100 đề thi học sinh giỏi toán lớp 8

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAMKHOA TOÁNTUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎIMÔN: TOÁN LỚP 8Họ và tên: ....................................................................................................Lớp:.............................................................................................................Trường: ...........................................................................................................Người biên soạn:Hồ Khắc VũQuảng Nam, tháng 11 năm 2016UBND THàNH PHố Huếkỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHốlớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008PHòNG Giáo dục và đào tạoMôn : ToánThời gian làm bài: 120 phútĐề chính thứcBài 1: (2 điểm)Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:1. x2 7 x 62. x4 2008x2 2007 x 2008Bài 2: (2điểm)Giải ph-ơng trình:1. x2 3x 2 x 1 0121 21 122. 8 x 4 x 2 2 4 x 2 2 x x 4 xxxx2Bài 3: (2điểm)1. Căn bậc hai của 64 có thể viết d-ới dạng nh- sau: 64 6 4Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúngd-ới dạng nh- trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.2. Tìm số d- trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 chođa thức x2 10 x 21 .Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ-ờng cao AH (H BC). Trên tia HClấy điểm D sao cho HD = HA. Đ-ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BEtheo m AB .2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BECđồng dạng. Tính số đo của góc AHM3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:GBHD.BC AH HCHếtPHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNGĐỀ CHÍNH THỨCĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8NĂM HỌC 2008-2009Thời gian làm bài 150 phút(Không kể thời gian giao đề)Bài 1: (3 điểm) Làm thế nào để đem được 6 lít nước từ sông về nếu trong tay chỉ cóhai cái can, một can có dung tích 4 lít, một can có dung tích 9 lít và không can nàocó vạch chia dung tích ?Bài 2: (3 điểm) Một số gồm 4 chữ giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giốngnhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó.Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dưgiảm bớt 200. Tìm các số đó.Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.Bài 4: (3 điểm) Tính tổng S =11248241 x 1 x 1 x1 x1  x8Bài 5: (4 điểm) Nhân ngày 1- 6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Sốkẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảonguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và được lấy thêm1số kẹo còn lại. Sau khi bạn11thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm1số kẹo11còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và được lấythêm1số kẹo còn lại.11Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhậnbao nhiêu kẹo.Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 200. Trên AB lấy điểm Dsao cho AD = BC. Tính góc BDCPHÒNG GD &ĐT ĐẠI LỘCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (Năm học 2013-2014)Môn : TOÁN – Thời gian : 150 phútHọ và tên GV ra đề : Hồ Thị SongĐỀ ĐỀ NGHỊĐơn vị: Trường THCS Hoàng Văn ThụBài 1 : (5 đ)a) Không tính giá trị mỗi biểu thức ,hãy so sánh :2015 2  2014 2 2015  2014  và2015 2  2014 2 2015  2014 2b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 – 8)2 + 36c) Cho ba số hữu tỉ x, y,z đôi một khác nhau . Chứng minh :1x  y 21y  z21z  x 2là bình phương của một số hữu tỉ.Bài 2 : (5 đ)a2 b2 c2 a b c  b2 c2 a2 b c a2b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =6x  5  9x 2a) Chứng minh bất đẳng thức sau :c) Xác định dư của phép chia đa thức : x19 + x5 – x1995 cho đa thức x2 -1Bài 3 : (4 đ) Giải các phương trình sau :a) X4 + 6y2 -7 = 0b)11112011x  1 2012 x  2 2013x  4 2014 x  5Bài 4 : (4đ) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên BC. Qua E kẻ tia Axvuông góc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G.a) Chứng minh : AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi.b) Chứng minh : AEF ~  CAF và AF2 = FK.FC.c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giácEKC không đổi.Bài 5 : (2đ) Cho tam giác ABC có A  2 B . Tính độ dài AB biết AC = 9cm, BC =12cm.TRNG THCS KIM NGNgi ra : TRN INH TRAI NGH NGH HOC SINH GIINm hc 2013- 2014Mụn TON Lp 8Thi gian : 150 phỳt ( khụng k thi gian giao )Câu 1 : (2 điểm)ChoP=a 3 4a 2 a 4a 3 7a 2 14a 8a) Rút gọn Pb) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyênCâu 2: ( 1 điểm)Chứng minh rằng: (n5 5n3 + 4n) 120 với m, n Z.Câu 3 : (2 điểm)a) Giải ph-ơng trình :1111 2 2x 9 x 20 x 11x 30 x 13x 42 182Câu 4: ( 1 điểm)Trong hai số sau đây số nào lớn hơn:a = 1969 1971 ; b = 2 1970Câu 5: (4 im): Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H l trctõm.HA' HB' HC'AA' BB' CC'b) Gi AI l phõn giỏc ca tam giỏc ABC; IM, IN th t l phõn giỏc ca gúc AIC vgúc AIB. Chng minh rng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.a) Tớnh tng(AB BC CA) 2c) Tam giỏc ABC nh th no thỡ biu thct giỏ tr nh nht?AA' 2 BB' 2 CC' 2PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (NĂM HỌC 2013 – 2014)MÔN: TOÁN 8 (Thời gian 150 phút)ĐỀ ĐỀ NGHỊGV ra đề: Võ Công TiểnĐơn vị: Trường THCS Lê Lợi13   x21 Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức A    2 : 2x  3  3 x  3x   27  3x1) Rút gọn A2) Tìm x để A < –1Bài 2 : (2 điểm) Phân tích các đa thức sau ra thừa số:1) x 4  42)  x  2  x  3 x  4  x  5   24Bài 3: (4 điểm)x  2 x  3 x  4 x  2010 x  2009 x  20082010 2009 20082341 1 12) Cho ba số x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn    0 .x y z111 2 20Chứng minh: 2x  2 yz y  2 zx z  2 xy1) Giải phương trìnhBài 4: (4 điểm)a. Tìm giá trị lớn nhất của A =2x  6x3  27b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B =với x  -33x 2  8 x  6x 2  2x  1Bài 5: (7,0 điểm)Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, Flần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hìnhchiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CKc) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.HếtPHÒNG GD & ĐT ĐẠI LỘCĐỀ ĐỀ NGHỊ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013- 2014Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài: 120 phút)Người ra đề: TRẦN MƯỜIĐƠN VỊ : TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔNĐỀ ĐỀ NGHỊBài 1(4 điểm).a) Phân tích đa thức thành nhân tử : : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128b) Tìm số dư của phép chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1Câu 2 (4 điểm).3 - 4xx2 1125  x  1 2xb) Rút gọn biểu thức với x   1: 22  1  x x  1 1 x  x 1a) Tìm GTNN, GTLN của A =Bài 3(4 điểm).a) Cho abc = 2. Rút gọn biểu thức A =ab2cab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2b) Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phươngb1) n2 – n + 2b2) n5 – n + 2Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽđường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và Fa) Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BCb) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trungđiểm của FEBài 5(3 điểm). Cho ABC , O là một điểm nằm trong tam giác. Từ O kẻ OA’  BC, OB’ AC, OC’  AB (A’  BC; B’  AC; C’  AB).Chứng minh rằng:OA' OB' OC' 1 (Với AH, BK, CI là ba đường cao của tam giác hạAH BKCIlần lượt từ A, B, C)--------------------------- Hết ------------------------------PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (NĂM HỌC 2013 - 2014)Môn: Toán (Thời gian: 150 phút)ĐỀ ĐỀ NGHỊHọ và tên GV ra đề: Phạm Thanh BìnhĐơn vị: Trường THCS Lý Thường KiệtĐỀ BÀIBài 