Hai phương trình được gọi là tương đương khi:
A. Có cùng dạng phương trình
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm
D. Cả A, B, C đều đúng
Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương? Cho ví dụ.
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A. Nếu cộng hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.
B. Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.
C. Nếu chia hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.
D. Nếu bình phương hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho.
Hai hệ phương trình 3 x + k y = 3 2 x + y = 3 ; 2 x + y = 3 x - y = 1 là tương đương khi k bằng?
A. k = 3
B. k = 1
C. k = -3
D. k = -1
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Phương trình tương đương, phương trình hệ quả, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Phương trình tương đương, phương trình hệ quả: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Cho phương trình f(x) = 0 có tập nghiệm S = {m; 2m – 1} và phương trình g(x) = 0 có tập nghiệm S. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g(x) = 0 là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = 0. Lời giải: Gọi S, S’ lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình. Ta nói phương trình g(x) = 0 là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = 0. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình x – 1 = 0? Câu 2. Cho phương trình x = 0. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho? Hướng dẫn giải. Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Phương trình (x + 1)(x – 1)(x + 1) = 0 có tập nghiệm S = {-1; 1}. Câu 3. Phương trình 2x – 3 = 1 tương đương với phương trình nào dưới đây? A. (x – 3)2x – 3 = x – 3 nên phương trình này không tương đương với phương trình đã cho. Câu 4: Cho phương trình: x + x = 0 (1). Phương trình nào tương đương với phương trình (1)? Câu 5. Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình x – 3x = 0? Phương trình x – 3x = 0 có tập nghiệm là S = {0; 3} nên phương trình tương đương cũng phải có tập nghiệm như vậy.
Chú ý lý thuyết: Phép biến đổi tương đương cho hai phương trình tương đương. Phép biến đổi cộng hai vế một biểu thức hoặc nhân 2 vế với một biểu thức khác 0 là phép biến đổi tương đương khi chúng không làm thay đổi điều kiện Do đó dựa và điều kiện của các phương trình ta cũng có thể chọn C Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương: Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương. Khi giải phương trình hoặc xét sự tương đương của hai phương trình thông thường ta sử dụng một trong những cách sau: a) Giải từng phương trình để so sánh các tập nghiệm. b) Sử dụng các phép biến đổi tương đương: Các phép biến đổi sau mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình thì ta thu được phương trình mới tương đương: Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hay cùng một biểu thức. Nhân hoặc chia cả hai vế cùng với một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Bình phương hai vế của một phương trình có hai vế luôn cùng dấu khi ẩn lấy mọi giá trị thuộc tập xác định của phương trình. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? a) |x| = 2 ⇔ x = 2 là sai vì |x| = 2 ⇒ x = 2 hoặc x = −2. b) x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 là là đúng vì hai phương trình x − 1 = 0 và (x − 1)2 = 0 có chung tập nghiệm là S = {1}. Ví dụ 2. Cặp phương trình nào sau đây là tương đương? Nhân hai vế của phương trình x2 − 4x + 3 = 0 với −2 ta được phương trình −2×2 + 8x − 6 = 0. Vậy hai phương trình đã cho tương đương. Ví dụ 3. Mỗi khẳng định sau đây dúng hay sai? a) Cho phương trình 3x + x − 2 = x. Chuyển x − 2 sang vế phải thì ta thu được phương trình tương đương. b) Cho phương trình 3×2 + − 2 = x. Lược bỏ x − 2 cả hai vế ta được phương trình tương đương. a) Chuyển x − 2 sang vế phải thì ta thu được phương trình tương đương vì tuân thủ phép biến đổi tương đương (Cộng hai vế của phương trình với x − 2 và không làm thay đổi điều kiện). Khẳng định đã cho là đúng. b) Điều kiện của phương trình là: x ≤ 2. Khi Lược bỏ x − 2 cả hai vế ta đã thay đổi điều kiện của phương trình ban đầu nên kết quả không thu được phương trình tương đương. Khẳng định ban đầu là sai.
Bài 3. Cách giải sau sai ở đâu? Lời giải. Cách giải trên sai ở bước cuối cùng ta đã làm mất điều kiện của phương trình nên không thể nhận được phương trình tương đương, x = −3 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 4. Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào cho ta phương trình tương đương, phép biến đổi nào cho ta phương trình không tương đương? a) Khi ta lược bỏ số hạng x − 2 ở cả hai vế của phương trình x2 − 4x + 4 ta được phương trình x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2, tuy nhiên nó lại không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Nên phép biến đổi trên không nhận được phương trình tương đương. b) Với điều kiện x khác −2 thì phương trình x nó cũng chính là nghiệm của phương trình đã cho sau khi lược bỏ đi hạng tử x + 2 ở cả hai vế. Vậy kết quả của phép biến đổi trên ta vẫn thu được một phương trình tương đương.
Thế nào là hai phương trình tương đương
a. Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.
b. Hai quy tắc biến đổi tương đương các phương trình:
2. Phép biến đổi tương đương
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau
- Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức.
- Chuyển một số hoặc biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu.
- Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0.
Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương trình tương đương
3. Phương trình hệ quả
Gọi S1,S2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình (1) và (2). Ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi S1 ⊂S2. Ta viết (1)⇒(2).
Ví dụ 1. Cho hai phương trình:
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Chú ý. Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà chỉ là phép biến đổi hệ quả.
Ví dụ 2. Cho hai phương trình:
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Khi hai vế của phương trình đều không âm, phương hai vế của phương trình ta được một phương trình tương đương.
Công thức
4. Phương trình bậc nhất một ẩn:
5. Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) (không có ẩn ở mẫu):
- Quy đồng mẫu thức 2 vế
- Khử mẫu thức.
- Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình về dạng Ax = B
Ví dụ 1.
Giải phương trình: