Tuần 8 Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba: · Công thức đổi biến số trong tích phân bội ba: Xét tích phân bội ba Trong đó f(x,y,z) liên tục trong V. Ta thực hiện phép đổi biến số: Giả sử: 1. 2. Công thức 3. Định thức Jacobi: Khi đó ta có công thức: *Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ. Tọa độ trụ của 1 điểm M(x,y,z,) trong không gian oxyz là bộ ba số Do đó: Đây là công thức tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ Ví dụ tính Chuyển sang tọa độ trụ Tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu: Tọa độ cầu của một điểm M(x,y,z) trong không gian oxyz là bộ ba số (r,φθ). Trong đó r=OM, φ là góc giữa trục OX và OM’ (M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng xoy, θ là góc giữa trục OZ và OM). Với mọi điểm M(x,y,z) có: z từ âm sang dương; x,y âm dương phụ thuộc vào Nếu r>0; 0<θ<π ; Đây là c/t tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu. Ví dụ: Tính V là miền giới hạn bởi 2 mặt cầu Chuyển sang tọa độ cầu 3.34 TRỌNG TÂM CỦA VẬT THỂ Cho vật thể V trong không gian oxyz. Nếu khối lượng riêng của vật thể tại M(x,y,z) là ρ(x,y,z) thì khối lượng của vật thể được cho bởi công thức: Tọa độ của trọng tâm G của vật thể được cho bởi: Nếu vật thể đồng chất thì ρ không đổi và do đó: V là thể tích của vật thể V. Ví dụ 1: Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón: Ta có: Giao tuyến của mặt nón và mặt cầu: Vì lí do đối xứng chúng ta sẽ tính đươc Tương tự V xác định bởi CHƯƠNG IV- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT 4.1 Tích phân đường loại 1: 4.1.1 Đ/N: Cho hàm số xác định trên một cung phẳng bởi các điểm Nếu khi không phụ thuộc vào cách chia thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại một của hàm số f(x,y) dọc theo cung Nếu có đạo hàm liên tục trên trơn nếu hàm số x=x(t); y=y(t) có đạo hàm liên tục trên Đã CM rằng; nếu cung Trong tích phân đường loại một không để ý đến chiều có khối lượng riêng tại M(x,y) là Khi tích phân ấy tồn tại chiều dài cung Tích phân đường loại một có t/c giống tích phân xác định . Cung được gọi là trơn từng khúc nếu nó gồm một số hữu hạn các cung trơn. Nếu cung 4.1.2 Cách tính: Giả sử: * Cung * Hàm số f(x,y) liên tục trên cung Theo c/t số gia giới nội: do đó Nếu hàm số Tính L là đường tròn Phương trình đường tròn viết lại là: 4.1.3 Trường hợp đường lấy tích phân là một đường trong không gian. Tích phân đường loại một hàm số f(x,y,z) dọc theo cung trong không gian tương tự . Nếu 4.1.4 Trọng tâm của cung đường Nếu cung Trong đó 4.2 Tích phân đường loại 2: Công của lực biến đổi: Công= Lực x Quãng đường. Cho M di chuyển trên quãng đường L từ A đến B. Công ∆W của lực Nếu thành phần của lực Ở đây ∆x, ∆y là 2 thành phần của ĐN tích phân đường loại 2: Khi: n→∞; Đã CMR: Nếu cung Trong tích phân đường loại 2, chiều đường lấy tích phân quan trọng ( khác với tích phân đường loại 1). Nếu ta đổi chiều đường lấy tích phân thì hình chiếu của vec tơ Nếu đường lấy tích phân là đường kín L, quy ước chiều dương trên L sao cho một người đi dọc theo chiều ấy sẽ thấy các điểm lân cận của D gần mình nhất về bên trái. · T/C : Tích phân đường loại 2 có các tính chất như tích phân xác định. · 4.22 Cách tính: Cho Gọi Mi là điểm Nếu cung Ví dụ 1: Tính Từ p/t đường elip L lấy: x=acost; y=bsint với Chiều tăng của t ứng với chiều dương của L. Ta có: dx=-asintdt ; dy=bcostdt. 4.2.3 Công thức GREEN: Cho D là một miền liên thông bị chặn, biên L gồm một hay nhiều đường kín trơn từng khúc rời nhau từng đôi một. * Công thức Green:Nếu các hàm số Giả sử D là miền đơn liên và mọi đường thẳng song song với các trục Ox,Oy cắt L nhiều nhất tại 2 điểm. Miền D xác định bởi Theo c/t tính tích phân đường: ( xem dấu của đường cong L là: ANBMA) Giả sử L như hình vẽ IH và KJ // OY. Tương tự: Do đó ta CM được c/t Green. · Xét trường hợp miền D đa liên: Chia miền D thành 6 miền nhỏ mà biên đều thỏa mãn các g/t đã nêu. Áp dụng c/t Green cho cả 6 miền nhỏ rồi cộng lại ta có: Vì tổng các tích phân đường của Pdx+Qdy trên cùng 1cung 2 lần theo 2 chiều ngược nhau bằng 0. Ví dụ Tính L là đường tròn Áp dụng c/t Green: Do D là hình tròn bán kính là: R=1 Hệ quả của c/t Green: Nếu đường kín L là biên của miền D thì diện tích S của miền ấy được cho bởi c/t: Ví dụ diện tích hình elip giới hạn bởi đường 4.2.4 Đ/K để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Đ/L: Giả sử các hàm số P(x,y),Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền đơn liên D nào đó thì khi đó 4 mệnh đề sau đây tương đương với nhau : 1. 2. 3. 4. Biểu thức CM: a/ (do 1) nên (2) thỏa mãn b/ c/ - C là hằng số tùy ý. Tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nên tích phân là xác định. Điểm Dọc theo Theo đ/l về giá tri trung bình đối với tích phân xác định ta có: . Tương tự CM rằng: d/ 4 suy ra 1 : Giả sử Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y) nào đó. Khi đó: · Hệ quả 1: Nếu Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y) · Hệ quả 2:Nếu D là toàn R2 thì p/t : Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y) cho bởi c/t: CM: Vì tích phân của vế phải : Ví dụ 1: CM rằng : nên Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x,y) xác định trên R2. Nếu lấy |