1(5đ).a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tửb) Tìm giá trị nguyên của x để A B biếtA = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .c) Cho x + y = 1 và x y  0 . Chứng minh rằng2 x  yxy 3 2 20y 1 x 1 x y  33Bài 2(5đ). Giải các phương trình sau:a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12b) Tìm số dư của đa thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2014 chia cho đa thức x2+10x+21.c) x  2  x  3  x  4  x  52007 20062005 2004Bài 3(3đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình:Một người đi xe gắn máy từ A đến B với dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăngvận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dựđịnh đi của người đó.Bài 4(7đ). Cho góc xOy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với Ox(C thuộcOx), ID vuông góc với Oy(D thuộc Oy) sao cho IC = ID = a. Đường thẳng qua I cắt Ox ởA cắt Oy ở B.a/ Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi.b/ Chứng minh rằngc/ Biết SAOB =CA OC 2DB OB 28a 2. Tính CA; DB theo a.3PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCSTRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNGNăm học 2013-2014MÔN : TOÁN (8) ( Thời gian : 150 phút )Họ và tên GV ra đề : NGUYỄN THỊ TRÂM OANH .Đơn vị : THCS LÝ TỰ TRỌNG.Câu 1: (2 điểm)a.Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = 1.Chứng minh rằng:(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) là bình phương của một số hữu tỉ.b.Tính:ĐỀ ĐỀ NGHỊA  (1 1111)(1 )(1 )...(1 )222x( x  1)( x  2)( x  9) 2Câu 2: (5 điểm)a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P( x) 2 x2  2 x  3x2  x  2b) Tìm dư trong phép chia đa thứcf(x) = x1994 + x1993 +1 cho g(x) = x2 – 1c) Chứng minh rằng: 16n – 15n – 1 225Câu 3: (5 điểm)a) Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:x2x 1x  m x 1b)Giải phương trình: | x | + | 2x + 1| - |x - 3| =14c)Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:abc3b c a a c b a b cCâu 4: (2điểm)Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân có các đườngchéo vuông góc với nhau và có độ dài đường cao bằng 10 cm.Câu 5: (6điểm)Cho hình vuông OCID cạnh a, AB là đường thẳng bất kì đi qua Icắt tia OC, OD lần lượt ở A và B.a. Chứng minh rằng tích CA.CB có giá trị không đổi (tính theo a)b.Chứng minh:CA OA2DB OB 2c.Xác định đường thẳng AB sao cho DB = 4CAd.Cho diện tích tam giác AOB bằng8a 2. Tính CA + DB theo a.3HếtPhòng GD & ĐT Đại LộcTrường THCS MỸ HOÀGV: Nguyễn HaiĐỀ THAM KHẢOKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8Năm học: 2013-2014Môn thi TOÁNThời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 ( 6 điểm ) :1)Cho biểu thức :22  x  2y x  2 yP  x  2 y  :x 3x x  2 y  3xa) Tìm điều kiện xác định của Pb) Rút gọn Pc) Tính giá trị của P khi x = 3y.2) a)Chứng minh : ( a + b – c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc.b) Cho xy = 2 .Chứng minh rằng: x2 + y2  4 ( x – y )Câu 2 ( 4điểm ) :Giải phương trình :x  2005 4 x  80382 x  4004 3x  6022a)9182420b)11111 2 2x  x x  3x  2 x  5x  6 x  3 20132Câu 3 ( 4 điểm ): Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm . M là điểm bấtkì nằm giữa hai điểm B và C. Từ M vẽ các đường vuông góc MH, MK lần lượt đến AB, ACa) Chứng minh tứ giác AHMK là hình chữ nhật.b) Tìm vị trí M nằm giữa hai diểm Bvà C để HK có giá trị nhỏ nhất, Tìm giá trị nhỏnhất đó?Câu 4 ( 4 điểm ) :Cho tam giác nhọn ABC. Trên cạnh BC, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao choBC = 3BM; AC = 3AN. Từ A vẽ tia Ax song song với BC sao cho Ax cắt MN tại P.BP cắtAC tại I.a) Chứng minh AI2 = IN.ICb)BN cắt PC tại Q. Giả sử diện tích tam giác ABC bằng S. Tính theo S diện tích tamgiác BPQ?Câu 5 ( 2điểm ) :1) Chứng minh rằng trong 11 số nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại một số chia hết cho10 hoặc tồn tại ít nhất hai số có hiệu chia hết cho 10?2)Tìm các số nguyên n biết n2 – n + 1 là số chính phương.