Show
Trước hết chúng ta cần giải thích 1 chút về từ ngữ. Ở đầu bài viết có viết “tìm m để hàm số có ba cực trị”. Viết như vậy không được chính xác với khái niệm của SGK. Vì điểm cực trị của hàm số khác với cực trị của hàm số. Chính xác thì hàm trùng phương bậc 4 chỉ có tối đa 2 cực trị. Và bài toán phải phát biểu lại là “tìm m để hàm số có ba điểm cực trị (hoặc 2 cực trị)”. Sau đây là điều kiện để hàm số trùng phương có 2 cực trị: 1. Phương pháp giải - Bước 1: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 2x.g(x) với g(x) = 2ax2 + b y′=0⇔x=0 hoặc g(x) = 2ax2 + b = 0 ⇔ x2 = -2ab Để hàm số có 3 cực trị ⇔[y′=0] có 3 nghiệm phân biệt ⇔g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt và khác 0 ⇒m ϵ D(∗) Nhận xét: Phương trìnhy′=0 luôn có một nghiệm x = 0 và đồ thị hàm số ban đầu là hàm chẵn, nên các điểm cực trị đối xứng nhau qua Oy. Giả sử ba điểm cực trị là A ∈ Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy. - Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo tham số. Giải phương trình này ta được giá trị của tham số, đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận. Ví dụ 1: Cho hàm số y = 2x4 + (3m – 6)x2 + 3m - 5 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị. Lời giải: Ví dụ 2: Cho hàm số y=x4–2(m+1)x2+m2, với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông Cách giải: Đạo hàm y' =4x3−4(m+1)x Ví dụ 3: tìm m để hàm số y=x4+(m+2015)x2+5 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân. Cách giải: Với a = 1, b = m +2015. Ta có: 8a + b3 = 0⇒b3=−8⇒m=−2017 II. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác đềuVí dụ 1: Cho hàm số y = -x4 + m 3√3x2 + m + 2 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Lời giải: Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=98x4+3(m−2017)x2 có 3 cực trị tạo thành tam giác đều. Cách giải: Với a = 98, b = 3(m−2017) ta có: 24a + b3 = 0⇒b3=−27⇒m = 2016III. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng RCông thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị hàm trùng phương: Tìm m để hàm số có ba cực trị: Diện tích tam giác ABC
Công thức giải nhanh cực trị hàm trùng phương
Các dạng toán tìm tham số (tìm m, tìm a, b, c) hay gặp: Tìm m để hàm số bậc 4 trùng phương có một cực trị; Tìm m để hàm số bậc 4 trùng phương có ba cực trị; có hai cực tiểu và một cực đại; có hai cực đại và một cực tiểu,... Xét hàm số trùng phương y=ax4+bx2+c với hệ số a≠0. Công thức giải nhanh cực trị hàm số trùng phươngMột số tính chất quan trọng khác giải nhanh hàm trùng phươngXét trường hợp hàm số có 3 cực trị. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị A, B, C của đồ thị hàm số trùng phương được cho trong hình. Ta có các tính chất cơ bản sau: - A luôn nằm trên trục tung (tức hoành độ của A luôn bằng 0) - Tam giác ABC là tam giác cân tại A - B và C đối xứng nhau qua trục tung (trục Oy) BÀI TOÁN HÀM TRÙNG PHƯƠNG CÓ BA CỰC TRỊ TẠO TAM GIÁC ABC (RẤT HAY GẶP) BẢNG CÔNG TÍNH NHANH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a ≠ 0) Khi đó y' = 4ax3 + 2bx ; y' = 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0 ⇔  Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ ab < 0. Chú ý: Hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = -2x4 + (3m - 6)x2+3m - 5 có ba điểm cực trị. Lời giải Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị ⇔ -2(3m - 6) < 0 ⇔ (3m - 6) > 0 ⇔ m > 2 Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m - 1)x4 + 2x2 + 3 có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Lời giải Hàm số đã cho có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y = 2x4 + (m2 - 3m - 4)x2+ m - 1 có 3 điểm cực trị. Tính số các tập con của tập S. A. 32 B. 16 C. 25 D. 36 Lời giải Chọn B Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị ⇔ 2(m2 - 3m - 4) < 0 ⇔ m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4 Do m nguyên nên m ∈ {0;1;2;3} ⇒ S = {0;1;2;3} nên S có 4 phần tử Vậy số tập con của tập S là 24 = 16 (tập hợp) Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m - 1)x4 + (m2 + 3m + 2)x2 + 1 có 3 điểm cực trị Lời giải Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị ⇔ (m - 1)(m2 + 3m + 2) < 0 ⇔ (m - 1)(m + 1)(m + 2) < 0 Giải bất phương trình ta có Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp |
