Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 1/3x 3 mx 2 5mx 1 không có cực trị

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \( {y}’=-{{x}^{2}}+2mx-2m \)

Hàm số \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2mx+1 \) có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow {y}’=0 \) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow {\Delta }’={{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>2 \\ & m<0 \\ \end{align} \right. \)

Các bài toán liên quan

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=mx^3−3mx^2+3m−3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB^2−(OA^2+OB^2)=20 (trong đó O là gốc tọa độ)

Cho hàm số y=2x^3−3(m+1)x^2+6mx+m^3. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB=√2

Cho hàm số y=1/3mx^3−(m−1)x^2+3(m−2)x+2. Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1+2×2=1 khi m = a và m = b. Hãy tính tổng a + b

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3−3mx^2+2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A, B và M(1;−2) thẳng hàng

Cho hàm số y=−x^3+3x^2+3(m^2−1)x−3m^2−1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=x^3+x^2+mx−1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp (−5;6)∩S

Biết a/b (trong đó a/b là phân số tối giản và a,b∈N∗) là giá trị của tham số m để hàm số y=2/3x^3−mx^2−2(3m^2−1)x+2/3 có 2 điểm cực trị x1,x2 sao cho x1.x2+2(x1+x2)=1. Tính giá trị biểu thức S=a^2+b^2

Phương pháp tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn

• Bước 1: Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì f’ (x0) = 0, tìm được tham số.
• Bước 2: Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào hàm số ban đầu để thử lại.

Dạng 1: Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Phương pháp

Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau:

–Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔

–Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔

Bài tập mẫu

Bài tập 1: Tìm m để hàm số

đạt cực đại tại điểm x = 3.

A. m = -1.

B. m = -5.

C. m = 5.

D. m = 1.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có y’ = x2 – 2mx + m2 – 4 ⇒ y’’ = 2x – 2m

Hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì

y’ (3) = 0 ⇔ m2 – 6m + 5 = 0 ⇔

Với m = 1, y’’ (3) = 2.3 – 2.1 = 4 > 0 suy ra x = 3 là điểm cực tiểu.

Với m = 5, y’’ (3) = 2.3 – 2.5 = -4 < 0 suy ra x = 3 là điểm cực đại.

Bài tập 2: Hàm số y = ax3 + x2 – 5x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của H = 4a – b là

A. H = 1.

B. H = -1.

C. H = -2.

D. H = 3.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: y’ = 3ax2 + 2x – 5 ⇒ y’’ = 6ax + 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y’ (1) = 0 ⇔ a = 1.

Thay a = 1 ta thấy y’’ (1) = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu.

Mặt khác ta có: y (1) = 2 ⇔ 1 + 1 – 5 + b = 2 ⇔ b = 5

Vậy H = 4. 1 – 5 = -1.

Bài tập 3: Hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f (0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f (1) = 1. Giá trị của biểu thức T = a + 2b – 3c + d là

A. T = 2

B. T = 3

C. T = 4

D. T = 0

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có f’ (x) = 3ax2 + 2bx + c.

Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f (0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f (1) = 1 nên ta có hệ phương trình

Bài tập 4: Giá trị của m để hàm số y = x3 + mx – 1 có cực đại và cực tiểu là

A. m ≥ 0

B. m ≤ 0

C. m > 0

D. m < 0

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Hàm số y = x3 + mx – 1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3x2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Do đó m < 0.

Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên có các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài tập 5: Với giá trị nào của m thì hàm số H10 có cực trị?

A.

B. m < 1

C.

D. m ≤ 1

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: y’ = mx2 + 2x + 1.

Với m = 0, hàm số trở thành y = x2 + x + 7, đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.

Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu.

Xét m # 0, để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0

⇔ 1 – m > 0 ⇔ m < 1.

Hợp cả hai trường hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị.

Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba (bậc cao nhất) có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0.

Bài tập 6: Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx3 – 3mx2 – (m – 1) x + 2 không có cực trị.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: y’ = 3mx2 – 6mx – m + 1.

Với m = 0, hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên ℝ nên không có cực trị, nhận m = 0.

Xét m ≠ 0, hàm số không có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

⇔ ∆’ = 9m2 – 3m (1 – m) ≤ 0 ⇔ 12m2 – 3m ≤ 0 ⇔ .

Hợp cả hai trường hợp, khi thì hàm số không có cực trị.

Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m ∊ [-20; 20] để hàm số

có hai điểm cực trị trái dấu là

A. 18

B. 17

C. 19

D. 16

Hướng dẫn giải

Chọn A.

y’ = (m – 1) x2 + 2(m2 – 4) x + (m2 – 9).

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu

⇔ (m – 1)(m2 – 9) < 0 ⇔

Vậy m ∊ {-20; -19; …; -4; 2}, có 18 giá trị của m.

Bài tập 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx3 + m (m – 1) x2 – (m + 1) x -1 có hai điểm cực trị đối nhau?

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: y’= 3mx2 + 2m (m – 1) x – (m + 1).

Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm đối nhau

⇔

Bài tập 9: Giá trị của m để đồ thị hàm số

có hai điểm cực trị có hoành độ dương là

A .

B.

C. m < 0

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: y’ = mx2 + 2 (m – 1) x + m + 2.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt dương

⇔

Bài tập 10: Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m) x2 + (2 – m) x +m + 2. Các giá trị của m để đồ thì của hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: y’ = 3x2 + 2 (1 – 2m) x + 2 – m.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆’ = (1 – 2m)2 – 3 (2 – m) > 0 ⇔ 4m2 – m – 5 > 0 ⇔

Khi đó, giả sử x1, x2 (với x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình y’ = 0.

Bảng biến thiên

Khi đó, yêu càu bài toán trở thành:

x2 < 1 ⇔

⇔

Kết hợp điều kiện có cực trị thì m < -1 và

Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau:

Xét x1 < x2 < 1

⇔

⇔

⇔

Bài tập 11: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x2 + mx – 1 nằm bên phải trục tung.

A. m < 0

B.

C.

D. Không tồn tại

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: y’ = 3x2 + 2x + m.

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆’ = 1 – 3m > 0 ⇔ (1).

Khi đó, giả sử x1, x2 (với x1 < x2) là nghiệm của phương trình y’ = 0 thì

Bảng biến thiên

Do

⇔ x1 x2 < 0 ⇔

Từ (1), (2) ta có m < 0.

Bài tập 12: Giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn yêu cầu x1 < -2 < x2 là

A. m < 2

B. m < 2 hoặc m > 6

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: y’ = x2 – 2 (m – 2) x + (4m – 8).

Yêu cầu bài toán trở thành

(x1 + 2) (x2+2) < 0 ⇔ (4m – 8) + 4 (m – 2) + 4 < 0 ⇔ .

Bài tập 13: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (x – m) (x2 – 2x – m – 1) có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn

. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 2

B. -2

C. 4

D. 0

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: y’ = 3x2 – 2 (m + 2) x + m – 1.

Hàm số có hai điểm cực trị khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆’ = m2 + m + 7 > 0 (luôn đúng).

Theo định lí Vi-ét ta có:

Vậy tổng cần tìm bằng 4 + (-2) = 2.