Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x + 2y - z + 4 = 0\) và cắt cả hai đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\), \(d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3t\\z = 2t\end{array} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đường thẳng \(\Delta \)?
A. B. C. D.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.  Nội dung bài viết Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q): Phương pháp giải. Phương pháp. VTPT của (P), (Q) lần lượt là mi, t. Lúc này ta được VTCP của đường thẳng d là ai, n. Ví dụ 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; -1; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + g – 32 – 1 = 0 và (Q) : -2c + g – 4z + 1 = 0. Mặt phẳng (P) , (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là Ti = (1; 1; -3) và n = (-2; 1; -4). Vì d song song với (P) và (Q) nên véc tơ chỉ phương của d là Ti = [i, n] = (-1; 10; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A(1; -1; 1) và có một véc tơ chỉ phương là x = (-1; 10; 3), nên dù có phương trình tham số là x = 1 – 7 y = -1 + 10t z = 1 + 3t. Ví dụ 11. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và song song với hai mặt phẳng (P): x – y + 2x + 1 = 0 và (Q): 3x – 2y + 47 – 2018 = 0. Mặt phẳng (P) , (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là mi = (1;-1; 2) và m = (3; –2; 4). Vì d song song Với (P) và (Q) nên véc tơ chỉ phương của d là mi = i, m = (0; 2; 1). Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và có một véc tơ chỉ phương là ti = (0; 2; 1), nên d có phương trình tham số là x = 1 y = 2 + 2t 12= 3 + t. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 12. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1; -1) và song song với hai mặt phẳng (P): -2x + 3y – z = 0 và mp (Org). Mặt phẳng (Ocg) có phương trình là 3 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến là (0; 0; 1). Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1; -1) và có một véc tơ chỉ phương là m = (3; 2; 0), nên d có phương trình tham số là x = 3t y = 1 + 2t. Bài 13. Viết phương trình đường thẳng d. Biết d đi qua giao điểm của hai đường thẳng A: y + 2, Z: x – 3 y + 5. Ta có (P), (Q) có véc tơ pháp tuyến lần lượt là mi = (7; -10; 5), m = (3; 6; -2). Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng A và A’ là nghiệm của hệ phương trình. Vậy đường thẳng d đi qua điểm A(3; –5; 1) và có véc tơ chỉ phương í = mị, m phương trình tham số là x = 1 + 5t. Bài 14. Cho đường thẳng A: 4 = 2 – 6t và ba mặt phẳng (P): 2 + 2x – 32 – 16 = 0, (Q): 12= -7 + t + y + z + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của A. và (P), đồng thời song song với hai mặt phẳng (Q), (R). Ta có (2), (R) có véc tơ pháp tuyến lần lượt là T =(1; 1; 1), m =(-1; 2; -1). Lại có, tọa độ giao điểm A của đường thẳng A và mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ phương trình. Vậy đường thẳng d đi qua điểm A(0; -4; -6) và có véc tơ chỉ phương n, m phương trình tham số là x = 6 – 3t, y = -4. Bài 15. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’CD. Biết A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), D(3; 1; 0), A(1; 0; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua B’ và song song với (ABCD) và (ACC’A’). Ta có B = (0; 2; 2) và véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AACC) lần lượt là A4 = (0; 0; 2), B = (3; -1; 0). Suy ra AN, BD = (2; 6; 0) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là x = 2t y = 2 + 6t z = 2. Bài 16. Cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (2 – 1)3 = 9 và mặt phẳng (P): 2 + 32 + 1= 0, và mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm A(0; 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và song song với mặt phẳng (P), (Q). Ta có mặt phẳng (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu (S) tại điếp điểm A(0; 2; -1), nên IA = (2; 1; 2) là véc tơ pháp tuyến của (Q). Do đó (Q) có phương trình 2x + y + 2x = 0. Vậy đường thẳng d đi qua tâm I(-2; 1; -3) và có véc tơ chỉ phương n = (-1; -8; 5).
