Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,266,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,216,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,190,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,354,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,289,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,7,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,9,Số học,56,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,132,Toán 11,173,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,271,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28, Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây
Sách giải toán 11 Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Bài 1 (trang 54 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)?Lời giải: Giải bài 1 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 1 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Theo quy tắc cộng ta có 5 + 4 = 9 cách chọn áo sơ mi. Bài 2 (trang 54 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn?Lời giải: Giải bài 2 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 2 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Chữ số hàng chục có thể chọn trong các chữ số 2,4,6,8 do đó có 4 cách chọn. Chữ số hàng đơn vị có thể chọn trong các chữ số 0,2,4,6,8 do đó có 5 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân ta có 4.5 = 20 số có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn. n→  Bài 3 (trang 54 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.a) Nhà trường cần chọn 1 học sinh ở khối 11 đi dự đại hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? b) Nhà trường cần chọn 2 học sinh trong đó có 1 nam, 1 nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? Lời giải: Giải bài 3 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 3 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao a) Theo quy tắc cộng, nhà trường có 280 + 325 = 605 cách chọn b) Theo quy tắc nhân, nhà trường có 280.325 = 91000 cách chọn n→ Bài 4 (trang 54 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên?a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)? b) Có 4 chữ số khác nhau? Lời giải: Giải bài 4 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 4 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao a) Số có 4 chữ số thỏa yêu cầu có dạng a có 4 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 4 cách chọn, d có 4 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân có 4.4.4.4 = 256 cách chọn. b) Số thoả yêu cầu có dạng
a có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn, d có 1 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân có 4.3.2.1 = 24 cách chọn. n→
Tài liệu một số bài toán về quy tắc đếm của thầy giáo Nguyễn Tiến Chinh gồm 22 trang với các bài toán điển hình, có lời giải chi tiết.
Bài tập quy tắc đếm lớp 11 có lời giải cần thiết với các em học sinh. Bài viết quy tắc đếm lớp 11 này gồm lý thuyết; bài tập minh họa. Dựa vào nội dung bài viết học sinh có thể hiểu nhanh, nhớ lâu. 1. Quy tắc nhân: Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua $n$ giai đoạn liên tiếp, trong đó: Giai đoạn 1 có $m_1$ cách thực hiện Giai đoạn 2 có $m_2$ cách thực hiện …. Giai đoạn $n$ có $m_n$ cách thực hiện Khi đó, có: ${m_1}.{m_2}...{m_n}$ cách để hoàn thành công việc đã cho. 2. Quy tắc cộng: Nếu một công việc nào nó có thể thực hiện theo $n$ phương án khác nhau, trong đó: Phương án thứ 1 có $m_1$ cách thực hiện Phương án thứ 2 có $m_2$ cách thực hiện …. ……….. Phương án thứ $n$ có $m_n$ cách thực hiện Khi đó, có: ${m_1} + {m_2} + ... + {m_n}$ cách để hoàn thành công việc đã cho.Nhận xét: Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng: + Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân. + Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng. Như vậy, với nhận xét này, ta thấy rõ được sự khác biệt của 2 quy tắc và không thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được. Sau đây là một số bài tập minh họa: II. BÀI TẬP QUY TẮT ĐẾM LỚP 11 CÓ LỜI GIẢICâu 1: Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Lập được bao nhiêu số tự nhiên trong mỗi trường hợp sau: 1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số. 2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau.1. Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\overline {abcd} $ Chọn chữ số $d$ có 3 cách chọn, Chọn chữ số $a$ có 5 cách chọn, Chọn chữ số $b$ có 5 cách chọn, Chọn chữ số $c$ có 5 cách chọn Theo quy tắc nhân có: $3.5.5.5 = 375$ (số). 2. Gọi số tự nhiên thỏa ycbt là $\overline {abcd} $ - Nếu $d = 0$: Chọn chữ số $d$ có 1 cách chọn Chọn chữ số $a$ có 5 cách chọn Chọn chữ số $b$ có 4 cách chọn Chọn chữ số $c$ có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có: $1.5.4.3 = 60$ (số) $(*)$ - Nếu $d $$ \ne $ 0, có 2 cách chọn chữ số d Chọn chữ số $a$ có 4 cách chọn Chọn chữ số $b$ có 4 cách chọn Chọn chữ số $c$ có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có: $2.4.4.3$ = 96 (số) $(**)$ Từ $(*)$ và $(**)$ theo Quy tắc cộng ta có $60 + 96 = 156$ (số)Câu 2: Bạn An có 5 bông hoa hồng khác nhau, 4 bông hoa cúc khác nhau, 3 bông hoa lan khác nhau, bạn cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa trong lọ phải có đủ cả loại. Bài toán xảy ra 3 trường hợp. +Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan. - Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách - Chọn 1 bông hồng thứ hai có 4 cách - Chọn 1 bông cúc có 4 cách - Chọn 1 bông lan có 3 cách Theo quy tắc nhân, ta có $5.4.4.3 = 240$ cách (1) +Trường hợp 2: Chọn 1bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan. - Chọn 1 bông hồng có 5 cách - Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách - Chọn 1 bông cúc thứ hai có 3 cách - Chọn 1 bông lan có 3 cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.3 = 180 cách (2) +Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan. - Chọn 1 bông hồng có 5 cách - Chọn 1 bông cúc có 4 cách - Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách - Chọn 1 bông lan thứ hai có 2 cách Theo quy tắc nhân, ta có $5.4.3.2 = 120$ cách (3) Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: $240 + 180 + 120 =540$ cách. Câu 3: Cho các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên . Hỏi: a. Có bao nhiêu số chẵn b. Có bao nhiêu số có mặt chữ số 1a. Gọi số đã cho có dạng : $a_1 a_2 a_3 a_4$ ( $a_4$ là chữ số chẵn) - Tìm số các số dạng trên kể cả $a_1 = 0$ : - $a_4$ có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có $A_7^3$=210 cách chọn nên số các số nầy là :630 số - Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 : - $a_4$ có 2 cách chọn , các vị trí còn lại có $A_6^2$=30 cách chọn nên số các số nầy là: 60 số Vậy số các số chẵn cần tìm là :630 –60 = 570 số b. Gọi số đã cho có dạng : $a_1 a_2 a_3 a_4$ - Tìm số các số dạng trên kể cả a1 = 0 : Chọn vị trí cho chữ số 1 : có 4 cách , các vị trí còn lại có $A_7^3$=210 cách chọn nên số các số nầy là :840 số - Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 : $a_1$ có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có $A_6^2$=30 cách chọn nên số các số nầy là :90 sốVậy số các số cần tìm là :840 – 90 = 750 số (quy tắc cộng) Câu 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu a. Ghế sắp thành hàng ngang b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7 vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có $A_7^4$ cách. Vậy có 6!.$A_7^4$ cách b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có $A_6^4$ cách. Vậy có 5!. $A_6^4$ cách sắp xếp.Câu 5: Trong một tổ học sinh của lớp có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn. Gọi $A$ là tập tất cả các cách chọn 3 học sinh trong 12 học sinh. Gọi $B$ là tập hợp tất cả các cách chọn 3 học sinh nữ. Gọi $C$ là tập hợp tất cả các cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán. Ta có $|C|=|A|-|B|$ (quy tắc cộng). Mặt khác dễ thấy $|A|= C_12^3 , |B|= C_4^3$, nên $|C|= C_12^3 -C_4^3=216$ Vậy có 216 cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 6: Với tập $E = ${$1,2,3,4,5,6,7$} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và : a) Là số chẵn. b) Trong đó có chữ số 7. c) Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.a) Sử dụng kiến thức về hoán vị : * $ a_5$ được chọn từ tập $F = ${$2,4,6$} $\Rightarrow$ Có 3 cách chọn.* $ a_1,a_2,a_3,a_4$ là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ $E$\{$a_5$} do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của 6 $\Rightarrow $ Có $A^4_6$ cách chọn.Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt , hình thành từ tập $E$ bằng : $ 3.A^4_6 = 1080$ số. b) Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7 $\Rightarrow $ có 5 cách chọn Bốn vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ $E$\{$7$} do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của 6 $ \Rightarrow $ Có $A^4_6$ cách chọn. Vây, số các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập $E$, trong đó có chữ số 7, bằng : $ \Rightarrow 5.A^4_6 = 1800$ số. c) Gán $a_2 = 1 \Rightarrow $ Có 1 cách chọn Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7 $\Rightarrow$ Có 4 cách chọn. Ba vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ $E$\{$7,1$} do đó nó là một chỉnh hợp chập 3 của 5 $\Rightarrow $ có $A^3_5$ cách chọn. Vậy, số các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập $E$, trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1, bằng : $ 1.4.A^3_5 = 240$ số.Câu 7: Cho các số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 a) Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số chia hết cho 5? b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. c) Có bao nhiếu số có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000.a) ố có $4$ chữ số khác nhau. Số cách chọn chữ số hàng nghìn: $7$ cách. Số cách chọn $3$ chữ số còn lại $A^{3}_{7}=210$. Vậy số các số có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là: $7.210=1470$ (số). * Số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau. Vì số cần tìm là chẵn nên chữ số tận cùng có thể là: $0; 2; 4; 6$. + Nếu chữ số tận cùng khác $0$ thì số các số cần tìm: $3.6.A^{2}_{6}=540$ (số). + Nếu chữ số tận cùng là $0$ thì số các số cần tìm là: $1.7.A^{2}_{6}=210$ (số). Vậy số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là: $540+210=750$ (số). Nhận xét: Ở đây việc tìm số các số lẻ thực hiện thuận lợi hơn so với việc tìm các số chẵn vì thế đối với bài toán này ta có thể tiến hành tìm các số lẻ từ đó suy ra các số chẵn. Số các số lẻ có $4$ chữ số khác nhau là: $4.6.A^{2}_{6}=720$. Vậy số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là: $1470-720=750$ (số). * Số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$. Vì số cần tìm chia hết cho $5$ nên chữ số tận cùng có thể là $0$ hoặc $5$. + Nếu chữ số tận cùng là $0$ thì số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là: $1.7.A^{2}_{6}=210$ (số). + Nếu chữ số tận cùng là $5$ thì số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là: $1.6.A^{2}_{6}=180$ (số). Vậy số các số cần tìm có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là: $210+180=390$ (số). b) Số cách chọn vị trí chữ số $5$ là $4$. Số cách chọn $3$ chữ số còn lại ( có cả chữ số $0$ đứng đầu ) là $A^{3}_{7}$ Hơn nữa ta lại có: $3.C^{2}_{8}.C^{2}_{5}.C^{1}_{3} + C^{1}_{8}.C^{2}_{5}.C^{1}_{3} + C^{1}_{8}.C^{1}_{5}.C^{2}_{3} = 780$ số có $4$ chữ số khác nhau nhất thiết có mặt chữ số $5$ và chữ số $0$ đứng đầu. Vậy số các số có $4$ chữ số khác nhau nhât thiết có mặt chữ số $5$ là: $4.A^{3}_{7} - 3.A^{2}_{6} = 840 - 90 =750$ (số). c) Vì số cần tìm nhỏ hơn $4000$ nên chữ số hàng nghìn có $3$ cách chọn. Số cách chọn $3$ chữ số còn lại là: $A^{3}_{7}=210$. Vậy số các số cần tìm có $4$ chữ số khác nhau nhỏ hơn $4000$ là:$ 3.210=630$ (số). |