----------------Hết----------------PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (NĂM HỌC 2013 - 2014)Môn: TOÁN (Thời gian: 150 phút)ĐỀ ĐỀ NGHỊHọ và tên GV ra đề: Lê Thị NềĐơn vị: Trường THCS Nguyễn Trãi.Bài 1: (3 điểm)a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tửx4 – 30x2 + 31x – 30b/ Cho a + b + c = 6 và ab + bc + ca = 12Tính giá trị của biểu thức:(a - b)2012 + (b - c)2013 + (c - a)2014Bài 2: (4 điểm)a/ Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho:A = n3 + 4n2 - 20n - 48 chia hết cho 36b/ Chứng minh rằng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 với n là sốnguyênBài 3: (5 điểm)a/ Giải và biện luận phương trình sau:xm x2x 1 x 1b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của M biết:x 2  2x  2014với x  0Mx2Bài 4: (2,5 điểm)Cho tam giác ABC có Â = 800, AD là phân giác. Qua D kẻ đường thẳng song songvới AC cắt AB ở E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Tình số đo gócFED.Bài 5: (5,5 điểm)Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, Flần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hìnhchiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. Chứng minh rằng :a/ Tứ giác BEDF là hình bình hành ?b/ CH.CD = CB.CKc/ AB.AH + AD.AK = AC2.UBND HUYỆN ĐẠI LỘCPHÒNG GD&ĐTĐỀ ĐỀ NGHỊKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCSNăm học 2013-2014ĐỀ THI MÔN: TOÁN - LỚP 8Thời gian làm bài 150 phút - Không tính thời gian giao đềBài 1 (4 điểm) 1  x31  x2 x  :Cho biểu thức A = 23 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x  x  xa, Rút gọn biểu thức A.23b, Tính giá trị của biểu thức A tại x  1 .c, Tìm giá trị của x để A < 0.Bài 2 (3 điểm)222Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  .222Chứng minh rằnga  b  c.Bài 3 (3 điểm)Giải bài toán bằng cách lập phương trình.Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫulên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.Bài 4 (2 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4  2a3  3a2  4a  5 .Bài 5 (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. GọiM,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.Bài 6 (5 điểm)Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳngqua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.a, Chứng minh rằng OM = ON.b, Chứng minh rằng112.AB CD MNc, Biết SAOB= 20132 (đơn vị diện tích); SCOD= 20142 (đơn vị diện tích). TínhSABCD.ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ( Năm học 2013-2014)MÔN : TOÁN ( Thời gian : 150 phút )Họ và tên GV ra đề : HỒ VĂN VIỆT .Đơn vị : THCS PHAN BỘI CHÂUĐỀ ĐỀ NGHỊBài 1 (4,5 đ)a/Tính tổng S(n) =111 ........ 2.5 5.8(3n  1)(3n  2)b/ Chứng minh B = n3 + 6n2 -19n – 24 chia hết cho 6c/ Tìm giá trị lớn nhất của N = 2004 – x2 – 2y2 -2xy +6yBài 2 : ( 3đ) .a/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức A= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +2028cho x2 + 8x +12b/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 2013x2 + 2012x + 2013Bài 3 : ( 4,5đ) .x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  62012 2011 2010 2009 2008 20072a  b 5b  ab/ Tính giá trị biểu thức :3a  b 3a  bBiết 10a2 - 3b2 +5ab = 0 và 9a2 – b2  0a/ Giải phương trình :c/ Cho x,y,z là số đo ba cạnh của một tam giác chứng minhx2y + y2z + z2x +zx2 +yz2 + xy2 –x3– y3 –z3 > 0Bài 4: (4,5 đ) Cho hình bình hành ABCD , đường chéo lớn AC.Tia Dx cắt AC ,AB,CB lầnlượt ở I ,M, N . Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD,BG vuông góc với AC .GọiK là điểm đối xứng của D qua I.Chứng minh : a/ IM.IN = ID2.b/KM DMKNDNc/ AB.AE + AD.AF = AC2.Bài 5 : ( 3,5đ)Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC ( D  B và C) .