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Đường thẳng d qua M song song với mp(P) và vuông góc với d’ (d’ không vuông góc với Δ), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Nội dung bài viết Đường thẳng d qua M song song với mp(P) và vuông góc với d’ (d’ không vuông góc với Δ): Phương pháp giải. Phương pháp. Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là u, mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến. Lúc này ta được véctơ chỉ phương của đường thẳng d. Ví dụ 12. Cho điểm A(2; -5; -1). Lập phương trình của đường thẳng A’ qua A, song song với (P) và vuông góc. Ta có (P) có một véctơ pháp tuyến là m = (1; -1; -1), đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là x = (2; 1; 3), nên đường thẳng A có véc tơ chỉ phương là n = (-2; 5; 3). Ví dụ 13. Cho điểm A(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): -x + 3 – 43 – 5 = 0, đường thẳng d x = 1 + 2t, y = -4 + 5t. Lập phương trình của đường thẳng A’ qua A, song song với (P). Ta có (P) có một véctơ pháp tuyến là n = (-1; 3; –4), đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là u = (2; 5; -1), nên đường thẳng A có véctơ chỉ phương là [u , mu’] = (17; -9; -11). Ví dụ 14. Cho điểm A(-2; 1; -6) và hai mặt phẳng (P): 2x + 3y – z + 12 = 0, (Q): 2 – 2x + 2 − 1= 0. Lập phương trình của đường thẳng A qua A, song song với (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q). Ta có (P), (Q) lần lượt có véctơ pháp tuyến là i = (2; 3; -1), T = (1; -2; 2), nên véc tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến là k, m = (4; -5; -7). Và ta được đường thẳng A có véc tơ chỉ phương là [i , mi] = (-26; 10; -22). BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 17. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(1; -2; 3), vuông góc với đường thẳng (A): x = -1 + 3t y = -3 + 2t và song song với mặt phẳng (P) : 2c + g + 33 – 5 = 0 z = 2 – 7. Lời giải. Đường thẳng (A) có véctơ chỉ phương là a = (3; 2; -1), mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến là n = (2; 1; 3). Gọi đó là véctơ chỉ phương của đường thẳng (d). Vậy (d) có phương trình tham số là g = 2 – 11t , z = 3 + t. Bài 18. Viết phương trình đường thẳng (A) đi qua A(1; 1; -2), vuông góc với đường thẳng (d): x +1 Y-1 2 – 2 và song song với mặt phẳng (P): x – y – 3 = 0. Gọi a, … , n lần lượt là véctơ chỉ phương của (d), véctơ chỉ phương của (A) và véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), ta có a = (2; 1; 3), i = (1; -1; -1).Bài 19. Viết phương trình đường thẳng (A) đi qua M(2; 2; 4), vuông góc với đường thẳng (d): y – 2 và song song với mặt phẳng (P): x + 3y + 2x +3 = 0. Gọi a, c, n lần lượt là véctơ chỉ phương của (d), véctơ chỉ phương của (A) và véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), ta có a = (3; –2; 2), m = (1; 3; 2). Bài 20. Trong không gian cho các điểm A(1; 1; -1); B(2; -1; 3), C(1; 2; 2), D(-1; 2; 1). Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với AB và song song với mặt phẳng (BCD). Ta có : AB = (1; -2; 4); BC = (-1; 3; -1); CD = (-2; -4; -1). Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là n = BC, CD = (-7; 1; 10). Gọi i là véctơ chỉ phương của AB của (d). Do đó i = AB; i = (-24; -38; -13).
Đáp án A Vì hai đường thẳng d và d’ song song với nhau nên đường thẳng a cần tìm cũng song song với 2 đường thẳng nên a nhận u⇀=(3;1;-2) làm vecto chỉ phương. Gọi A(2;-3;4)∈d⇒ phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với d là: 3x+y-2z+5=0 Giao điểm H của (P) và d’ là H 47; -157;-167. khi đó trung điểm của AH là I97;-187;67 Thay tọa độ điểm I vào xem phương trình nào thỏa mãn. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 2}}{3}\), \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y + 7}}{9} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) có phương trình là |
