Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. 1. Cho A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và số 0 ở chính giữa. 2. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn là {2, 3, 4, 5}. Hỏi có bao nhiêu số như thế biết rằng năm chữ số 1 được xếp kề nhau. 3. Hỏi từ 10 chữ số {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1. 4. Cho 10 chữ số {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó có mặt đủ 3 chữ số 2,3 và 4. 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số {1,2,3,4,5,6} trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán lập số chứa hoặc không chứa chữ số nào đó, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất. 1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
2. BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 1: Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7.$ Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và:
Lời giải:
Bài 2: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm $5$ chữ số khác nhau và nhất thiết phải có $2$ chữ số $1$, $5.$ Lời giải: Gọi $n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} $ là số cần lập. Bước 1: Xếp $1$, $5$ vào $2$ trong $5$ vị trí trong $n:$ có $A_5^2 = 20$ cách. Bước 2: có $A_5^3 = 60$ cách xếp $3$ trong $5$ số còn lại vào $3$ vị trí còn lại của $n.$ Vậy có $20.60 = 1200$ số. Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số, trong đó chữ số $0$ có mặt đúng $2$ lần, chữ số $1$ có mặt đúng $1$ lần và hai chữ số còn lại phân biệt? Lời giải: Gọi số cần tìm là: $\overline {abcde} $ và mỗi chữ số tương ứng với $1$ ô trống: ▯▯▯▯▯. Chọn $2$ ô xếp cho $2$ số $0$ có: $C_4^2$ cách chọn (trừ ô đầu tiên). Chọn $1$ ô để xếp chữ số $1$ có $3$ cách chọn. Chọn $2$ ô còn lại chọn từ các chữ số $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ có $A_8^2$ cách chọn. Vậy có: $C_4^2.3.A_8^2 = 1008$ số. Bài 4: 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số $0$ nhưng không có mặt chữ số $1.$ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, biết rằng chữ số $2$ có mặt đúng $2$ lần, chữ số $3$ có mặt đúng $3$ lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Lời giải: 1. Số được xét có dạng: $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} .$ Xếp chữ số $0$ vào các vị trí từ ${a_2}$ đến ${a_6}:$ có $5$ cách xếp. Còn lại $5$ vị trí, ta chọn $5$ trong $8$ chữ số để xếp vào $5$ vị trí này: có $A_8^5$ cách. Vậy tất cả có: $5.A_8^5 = 33600$ cách. 2. Số được xét có dạng: $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} .$ Chọn $2$ vị trí để xếp hai chữ số $2:$ có $C_7^2$ cách. Chọn $3$ vị trí để xếp ba chữ số $3:$ có $C_5^3$ cách. Còn $2$ vị trí, chọn $2$ chữ số tuỳ ý để xếp vào $2$ vị trí này: có $2!C_8^2$ cách. Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số $0$ thì có: $C_7^2.C_5^3.2!C_8^2 = 11760$ số. Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bởi chữ số $0.$ Đối với các số $\overline {0{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} :$ Chọn $2$ vị trí để xếp chữ số $2:$ có $C_6^2$ cách. Chọn $3$ vị trí để xếp ba chữ số $3:$ có $C_4^3$ cách. Chọn $1$ số để xếp vào vị trí còn lại: có $7$ cách. Như vậy loại này có: $C_6^2.C_4^3.7 = 420$ số. Vậy tất cả có: $11760 – 420 = 11340$ số. Bài 5: Với các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi: 1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số $2.$ 2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số $1$ và $6.$ Lời giải:
Bài 6: Có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số từ các chữ số: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ trong đó các chữ số $1$ và $6$ đều có mặt $2$ lần, các chữ số khác có mặt $1$ lần. Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: $n = $ ▯▯▯▯▯▯▯▯. Có $8$ ô trống, cần chọn ra $1$ ô điền chữ số $2$, $1$ ô điền chữ số $3$, $1$ ô điền chữ số $4$, $1$ ô điền chữ số $5.$ Sau đó trong $4$ ô còn lại, cần chọn $2$ ô điền chữ số $1$, cuối cùng còn lại $2$ ô điền chữ số $6.$ Chọn $1$ ô điền chữ số $2$ có $8$ cách chọn. Chọn $1$ ô điền chữ số $3$ có $7$ cách chọn. Chọn $1$ ô điền chữ số $4$ có $6$ cách chọn. Chọn $1$ ô điền chữ số $5$ có $5$ cách chọn. Chọn $2$ ô điền chữ số $1$ có $C_4^2$ cách chọn. Chọn $2$ ô điền chữ số $6$ có $1$ cách chọn. Vậy có tất cả có: $8.7.6.5 \cdot C_4^2.1 = 10080$ số thoả yêu cầu đề bài. Bài 7: Với các số: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số $0.$ Lời giải: Số các số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau được lập từ $6$ chữ số: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ là: $5.A_5^3 = 300.$ Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số $0$ là: $A_5^3 = 120.$ Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: $300 – 120 = 180$ số. Bài 8: Cho $8$ chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7.$ Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm $6$ chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số $4.$ Lời giải: Cách 1: Giả sử số cần tìm có dạng: $A = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} .$ + Nếu ${a_1} = 4$ thì các chữ số còn lại của $A$ là một trong $7$ chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $7.$ Vậy có $A_7^5 = 2520$ số. + Nếu ${a_1} \ne 4$ thì vì ${a_1} \ne 0$ nên chỉ có $6$ cách chọn ${a_1}.$ Vì số $4$ phải có đúng một trong $5$ vị trí còn lại là ${a_2}$, ${a_3}$, ${a_4}$, ${a_5}$, ${a_6}.$ Khi đó các vị trí khác (không có chữ số $4$) sẽ chỉ còn $A_6^4$ số khác nhau. Vậy trường hợp này có $6.5.A_6^4 = 10800$ số. Vậy tất cả có: $2520 + 10800 = 13320$ số. Cách 2: + Gọi $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $ là một số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau. Có $7$ cách chọn ${a_1}.$ Các chữ số còn lại có $A_7^5$ cách chọn. Vậy có $7.A_7^5 = 17640$ số. Gọi $\overline {abcdef} $ là số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau và không có mặt chữ số $4.$ Có $6$ cách chọn $a.$ Các chữ số còn lại có $A_6^5$ cách chọn. Suy ra có: $6.A_6^5 = 4320$ số không có mặt chữ số $4.$ Vậy có: $17640 – 4320 = 13320$ số gồm $6$ chữ số khác nhau và nhất thiết có mặt chữ số $4.$ Bài 9: Với các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có $5$ chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số $5.$ Lời giải: Gọi $n = \overline {abcde} $ là số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và có mặt chữ số $5.$ Xét các trường hợp sau: + Nếu $a=5$, khi đó $b$, $c$, $d$, $e$ chọn tùy ý trong các số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $6.$ Số cách chọn $b$, $c$, $d$, $e$ là: $A_6^4.$ + Nếu $a \ne 5$ khi đó có $5$ cách chọn $a$ từ các số $1$, $2$, $3$, $4$, $6.$ Sau đó xếp chữ số $5$ có $4$ cách chọn vị trí trong các chữ số của $n.$ $3$ chữ số còn lại trong $n$ có: $4$ cách chọn. Suy ra có: $5.4.A_5^3 = 1200$ số. Vậy có tất cả $A_6^4 + 1200 = 1560$ số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và trong đó có mặt chữ số $5.$ Bài 10: 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số $0$ nhưng không có mặt chữ số $1.$ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, biết rằng chữ số $2$ có mặt đúng $2$ lần, chữ số $3$ có mặt đúng $3$ lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Lời giải: 1. Số được xét có dạng: $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} .$ Xếp chữ số $0$ vào các vị trí từ ${a_2}$ đến ${a_6}:$ có $5$ cách xếp. Còn lại $5$ vị trí, ta chọn $5$ trong $8$ chữ số để xếp vào $5$ vị trí này: có $A_8^5$ cách. Vậy tất cả có: $5.A_8^5 = 33600$ cách. 2. Số được xét có dạng: $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} .$ Chọn $2$ vị trí để xếp hai chữ số $2:$ có $C_7^2$ cách. Chọn $3$ vị trí để xếp ba chữ số $3:$ có $C_5^3$ cách. Còn $2$ vị trí, chọn $2$ chữ số tuỳ ý để xếp vào $2$ vị trí này: có $2!C_8^2$ cách. Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số $0$ thì có: $C_7^2.C_5^3.2!C_8^2 = 11760$ số. Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bởi chữ số $0.$ Đối với các số $\overline {0{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} :$ Chọn $2$ vị trí để xếp chữ số $2:$ có $C_6^2$ cách. Chọn $3$ vị trí để xếp ba chữ số $3:$ có $C_4^3$ cách. Chọn $1$ số để xếp vào vị trí còn lại: có $7$ cách. Như vậy loại này có: $C_6^2.C_4^3.7 = 420$ số. Vậy tất cả có: $11760 – 420 = 11340$ số. Bài 11: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng $3$ lần? Lời giải: Số các số tự nhiên có $4$ chữ số là: $9.10.10.10 = 9000$ số. Ta tìm số các số tự nhiên có $1$ chữ số lặp lại đúng $3$ lần: + Số $0$ lặp lại đúng $3$ lần ứng với số tự nhiên $\overline {a000} $ với $a \in \{ 1,2,3, \ldots ,9\} $ $ \Rightarrow $ có $9$ số. + Số $1$ lặp lại đúng $3$ lần ứng với các số: $\overline {a111} $ với $a \in \{ 2,3,4, \ldots ,9\} $ $ \Rightarrow $ có $8$ số. $\overline {1b11} $ với $b \in \{ 0,2,3, \ldots ,9\} $ $ \Rightarrow $ có $9$ số. $\overline {11c1} $ với $c \in \{ 0,2,3, \ldots ,9\} $ $ \Rightarrow $ có $9$ số. $\overline {111d} $ với $d \in \{ 0,2,3, \ldots ,9\} $ $ \Rightarrow $ có $9$ số. Suy ra có $8+ 9 + 9 + 9 = 35$ số. + Tương tự với mỗi số từ $2$ đến $9$ ta cũng tìm được $35$ số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng $3$ lần. Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng $3$ lần là: $9 + 9.35 = 324$ số. Vậy số các số tự nhiên gồm $4$ chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng $3$ lần là: $9000 – 324 = 8076$ số. Bài 12: Hỏi từ $10$ chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $6$ chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số $0$ và $1.$ Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng các ô trống sau: ▯▯▯▯▯▯. Xét các trường hợp sau: + Nếu ô trống thứ nhất bằng $1$, khi đó: Có $5$ cách xếp chữ số $0$ vào $1$ trong $5$ ô trống còn lại. Có $A_8^4 = 1680$ cách chọn $4$ chữ số khác $0$ và $1$ để xếp vào $4$ ô trống còn lại. Suy ra trường hợp này có $5.1680 = 8400$ số. + Nếu ô trống thứ nhất khác $1$, khi đó: Có $8$ cách chọn $1$ chữ số xếp vào ô trống thứ nhất. Có $A_5^2 = 20$ cách chọn $2$ ô để xếp $2$ chữ số $0$ và $1.$ Có $A_7^3 = 210$ cách chọn $3$ chữ số xếp vào $3$ ô trống còn lại. Suy ra loại này có: $8.20.210 = 33600$ số. Vậy tất cả có: $8400 + 33600 = 42000$ số. Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số thỏa mãn điều kiện sau:
Lời giải:
Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số sao cho:
Lời giải:
Bài 15: Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ có thể lập được bao nhiêu số có $6$ chữ số khác nhau sao cho trong đó phải có mặt chữ số $0$ và chữ số $1$? Lời giải: Gọi số tự nhiên có các chữ số tương ứng với các ô trống, dạng: ▯▯▯▯▯▯. Có $5$ cách xếp chữ số $0$ (trừ ô đầu tiên). Có $5$ cách xếp chữ số $1.$ Có $A_8^4 = 1680$ cách chọn $4$ chữ số (khác $0$ và $1$) để xếp vào $4$ ô trống còn lại. Vậy có $5.5.1680 = 42000$ số tự nhiên thỏa mãn. Bài 16: Từ các số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8.$ Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho:
Lời giải:
Bài 17: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, chỉ tạo bởi các chữ số $1$, $2$, $3$ với điều kiện chữ số $2$ xuất hiện đúng $2$ lần trong số tự nhiên đó. Lời giải: Gọi số tự nhiên gồm $7$ chữ số và mỗi chữ số tương ứng với một ô trống: $n = $ ▯▯▯▯▯▯▯. Đầu tiên ta chọn $2$ ô trống để xếp $2$ chữ số $2$ thì có $C_7^2 = 21$ cách chọn. Còn $5$ ô trống còn lại, mỗi ô trống có $2$ cách xếp $1$ hoặc $3$, suy ra có ${2^5} = 32$ cách xếp. Vậy có $21.32 = 672$ số tự nhiên thỏa mãn. Bài 18: Với tập $E = \{ 1,2,3,4,5,6,7\} $ có thể lập được bao nhiêu số gồm $5$ chữ số phân biệt và:
Lời giải:
Bài 19: Với $5$ chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau:
Lời giải: Đặt $E = \{ 1,2,3,4,5\} .$
Bài 20: Tính số các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số $1$ hoặc $2.$ Lời giải: + Loại 1: chữ số ${a_1}$ có thể là $0.$ Sắp $4$ trong $6$ chữ số vào $4$ vị trí có $A_6^4 = 360$ cách. Sắp $4$ chữ số $0$, $3$, $4$, $5$ vào $4$ vị trí có $4! = 24$ cách. Suy ra có $360 – 24 = 336$ số. + Loại 2: chữ số ${a_1}$ là $0$ (vị trí ${a_1}$ đã có chữ số $0$). Sắp $3$ trong $5$ chữ số vào $3$ vị trí có $A_5^3 = 60$ cách. Sắp $3$ chữ số $3$, $4$, $5$ vào $3$ vị trí có $3! = 6$ cách. Suy ra có $60 – 6 = 54$ số. Vậy có $336 – 54 = 282$ số. Cách khác: + Loại 1: Số tự nhiên có $4$ chữ số tùy ý. Bước 1: Chọn $1$ trong $5$ chữ số khác $0$ sắp vào ${a_1}$ có $5$ cách. Bước 2: Chọn $3$ trong $5$ chữ số khác ${a_1}$ sắp vào $3$ vị trí còn lại có $A_5^3 = 60$ cách. Suy ra có $5.60 = 300$ số. + Loại 2: Số tự nhiên có $4$ chữ số gồm $0$, $3$, $4$, $5$ (không có $1$ và $2$). Bước 1: Chọn $1$ trong $3$ chữ số khác $0$ sắp vào ${a_1}$ có $3$ cách. Bước 2: Sắp $3$ chữ số còn lại vào $3$ vị trí $3! = 6$ cách. Suy ra có $3.6 = 18$ số. Vậy có $300 – 18 = 282$ số. Bài 21: Tính số các số tự nhiên gồm $7$ chữ số được chọn từ $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ sao cho chữ số $2$ có mặt đúng $2$ lần, chữ số $3$ có mặt đúng $3$ lần và các chữ số còn lại có mặt không quá $1$ lần. Lời giải: Xem số có $7$ chữ số như $7$ vị trí thẳng hàng. + Bước 1: chọn $2$ trong $7$ vị trí để sắp $2$ chữ số $2$ (không hoán vị) có $C_7^2 = 21$ cách. + Bước 2: chọn $3$ trong $5$ vị trí còn lại để sắp $3$ chữ số $3$ (không khoán vị) có $C_5^3 = 10$ cách. + Bước 3: chọn $2$ trong $3$ chữ số $1$, $4$, $5$ để sắp vào $2$ vị trí còn lại (có hoán vị) có $A_3^2 = 6$ cách. Vậy có $21.10.6 = 1260$ số. Bài 22: Tính số các số tự nhiên gồm $5$ chữ số phân biệt và một trong $3$ chữ số đầu tiên là $1$ được thành lập từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7.$ Lời giải: + Loại 1: chữ số ${a_1}$ có thể là $0.$ Bước 1: chọn $1$ trong $3$ vị trí đầu để sắp chữ số $1$ có $3$ cách. Bước 2: chọn $4$ trong $7$ chữ số (trừ chữ số $1$) để sắp vào các vị trí còn lại có $A_7^4 = 840$ cách. Suy ra có $3.840 = 2520$ số. + Loại 2: chữ số ${a_1}$ là $0.$ Bước 1: chọn $1$ trong $2$ vị trí thứ $2$ và $3$ để sắp chữ số $1$ có $2$ cách. Bước 2: chọn $3$ trong $6$ chữ số (trừ $0$ và $1$) để sắp vào các vị trí còn lại có A_{6}^{3}=120 cách. Suy ra có $2.120 = 240$ số. Vậy có $2520 – 240 = 2280$ số. Bài 23: Tính số tập hợp con của $X = \{ 0;1;2;3;4;5;6\} $ chứa $1$ mà không chứa $0.$ Lời giải: + Số tập hợp con không chứa phần tử nào của $X\backslash \{ 0;1\} $ là $C_5^0.$ + Số tập hợp con chứa $1$ phần tử của $X\backslash \{ 0;1\} $ là $C_5^1.$ + Số tập hợp con chứa $2$ phần tử của $X\backslash \{ 0;1\} $ là $C_5^2.$ + Số tập hợp con chứa $3$ phần tử của $X\backslash \{ 0;1\} $ là $C_5^3.$ + Số tập hợp con chứa $4$ phần tử của $X\backslash \{ 0;1\} $ là $C_5^4.$ + Số tập hợp con chứa $5$ phần tử của $X\backslash \{ 0;1\} $ là $C_5^5.$ Suy ra số tập hợp con của $X\backslash \{ 0;1\} $ là $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 32.$ Ta hợp các tập hợp con này với $\{ 1\} $ thì được $32$ tập hợp thỏa bài toán. Bài 24: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số sao cho:
Lời giải:
Bài 25: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ lập được bao nhiêu số có $4$ chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số $5.$ Lời giải: Cách 1: Thành lập số có $3$ chữ số khác nhau và không có mặt chữ số $5.$ Suy ra có $A_6^3 = 120$ số. Với mỗi số vừa thành lập có $4$ vị trí để xen số $5$ tạo thành số có $4$ chữ số khác nhau và có mặt chữ số $5.$ Suy ra có $120.4 = 480$ số. Cách 2: Số cần tìm có $1$ trong bốn dạng $\overline {5bcd} $, $\overline {a5bc} $, $\overline {ab5d} $, $\overline {abc5} .$ Mỗi dạng có $120$, suy ra có $480$ số. Bài 26: Với $5$ chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số, trong đó chữ số $1$ có mặt đúng $3$ lần, chữ số $2$ có mặt đúng $2$ lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần? Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng các ô trống: ▯▯▯▯▯▯▯▯. Có $C_8^3$ cách chọn $3$ ô trống để xếp $3$ chữ số $1.$ Có $C_5^2$ cách chọn $2$ ô trống để xếp $2$ chữ số $2.$ Có $3!$ cách xếp các chữ số $3$, $4$, $5$ vào $3$ ô trống còn lại. Vậy có $C_8^3.C_5^2.3! = 3360$ số. Bài 27: Với các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số, trong đó chữ số $1$ có mặt $3$ lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng $1$ lần. Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng các ô trống: ▯▯▯▯▯▯▯▯. Có $7$ cách xếp chữ số $0$, trừ ô đầu tiên. Có $C_7^3$ cách chọn $3$ ô trống để xếp $3$ chữ số $1.$ Có $4!$ cách xếp các chữ số $2$, $3$, $4$, $5$ vào $4$ ô trống còn lại. Vậy có $7.C_7^3.4! = 5880$ số. Bài 28: Với $6$ chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số có $5$ chữ số khác nhau và thoả mãn: a/ Số chẵn. b/ Bắt đầu bằng số $24.$ c/ Bắt đầu bằng số $345.$ d/ Bắt đầu bằng số $1$? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số $1$? Lời giải:
Bài 29: Cho tập $A = \{ 1;2;3;4;5;6\} $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
Lời giải:
Bài 30: Từ các chữ số $0$; $1$; $2$; $3$; $4$; $5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau sao cho:
Lời giải:
Bài 31: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng $3$ lần. Lời giải: Bước 1: Tính các số tự nhiên có $4$ chữ số (các chữ số có thể giống nhau và không cần chú ý đến điều kiện lặp lại $3$ lần). Gọi số tự nhiên đó là: $n = \overline {abcd} $, khi đó: Có $9$ cách chọn $a.$ Có $10$ cách chọn $b.$ Có $10$ cách chọn $c.$ Có $10$ cách chọn $d.$ Vậy có $9.10.10.10 = 9000$ số. Bước 2: Tính các số tự nhiên có $4$ chữ số và có chữ số lặp lại đúng $3$ lần. + Trường hợp 1: $a = b = c \ne d.$ Có $9$ cách chọn $a$, trừ số $0.$ Có $1$ cách chọn $b$, $c.$ Có $9$ cách chọn $d.$ Vậy ta có: $9.1.9 = 81$ số. + Trường hợp 2: $a = b = d \ne c.$ Có $9$ cách chọn $a$, trừ số $0.$ Có $1$ cách chọn $b$, $d.$ Có $9$ cách chọn $c.$ Vậy ta có: $9.1.9 = 81$ số. + Trường hợp 3: $a = c = d \ne b.$ Có $9$ cách chọn $a$, trừ số $0.$ Có $1$ cách chọn $c$, $d.$ Có $9$ cách chọn $b.$ Vậy ta có: $9.1.9 = 81$ số. + Trường hợp 4: $b = c = d \ne a.$ Có $9$ cách chọn $a$, trừ số $0.$ Có $9$ cách chọn $b.$ Có $1$ cách chọn $c$, $d.$ Vậy ta có: $9.1.9 = 81$ số. Suy ra có tất cả $81 + 81 + 81 + 81 = 324$ số tự nhiên có $4$ chữ số và có chữ số lặp lại đúng $3$ lần. Vậy có: $9000 – 324 = 8676$ số tự nhiên có $4$ chữ số mà không có chữ số nào lặp lại đúng $3$ lần. Bài 32: Từ tập hợp số $\{ 1;2;3;4;5\} .$ Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên:
Lời giải:
Bài 33: Từ các số $0$, $2$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9.$ Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
Lời giải:
Bài 34: Từ các số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên:
Lời giải:
Bài 35: Từ các số: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên:
Lời giải:
Bài 36: Có bao nhiêu số chẵn có $6$ chữ số đôi một khác nhau với số đầu tiên là chữ số lẻ? Lời giải: Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $n = \overline {abcdef} .$ Có $5$ cách chọn $a.$ Có $5$ cách chọn $f.$ Có $A_8^4 = 1680$ cách chọn các chữ số xếp cho $b$, $c$, $d$, $e.$ Vậy theo quy tắc nhân có: $5.5.1680 = 42000$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán. |