Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó
Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến
Tính chất của đường trung tuyến
Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.
Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:
- 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
- Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
- Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Định lý 1:Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Định lý 2:Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Ví dụ:
Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC
Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân
- Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau
Công thức tính độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma; mb; mclà độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó
Ví dụ minh họa
Bài 1:Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:
Bài 2:Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP
Lời giải
Ta có MI là đường trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP
Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M
=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
=> MI ﬩ NP
Bài 3:Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2+ c2= 5a2thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.
Lời giải:
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Đặt BE = mb, CD = mc
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
Vậy b2+ c2= 5a2thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)
Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a) M là trung điểm của CD
Lời giải:
a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD
Mặt khác
Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD
M là giao của BE và CD
Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD
Vậy M là trung điểm của CD
b. A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC
Suy ra AM = 1/2 BC
Bài 5:Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.
a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.
b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.
Lời giải:
a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
HB = HC
Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
AH chung
HB = HC
⇒ ΔAHB = ΔAHC (c - c - c)
b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)
Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)
DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I
Bài 6:Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:
a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau
b. KB = KC
c. BC < 4KM
Lời giải:
a. Ta có: AB = AC (gt)
⇒ BN = CM
Xét ΔBCN vàΔCBM có:
BC là cạnh chung
BN = CM
Nên tam giác KBC cân tại A
Suy ra KB = KC
c. Xét ΔABCcó:
NA = NB (CN là đường trung tuyến)
MA = MC (MB là đường trung tuyến)
Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC
Xét tam giác NKM có:
NM < NK + KM (bất đẳng thức Cauchy trong tam giác)
NK = CN – CK
⇒ BC/2 < CN - CK + KM(1)
ΔBNC = ΔCMB⇒ CN = BM (2)
Tam giác KBC cân tai K⇒ CK = BK (3)
Từ (1), (2), (3)⇒ BC/2 < BM - BK + KM
⇒ BC/2 < 2KM
⇒ BC < 4KM
Với Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến cực hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến:
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma; mb; mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải:
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Đặt BE = mb, CD = mc
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
Vậy b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến . Độ dài AC là:
Hướng dẫn giải:
BM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Đáp án B
Ví dụ 4: Tam giác ABC có BC = 6, AC = , AB = 2. M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3. Giá trị của AM là?
Hướng dẫn giải:
Mà M thuộc BC.
Do đó M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có.
Đáp án C
Ví dụ 5: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
Đáp án A