Đường thẳng qua D vàsong song với AC cắt AB ở E , đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC ở F.Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 , diện tích tam giác CFD = 9 cm2 . Tính diệntích tam giác ABC.PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8Môn: TOÁN_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(Thời gian: _ 180_ _ phút)Họ và tên GV ra đề: _MAI VĂN DŨNG _ _ _Đơn vị: Trường THCS QUANG TRUNGĐỀ ĐỀ NGHỊBài 1: (4 điểm)Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:1. x2  7 x  62. x4  2014x2  2013x  2014Bài 2: (4điểm) Giải phương trình:21. x  3x  2  x  1  022211 1 122. 8  x    4  x 2  2   4  x 2  2  x     x  4 xx x xBài 3: (4điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dương ,ta có:(a+b+c)( 1  1  1 )  9a3. Tìmbcsốdtrongphépchiacủabiểuthức2 x  2 x  4 x  6 x  8  2008 cho đa thức x  10x  21 .Bài 4: (8 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng caoAH (H  BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuônggóc với BC tại D cắt AC tại E.1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độdài đoạn BE theo m  AB .2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giácBHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM3.Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB  HD .BCAH  HChòng Giáo dục –Đại Lộcường THCS Tây Sơniáo viên : Trần Đình MạoĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8Năm học 2013-2014Thời gian : 120 phútĐỀ ĐỀ NGHỊBài 1 : (2đ) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tửa 4  8a 3  14a 2  8a  15b/ Chứng minh rằng biểu thức10 n  18n  1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiênBài 2 : ( 2đ) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số ,biết rằngKhi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn ,thêm 3 đơn vị vào chữ sốhàng trăm ,thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục ,thêm 3 đơn vị vàochữ số hàng đơn vị , ta vẫn được số chính phươngBài 3 : (2đ) a/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA= a 4  2a 3  3a 2  4a  5b/ Giải phương trình3xx3x0x  2 5  x x  2x  5Bài 4: (4đ) Hình thang ABCD (AB//CD ) có hai đường chéo cắt nhau tại0. Đường thẳng qua 0 và song song với đáy AB cắt các cạnh bên ADBC theo thứ tự ở M và N .a/ Chứng minh OM= ONb/ Chứng minh rằng :112AB CD MNc/ Biết S A0 B  20082 (đơn vị diện tích ); S C 0 D  2009 2 (đơn vị diện tích )Tính S ABCDĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ( Năm học 2013-2014)ĐỀ ĐỀ NGHỊMÔN : TOÁN ( Thời gian : 150 phút )Họ và tên GV ra đề : PHẠM THỊ PHƯỢNG .Đơn vị : THCS Trần Hưng Đạo.Bài 1 (4,5 đ)a/Tính tổng S(n) =111 ........ 2.5 5.8(3n  1)(3n  2)b/ Chứng minh B = n3 + 6n2 -19n – 24 chia hết cho 6c/ Tìm giá trị lớn nhất của N = 2004 – x2 – 2y2 -2xy +6yBài 2 : ( 3đ) .a/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức A= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +2028cho x2 + 8x +12b/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 2013x2 + 2012x + 2013Bài 3 : ( 4,5đ) .x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  62012 2011 2010 2009 2008 20072a  b 5b  ab/ Tính giá trị biểu thức :3a  b 3a  bBiết 10a2 - 3b2 +5ab = 0 và 9a2 – b2  0a/ Giải phương trình :c/ Cho x,y,z là số đo ba cạnh của một tam giác chứng minhx2y + y2z + z2x +zx2 +yz2 + xy2 –x3– y3 –z3 > 0Bài 4: (4,5 đ) Cho hình bình hành ABCD , đường chéo lớn AC.Tia Dx cắt AC ,AB,CBlần lượt ở I ,M, N . Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD,BG vuông góc vớiAC .Gọi K là điểm đối xứng của D qua I.Chứng minh : a/ IM.IN = ID2.b/KM DMKNDNc/ AB.AE + AD.AF = AC2.Bài 5 : ( 3,5đ)Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC ( D  B và C) .Đường thẳng qua Dvà song song với AC cắt AB ở E , đường thẳng qua D và song song với AB cắtAC ở F. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 , diện tích tam giác CFD = 9 cm2. Tính diện tích tam giác ABC.PHÒNG GD-ĐT ĐẠI LỘCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (NĂM HỌC 2013-2014)Môn Toán ( Thời gian 150 phút)ĐỀ ĐỀ NGHỊĐơn vị : Trường THCS Võ Thị SáuNgười ra đề: Nguyễn Phước HaiBài 1 ( 3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:a/ x 4  4b/  x  2  x  3 x  4  x  5   24Bài 2: (2 điểm) Tìm giá trị của m để cho phương trình: 6x - 5m = 3 + 3mx cónghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3Bài 3 ( 3 điểm) Giải phương trình:a/ x2  3x  2  x  1  022211112b/ 8  x    4  x 2  2   4  x 2  2  x     x  4 xx x xBài 4 (2 điểm) Tìm đa thức bậc 3 P(x), cho biếtP(x) = x3 + ax2 +bx+c chia cho x-1; x-2; x-3 đều có số dư là 6Bài 5: (6 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đườngchéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. GọiH và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK2c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC .Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC.Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhấtCâu 1:Phân tích thành nhân tử:a, a3 + b3 + c3 – 3abcb, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3Câu 2:1  x3x(1  x 2 ) 2  1  x3 x)( x) Cho A =: (21 x1 x 1 xa, Rút gọn Ab, Tìm A khi x= -12c, Tìm x để 2A = 1Câu 3:a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2b, Tìm giá trị lớn nhất của P =x( x  10) 2Câu 4:abc++

<2
ab bc caa, Cho a,b,c > 0, CMR:1<b, Cho x,y  0 CMR:x2 y2x y+ 2  +2xy xyCâu 5:Cho ABC đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =aa, Tính số đo các góc ACMb, CMR: AM  ABc, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR MNP đều.Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tửA   a  1 a  3 a  5 a  7   15Câu 2( 2 đ): Với giá trò nào của a và b thì đa thức: x  a  x 10  1phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyênCâu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4  3x3  ax  b chia hết cho đathức B( x)  x2  3x  4Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giácHy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuôngCâu 5( 2 đ): Chứng minh rằngP1 1 11 2  4  ... 122 3 41002Đáp án và biểu điểmCâu12đĐáp ánA   a  1 a  3 a  5  a  7   15 a a a a 2  8a  7 a 2  8a  15  1522 8a  22 a 2  8a  120 8a  12  a  a  2  a  6   a22đ22 8a  11  122 8a  10 2 x 2   a  10  x  10a  1  x 2   m  n  x  mn0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đ 8a  10Giả sử:  x  a  x  10  1   x  m  x  n  ;(m, n  Z )Biểu điểmm  n  a 10m.n 10 a 1Khử a ta có :mn = 10( m + n – 10) + 1 mn  10m  10n  100  1 m(n  10)  10n  10)  10,25 đ0,25 đ0,25 đ0,25 đ0,25 đ0,25 đĐỀ SỐ 11Bài 1: (2điểm)3x 2 y  14xyb) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sauA  a 3  b3  c3  3abclà số dương:Bài 2: (2 điểm)Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:ab  a  b b  c c  a  cA9ab  a  b b  c c  a  cBài 3: (2 điểm)Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửaquãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãngđường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h.Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.Bài 4: (3 điểm)Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông gócvơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M.Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BCBài 5: (1 điểm)x 6  3x 2  1  y4Tìm nghiệm nguyên của phương trình:a) Cho x 2  2xy  2y2  2x  6y  13  0 .Tính N Bài 1: (2 điểm)a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:a(b  c) 2 (b  c)  b(c  a) 2 (c  a)  c(a  b) 2 (a  b)1 1 1b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và    0a b c111Rút gọn biểu thức: N  2 2 2a  2bc b  2ca c  2abBài 2: (2điểm)a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M  x 2  y 2  xy  x  y  1b) Giải phương trình: ( y  4,5) 4  ( y  5,5) 4  1  0Bài 3: (2điểm)Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phútrồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km.Tính quãng đường AB.Bài 4: (3điểm)Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MFvuông góc với AB và AD.a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.Bài 5: (1điểm)Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2  5 y 2  345Câu1.a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:x4  4 x  2  x  3 x  4  x  5   24b. Giải phương trình: x  30x42 31x  30  0abca2b2c2 1 . Chứng minh rằng:c. Cho0bc ca abbc ca abCâu2.Cho biểu thức:21  10  x 2  xA 2:x  2 x2 x 4 2x x2 a. Rút gọn biểu thức A.b. Tính giá trị của A , Biết x =1.2c. Tìm giá trị của x để A < 0.d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB,MF  AD.a. Chứng minh: DE  CFb. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.Câu 4.a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:1 1 1  9a b cb. Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002Tinh: a2011 + b2011HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8CâuĐáp ána. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24= (x2 + 7x + 11)2 - 52= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)Câu 1(6 điểm)b. x  30x 31x  30  0 <=> x  x  1  x  5 x  6   0 (*)42Điểm(2 điểm)2(2 điểm)Câu 1 : (2 điểm)ChoP=a 3  4a 2  a  4a 3  7a 2  14a  8a) Rút gọn Pb) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyênCâu 2 : (2 điểm)a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phươngcủa chúng chia hết cho 3.b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .Câu 3 : (2 điểm)a) Giải phương trình :1111 2 2x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 182b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :A=abc3bca a cb a bcCâu 4 : (3 điểm)Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quayquanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứngminh :BC 2a) BD.CE=4b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.c) Chu vi tam giác ADE không đổi.Câu 5 : (1 điểm)Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diệntích bằng số đo chu vi .ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎICâu 1 : (2 đ)a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)=(a-1)(a+1)(a-4)0,5a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)0,5Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:a) x2 – 4x + 4 = 25x  17 x  21 x  14b)19901986 1004c) 4x – 12.2x + 32 = 01 1 1   0.x y zyzxzxy 2 2Tính giá trị của biểu thức: A  2x  2 yz y  2xz z  2xyBài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau vàBài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi tathêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn đượcmột số chính phương.Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trựctâm.HA' HB' HC'a) Tính tổngAA' BB' CC'b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AICvà góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.(AB  BC  CA) 2c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thứcđạt giá trị nhỏAA' 2  BB' 2  CC' 2nhất?ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm):a) Tính đúng x = 7; x = -3b) Tính đúng x = 2007c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0x xxxx 2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0  (2 – 8)(2 – 4) = 0x3x2x3x2 (2 – 2 )(2 –2 ) = 0  2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0x3x2 2 = 2 hoặc 2 = 2  x = 3; x = 2( 1 điểm )( 1 điểm )( 0,25điểm )( 0,25điểm )( 0,25điểm )( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm):xy  yz  xz1 1 1 0  xy  yz  xz  0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )  0xyzx y z