ sử dụng các kiến thức trong hình học phẳng để chứng minh.
2. Nếu ta chưa thấy hai đường thẳng đó đồng phẳng thì có thể áp dụng các tính chất 1, 2 và định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD căt BC. Hãy tìm điểm M trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM // BN.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng ME // AC, MF // BD.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD. Chứng minh MN // BD.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh: MN // CD.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gòi M, N, P, Q làn lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. Chứng minh PQ // SA.

• 4 Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

• Cách chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau qua ví dụ

• Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ – Toán lớp 7

• Các dạng Toán nâng cao lớp 7

• Định nghĩa, tính chất ba đường cao của tam giác

• Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

• Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác