VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát của dãy số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11. Show  Nội dung bài viết Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát của dãy số: Phương pháp: Tìm vài số hạng đầu (41, 42, 43, 4). Từ các giá trị 11, 12, 13, 14 dự đoán công thức tính n. Chứng minh, Vn > 1 bằng phương pháp quy nạp. Ví dụ 1. Cho dãy số (un) được xác định bởi tu = n + 3n +7. a) Viết năm số hạng đầu của dãy. b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. Ta có năm số hạng đầu của dãy. b) Ta có: n = 1 + 2 +.. do đó n nguyên khi và chỉ khi , nguyên hay n + 1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n + 1= 5n = 4. Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là U =7. Ví dụ 2. Cho dãy số (n) xác định bởi: U1 = 1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh rằng can = 2n + 1 – 3. a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1 = 1; 112 = 2u1 + 3 = 5; 3 = 2u2 + 3 = 13; 114 = 2u3 + 3 = 29; U5 = 244 + 3 = 61. b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp. Theo công thức truy hồi ta có: 2k + 2 – 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát an = 1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Tìm số hạng thứ 100 và 200. c) Số là số hạng thứ mấy? d) Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên? Lời giải. a) Năm số hạng đầu của dãy là: d2 = – 13 . b) Số hạng thứ 100: 24100 = 100 + 234, số hạng thứ 200: 24200 = 2009. c) Số hạng thứ 250 của dãy số (un) là n + 2.
Công thức cấp số cộng là dạng toán cơ bản trong kiến thức THPT xuất hiện nhiều trong các kỳ thi tốt nghiệp và đại học. Tuy nhiên, có rất nhiều các bạn học sinh không nắm chắc được tính chất cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng, công thức cấp số cộng,..Chính vì vậy, chúng tôi sẽ tổng hợp chi tiết lý thuyết về cấp số cộng và bài tập chi tiết trong bài viết dưới đây. Công thức cấp số cộng là gì?Trong toán học, cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0. Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n∈N∗,Un+1=Un+d Xem thêm: Công thức đạo hàm Giải thích:
Tính chất:
Sn=u1+u2+…+un=(u1+un).n2=[2u1+(n–1)d].n2 Công thức cấp số nhânCấp số nhân Công thức tổng quát: Un+1=Un.q Định nghĩa và công thức cấp số nhân Tìm hiểu thêm: Công thức diện tích hình thoi Trong đó
Tính chất
+ Số hạng tổng quát: Un=U1.qn−1 + Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=U1+U2+...+Un=U11−qn1−q + Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì Sn=U1+U2+...+Un=U11−q Lưu ý: Công thức tổng cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ học nên em cần phải nhớ kĩ và chính xác. Bài tập và ví dụ minh họaBài tập cấp số cộngCâu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng Hướng dẫn giải Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ? Hướng dẫn giải Dựa vào công thức cấp số cộng ta có: Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120. Hướng dẫn giải Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có: Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ? Hướng dẫn giải Ta có: Bài tập cấp số nhânCâu 1. Cho CSN (un) vớiu1=−2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? Hướng dẫn giải Từ công thức cấp số nhân: Câu 2. Cho cấp số nhân (un) với u1=−1; q=−110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của (un) ? Hướng dẫn giải un=u1.qn−1⇒110103=−1.(−110)n−1⇒n−1=103⇒n=104 Câu 3: Xét xem dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. Hướng dẫn giải Dựa vào công thức cấp số nhân ở trên ta thấy: Câu 4: Cho cấp số nhân: −15; a; −1125. Giá trị của a là: Hướng dẫn giải Dựa vào công thức cấp số nhân: a2=(−15).(−1125)=1625⇔a=±125 Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng, công thức cấp số nhân để vận dụng giải các bài tập nhé |
