VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh phương trình có nghiệm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh phương trình có nghiệm:
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b + D sao cho f(a). f(6) < 0. Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a; 0, -1),(i = 1, 2, …, k) nằm trong D sao cho f(ai). f (ai + 1) < 0.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình 274 – 2×3 – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 0). Đặt f(z) = 2a4 – 223 – 3. Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên IR nên f(x) liên tục trên IR = f(x) liên tục trên (-1; 0). Ta có: f(0) = -3; f (-1) = 1 = f(-1) f(0) < 0. f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) (đpcm). Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình 60 + 3×2 – 31c + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đặt f(x) = 6×3 + 3×2 – 31x + 10. TXD: D = IR = f(x) liên tục trên IR = f(x) liên tục trên (-3; 2). f(z) = 0 có nghiệm thuộc (0; 1). f(1).f(2) < 0 = f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1; 2). f(2) = 8 Mặt khác vì f(x) là một đa thức bậc ba nên phương trình f(x) = 0 chỉ có tối đa ba nghiệm. Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt (đpcm).
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x – 1 + sin c = 0 có nghiệm. Xét hàm số f(x) = 0 – 1 + sinx liên tục trên (f(0) = -1. m = f(0).6 < 0. Suy ra phương trình f(z) = 0 có nghiệm do € (0; 4). Vậy phương trình 2 – 1+ sinx = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình (m2 + m + 4) = 2017 – 2x + 1 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Xét hàm số f(z) = (m2 + m + 4) = 2017 – 2x + 1 liên tục trên (-1; 0). Vậy f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m (đpcm).
Bài toán về số nghiệm của phương trìnhCâu 1. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phânbiệt trong khoảng (–2; 5).Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 5x − 2 ⇒ f liên tục trên R.Ta có: f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1;2)f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).Câu 2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:x 3 + 5x − 3 = 0 .Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 5x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.f (0) = −3, f (1) = 3 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(0;1) .Câu 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 1000 x + 0,1 ⇒ f liên tục trên R.f (0) = 0,1 > 0⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệmf (−1) = −1001 + 0,1 < 0 c ∈ (−1; 0)Câu 4. Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:6 x 3 − 3x 2 − 6 x + 2 = 0 .Xét hàm số f ( x ) = 6 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 2 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.• f (−1) = −1, f (0) = 2 ⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (−1; 0)• f (0) = 2, f (1) = −1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (0;1)• f (1) = −1, f (2) = 26 ⇒ f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có một nghiệm c3 ∈ (1;2)• Vì c1 ≠ c2 ≠ c3 và PT f ( x ) = 0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng banghiệm thực.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhCâu 5. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:5x 5 − 3x 4 + 4 x3 − 5 = 0Với PT: 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5 = 0 , đặt f ( x ) = 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5f(0) = –5, f(1) = 1 ⇒ f(0).f(1) < 0⇒ Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)Câu 6. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3 − 10 x − 7 = 0Xét hàm số: f(x) = 2 x 3 − 10 x − 7 ⇒ f(x) liên tục trên R.• f(–1) = 1, f(0) = –7 ⇒ f ( −1) . f ( 0 ) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộcc1 ∈ ( −1;0 )• f(0) = –7, f(3) = 17 ⇒ f(0).f(3) < 0 ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ ( 0;3)• c1 ≠ c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.Câu 7. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5x 2 + x + 1 = 0 .Xét hàm số: f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R.Ta có:+f (0) = 1 > 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1) .f (1) = −1 +f (2) = −1 < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3) .f (3) = 13 > 0 Mà c1 ≠ c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.Câu 8. Chứng minh rằng phương trình: (1 − m2 ) x 5 − 3 x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.Xét hàm số f ( x ) = (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.Ta có: f (−1) = m 2 + 1 > 0, ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0). f (1) < 0, ∀m⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1) , ∀mCâu 9. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0Đặt f ( x ) = x 5 − x 2 − 2 x − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhf(0) = –1, f(2) = 23 ⇒ f(0).f(1) < 0⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)Câu 10. Chứng minh rằng phương trình x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (−1;1) .Xét hàm số f ( x ) = x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.• f (−1) = −3, f (1) = 1 ⇒ f (−1). f (1) < 0 nên PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc(–1; 1).Câu 11. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:cos2 x − x = 0 πĐặt f(x) = cos2 x − x ⇒ f(x) liên tục trên (0; +∞) ⇒ f(x) liên tục trên 0; 2π π πf (0) = 1, f ÷ = −⇒ f (0). f ÷ < 0222 πVậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên 0; ÷ 2Câu 12. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (–1; 2).Gọi f ( x ) = x 5 − 3 x − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên Rf(0) = –1, f(2) = 25 ⇒ f (0). f (2) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( 0;2 )f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (−1; 0)c1 ≠ c2 ⇒ PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2)Câu 13. Chứng minh rằng phương trình : x 5 − 3 x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).Gọi f ( x ) = x 5 − 3 x − 1 liên tục trên Rf (−1) = 1, f (0) = −1 ⇒ f (−1). f (0) < 0⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0)Câu 14. Chứng minh rằng phương trình 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộckhoảng (–1; 1).Gọi f ( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên RToán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhf(–1) = 5, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (−1; 0)f0) = –1, f(1) = 1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (0;1)c1 ≠ c2 ⇒ phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1)Câu 15. Chứng minh phương trình: 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1; 1).Gọi f ( x ) = 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên Rf(–1) = 2, f(0) = –3 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (−1; 0)f(0) = –3, f(1) = 4 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (0;1)Mà c1 ≠ c2 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng (−1;1) .Câu 16. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:(9 − 5m) x 5 + (m 2 − 1) x 4 − 1 = 0Gọi f ( x ) = (9 − 5m) x 5 + (m 2 − 1) x 4 − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.25 3f (0) = −1, f (1) = m − ÷ + ⇒ f (0). f (1) < 02 4⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi mCâu 17. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 = 0Gọi f ( x ) = m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên Rf(1) = 5, f(–2) = –1 ⇒ f(–2).f(1) < 0⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (−2;1), ∀m ∈ RCâu 18. Chứng minh rằng phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 2mx 2 − x + m ⇒ f(x) liên tục trên R.• f (m) = −m3 , f (0) = m ⇒ f (0). f (m) = − m 4• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0• Nếu m ≠ 0 thì f (0). f (m) < 0, ∀m ≠ 0 ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0;m) hoặc (m; 0).Vậy phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhCâu 20. Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.• f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒ phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( −2; 0 )• f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ ( 0;1)• f(1) = –1, f(2) = 3 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3 ∈ ( 1;2 )• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phươngtrình đã cho có đúng ba nghiệm thực.Câu 21. Cho y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệmphân biệt.Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 ⇒ f(x) liên tục trên R.• f(–1) = –2, f(0) =2 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệmc1 ∈ ( −1; 0 )• f(1) = 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = 1 ≠ c1• f(2) = –2, f(3) = 2 ⇒ f ( 2 ) . f ( 3) < 0 nên phương trình có một nghiệm c2 ∈ ( 2;3)Mà cả ba nghiệm c1 , c2 ,1 phân biệt nên phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệtCâu 22. Chứng minh rằng phương trình x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm trongkhoảng (–4; 0).Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.• f(–3) = 5, f(0) = –7 ⇒ f (−3). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–3;0).• (−3; 0) ⊂ (−4; 0) ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–4; 0).Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinh