Công thức đổi biến trong tọa độ cực

Ta cần tìm $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy $.

Thực hiện phép đổi biến $$\left\{\begin{array}{l} {x=x(u,v)} \\ {y=y(u,v)} \end{array}\right. \label{3.1.7}\tag{*}$$ Giả sử 

1. Các hàm $x(u,v);{\rm \; }y(u,v)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng $D'$ nằm trong mặt phẳng $Ouv$.
2. Các công thức \eqref{3.1.7} xác định 1 song ánh từ $D'$ lên $D$.
3. $$ J=\frac{D(x,y)}{D(u,v)} =\left|\begin{array}{cc} {x'_{u} } & {x'_{v} } \\ {y'_{u} } & {y'_{u} } \end{array}\right|\ne 0,{\rm \; \; }\forall (u,v)\in D'.$$ 

 Khi đó ta có công thức đổi biến trong tính tích phân bội hai: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv.\label{3.1.8}\tag{7}$$

Ví dụ 5. Tính  $\iint\limits_{D}(x+y)(x-y)^{2} dxdy $ với $D$ được giới hạn bởi các đường: $x+y=1;{\rm \; }x+y=3;{\rm \; }x-y=0;{\rm \; }x-y=1$.

Hướng dẫn.

Thực hiện phép đổi biến $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y} \\ {v=x-y} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{1}{2} (u+v)} \\ {y=\frac{1}{2} (u-v)} \end{array}\right..$

Xác định miền $D'$: $D'=\left\{(u,v)\in \mathbb{R}^{2} |1\le u\le 3;0\le v\le 1\right\}$.

Dễ thấy phép đổi biến trên xác định một song ánh từ $D'$ lên $D$.

Ta có $J=\dfrac{D(x,y)}{D(u,v)} =\left|\begin{array}{cc} {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right|=-\dfrac{1}{2} \ne 0$.

Vậy, $$\iint\limits_{D}(x+y)(x-y)^{2} dxdy =\iint\limits_{D'}u.v^{2} |J|dudv =\dfrac{1}{2} \int\limits_{1}^{3}udu \int\limits_{0}^{1}v^{2} dv =\dfrac{2}{3}.$$

Chú ý. Nếu ta thực hiện phép đổi biến $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y} \\ {v=x-y} \end{array}\right..$ 

Ta vẫn có miền $D'=\left\{(u,v)\in {\rm R}^{2} |1\le u\le 3;0\le v\le 1\right\}$.

Dễ thấy phép đổi biến trên vẫn xác định một song ánh từ $D'$ lên $D$.

Và $\dfrac{1}{J} =\dfrac{D(u,v)}{D(x,y)} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right|=-2\ne 0$.

Vậy, $$\iint\limits_{D}(x+y)(x-y)^{2} dxdy =\iint\limits_{D'}u.v^{2} |J|dudv =\dfrac{1}{2} \int\limits_{1}^{3}udu \int\limits_{0}^{1}v^{2} dv =\dfrac{2}{3}.$$

Định nghĩa. Trong mặt phẳng chọn một điểm $O$ cố định gọi là cực và trục $Ox$ gọi là trục cực.                                Hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ cực.  Vị trí của một điểm $M$ trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định bởi 2 số: $r=\overrightarrow{OM}$ được gọi là bán kính vector hay bán kính cực. $\varphi =(Ox,\overrightarrow{OM})$ được gọi là góc cực, là góc định hướng (có chiều quay dương (khi quay trục  $Ox$ lên trùng với $\overrightarrow{OM}$) là chiều ngược chiều kim đồng hồ) Cặp số có thứ tự $(r,\varphi )$  được gọi là các tọa độ cực của điểm $M (r\ge 0;{\rm \; }\varphi \in {\rm [}0,2\pi {\rm ]}).$

Mối quan hệ giữa điểm $(x,y)$ trong hệ tọa độ Đề Các và hệ tọa độ cực

Công thức tính. 

Để tìm mối liên hệ giữa các tọa độ Đề các $(x,y)$ và các tọa độ cực $(r,\varphi )$ của cùng một điểm $M$, ta dựng hệ trục tọa độ Đề các có gốc tại cực, trục hoành trùng trục cực.

Theo định lý về phép chiếu vuông góc ta có  $\left\{\begin{array}{l} {x=r\cos \varphi } \\ {y=r\sin \varphi } \end{array}\right. $ (**)

Nếu $r>0;{\rm \; }\varphi \in {\rm [}0,2\pi {\rm ]}$ thì (**) xác định một song ánh giữa các tọa độ Đề các và các tọa độ cực (riêng điểm $O(0,0)$ có $r=0;{\rm \; }\varphi $ tùy ý)

Do đó ta có thể xem (**) như một phép đổi biến.

 Ta có $J=\dfrac{D(x,y)}{D(r,\varphi )} =\left|\begin{array}{cc} {\cos \varphi } & {-r\sin \varphi } \\ {\sin \varphi } & {r\cos \varphi } \end{array}\right|=r\ne 0$  (trừ điểm  $O(0,0)$)

Do đó, ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực:

$$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D'}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rd\varphi dr.\label{3.1.9}\tag{8}$$

Chú ý. 

1. Công thức \eqref{3.1.9} vẫn đúng trong trường hợp  chứa gốc $O(0,0)$.
2. Nếu $D$ được giới hạn bởi  $\left\{\begin{array}{l} {r_{1} (\varphi )\le r\le r_{2} (\varphi )} \\ {\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} } \end{array}\right.$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }d\varphi \int _{r_{1} (\varphi )}^{r_{2} (\varphi )}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr\label{3.1.10}\tag{9}.$$
3. Nếu $D$  là hình tròn tâm trùng cực, bán kính $R$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực:   $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{R}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr\label{3.1.11}\tag{10}.$$
4. Nếu $D$ được giới hạn bởi $\left\{\begin{array}{l} {r_{1} \le r\le r_{2} } \\ {\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} } \end{array}\right. $ và  $f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )=f_{1} (\varphi ).f_{2} (r)$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực như sau: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }f_{1} (\varphi )d\varphi \int _{r_{1} }^{r_{2} }f_{2} (r)rdr\label{3.1.12}\tag{11}.$$

Ví dụ 6. 

Tính tích phân $\iint\limits_{D}(x^{2} +y^{2} )dxdy $ với $D$ là hình tròn $(O,2)$.

Hướng dẫn. 

Chuyển sang tọa độ cực, ta có $$\iint\limits_{D}(x^{2} +y^{2} )dxdy =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{2}r^{2} rdr =8\pi.$$