Ví dụ tính chất của bất đẳng thức

Bất đẳng thức trong toán học đóng một vai trò quan trọng. Ở trường, chúng tôi chủ yếu giải quyết bất bình đẳng số, với định nghĩa mà chúng ta sẽ bắt đầu bài viết này. Và sau đó chúng tôi liệt kê và biện minh tính chất của bất đẳng thức số, dựa trên tất cả các nguyên tắc làm việc với các bất bình đẳng.

Chúng ta lưu ý ngay rằng nhiều tính chất của bất đẳng thức số tương tự nhau. Do đó, chúng tôi sẽ trình bày tài liệu theo cùng một sơ đồ: chúng tôi hình thành thuộc tính, đưa ra lý do và ví dụ của nó, sau đó chuyển sang thuộc tính tiếp theo.

Điều hướng trang.

Bất đẳng thức số: định nghĩa, ví dụ

Khi chúng tôi đưa ra khái niệm về bất đẳng thức, chúng tôi nhận thấy rằng các bất đẳng thức thường được định nghĩa theo cách chúng được viết. Vì vậy chúng tôi gọi bất đẳng thức là biểu thức đại số có nghĩa chứa các dấu không bằng ≠, nhỏ hơn<,>, nhỏ hơn hoặc bằng ≤ hoặc lớn hơn hoặc bằng ≥. Dựa vào định nghĩa trên, ta có thể thuận tiện để xác định bất đẳng thức số:

Cuộc gặp gỡ với bất đẳng thức số diễn ra trong giờ học Toán lớp 1 ngay sau khi làm quen với các số tự nhiên đầu tiên từ 1 đến 9, làm quen với phép toán so sánh. Đúng, ở đó chúng được gọi đơn giản là bất đẳng thức, bỏ qua định nghĩa "số". Để rõ ràng, sẽ không có hại gì nếu đưa ra một vài ví dụ về các bất đẳng thức số đơn giản nhất từ ​​giai đoạn nghiên cứu của họ: 1<2>3 .

Và xa hơn từ số tự nhiên, kiến ​​thức mở rộng đến các loại số khác (số nguyên, số hữu tỉ, số thực), các quy tắc so sánh chúng được nghiên cứu và điều này mở rộng đáng kể sự đa dạng về loài của các bất đẳng thức số: −5> −72, 3> - 0,275 (7−5, 6) ,.

Tính chất của bất đẳng thức số

Trong thực tế, làm việc với các bất đẳng thức cho phép một số tính chất của bất đẳng thức số. Họ làm theo từ khái niệm bất bình đẳng do chúng tôi giới thiệu. Liên quan đến các số, khái niệm này được đưa ra bởi phát biểu sau đây, có thể được coi là định nghĩa của các quan hệ "nhỏ hơn" và "lớn hơn" trên tập hợp các số (nó thường được gọi là định nghĩa khác biệt của bất đẳng thức):

Sự định nghĩa.

• con số a lớn hơn b nếu và chỉ khi hiệu a − b là một số dương;
• số a nhỏ hơn số b nếu và chỉ khi hiệu a − b là một số âm;
• số a bằng số b nếu và chỉ khi hiệu a − b bằng không.

Định nghĩa này có thể được đúc kết lại thành định nghĩa nhỏ hơn hoặc bằng và lớn hơn hoặc bằng. Đây là từ ngữ của nó:

Sự định nghĩa.

• con số a lớn hơn hoặc bằng b nếu và chỉ khi a − b là một số không âm;
• số a nhỏ hơn hoặc bằng số b nếu và chỉ khi a - b là số không dương.

Chúng ta sẽ sử dụng các định nghĩa này trong việc chứng minh các tính chất của bất đẳng thức số, mà bây giờ chúng ta sẽ xem xét lại.

Các tính chất cơ bản

Chúng ta bắt đầu xem xét ba tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Tại sao chúng cần thiết? Bởi vì chúng phản ánh các tính chất của bất đẳng thức theo nghĩa chung nhất, và không chỉ liên quan đến bất đẳng thức số.

Bất đẳng thức số được viết bằng dấu hiệu< и >, đặc trưng:

Đối với các bất đẳng thức số được viết bằng dấu của các bất đẳng thức không nghiêm ngặt ≤ và ≥, chúng có tính chất phản xạ (chứ không phải phản phản xạ), vì các bất đẳng thức a≤a và a≥a bao gồm trường hợp đẳng thức a = a . Chúng cũng được đặc trưng bởi sự phản đối xứng và tính quá mẫn.

Vì vậy, các bất đẳng thức số được viết với các dấu ≤ và ≥ có các tính chất sau:

• phản xạ a≥a và a≤a là các bất đẳng thức đúng;
• phản đối xứng, nếu a≤b thì b≥a, và nếu a≥b thì b≤a.
• độ nhạy, nếu a≤b và b≤c, thì a≤c, và ngoài ra, nếu a≥b và b≥c, thì a≥c.

Chứng minh của chúng rất giống với những chứng minh đã cho, vì vậy chúng ta sẽ không tập trung vào chúng, mà chuyển sang các tính chất quan trọng khác của bất đẳng thức số.

Các tính chất quan trọng khác của bất đẳng thức số

Hãy để chúng tôi bổ sung các tính chất cơ bản của bất đẳng thức số với một loạt các kết quả có tầm quan trọng thực tế. Các phương pháp đánh giá giá trị của các biểu thức dựa trên chúng, các nguyên tắc của giải pháp của bất phương trình vân vân. Vì vậy, nên đối phó tốt với chúng.

Trong phần phụ này, chúng ta sẽ hình thành các tính chất của bất đẳng thức chỉ đối với một dấu của bất đẳng thức nghiêm ngặt, nhưng cần lưu ý rằng các tính chất tương tự cũng sẽ có giá trị đối với dấu ngược lại, cũng như đối với các dấu hiệu của bất đẳng thức không nghiêm ngặt. Hãy giải thích điều này bằng một ví dụ. Dưới đây, chúng tôi xây dựng và chứng minh tính chất sau của bất đẳng thức: nếu a

• nếu a> b thì a + c> b + c;
• nếu a≤b thì a + c≤b + c;
• nếu a≥b, thì a + c≥b + c.

Để thuận tiện, chúng tôi trình bày các tính chất của bất đẳng thức số dưới dạng một danh sách, đồng thời đưa ra phát biểu tương ứng, viết nó một cách chính thức bằng các chữ cái, đưa ra một chứng minh, và sau đó đưa ra các ví dụ sử dụng. Và ở phần cuối của bài viết, chúng tôi sẽ tóm tắt tất cả các tính chất của bất đẳng thức số trong một bảng. Đi!

Thư mục.

• Moro M.I.. Toán học. Proc. cho 1 cl. sớm trường học Tại 2 trang Phần 1. (Nửa năm đầu) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - Xuất bản lần thứ 6. - M.: Khai sáng, 2006. - 112 tr: bệnh + Ứng dụng. (2 l. Bệnh riêng biệt.). - ISBN 5-09-014951-8.
• toán học: học. cho 5 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - ấn bản thứ 21, bị xóa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 trang: ốm. ISBN 5-346-00699-0.
• Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Đại số học. lớp 8. Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho sinh viên của các cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich. - ấn bản thứ 11, bị xóa. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 tr: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.

Trường số thực có thuộc tính thứ tự (mục 6, trang 35): với bất kỳ số a, b, một và chỉ một trong ba quan hệ giữ: hoặc. Trong trường hợp này, ký hiệu a> b có nghĩa là sự khác biệt là dương và sự khác biệt về mặt ký hiệu là âm. Không giống như trường số thực, trường số phức không có thứ tự: đối với số phức, khái niệm "lớn hơn" và "nhỏ hơn" không được định nghĩa; do đó, chương này chỉ đề cập đến các số thực.

Ta gọi các bất đẳng thức về quan hệ, các số a và b là thành viên (hoặc bộ phận) của bất đẳng thức, các dấu> (lớn hơn) và Bất đẳng thức a> b và c> d được gọi là các bất đẳng thức cùng (hoặc cùng nghĩa) với nhau; bất đẳng thức a> b và c Nó ngay sau định nghĩa của bất đẳng thức rằng

1) bất kỳ số dương nào lớn hơn 0;

2) bất kỳ số âm nào nhỏ hơn 0;

3) bất kỳ số dương nào lớn hơn bất kỳ số âm nào;

4) trong hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.

Tất cả những tuyên bố này đều thừa nhận một cách giải thích hình học đơn giản. Để chiều dương của trục số đi bên phải điểm xuất phát; sau đó, bất kể dấu hiệu của các con số, số lớn hơn được biểu thị bằng một điểm nằm bên phải của điểm biểu thị số nhỏ hơn.

Bất đẳng thức có các tính chất chính sau đây.

1. Không đối xứng (không thể đảo ngược): nếu thì, và ngược lại.

Thật vậy, nếu sự khác biệt là dương, thì sự khác biệt là âm. Họ nói rằng khi các thuật ngữ của bất bình đẳng được sắp xếp lại, ý nghĩa của bất bình đẳng phải được thay đổi thành ngược lại.

2. Độ nhạy: nếu, thì. Thật vậy, mặt tích cực của sự khác biệt bao hàm mặt tích cực

Ngoài các dấu hiệu bất đẳng thức, các dấu hiệu bất đẳng thức và cũng được sử dụng. Chúng được định nghĩa như sau: một bản ghi có nghĩa là một trong hai hoặc Do đó, ví dụ, bạn có thể viết và cũng có thể. Thông thường, những bất đẳng thức được viết với dấu được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt, và những bất đẳng thức được viết bằng dấu được gọi là bất đẳng thức không nghiêm ngặt. Theo đó, bản thân các dấu hiệu được gọi là dấu hiệu của sự bất bình đẳng nghiêm ngặt hoặc không nghiêm ngặt. Tính chất 1 và 2 được thảo luận ở trên cũng đúng với các bất đẳng thức không nghiêm ngặt.

Bây giờ hãy xem xét các phép toán có thể được thực hiện trên một hoặc nhiều bất đẳng thức.

3. Từ việc cộng cùng một số vào các thành phần của bất đẳng thức, ý nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi.

Bằng chứng. Cho một bất đẳng thức và một số tùy ý. Theo định nghĩa, sự khác biệt là tích cực. Chúng tôi thêm vào số này hai số đối nhau mà từ đó nó sẽ không thay đổi, tức là

Bình đẳng này có thể được viết lại như sau:

Từ đó dẫn đến sự khác biệt là tích cực, tức là

và điều này đã được chứng minh.

Đây là cơ sở cho khả năng làm lệch bất kỳ số hạng nào của bất đẳng thức từ một trong các phần của nó sang phần khác có dấu ngược lại. Ví dụ, từ bất đẳng thức

theo sau đó

4. Khi nhân các số hạng của bất đẳng thức với cùng một số dương, nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi; Khi các số hạng của bất đẳng thức được nhân với cùng một số âm, nghĩa của bất đẳng thức chuyển thành ngược lại.

Bằng chứng. Để rồi Nếu thì vì tích của các số dương là số dương. Mở rộng dấu ngoặc ở phía bên trái của bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được, tức là. Trường hợp được xem xét theo cách tương tự.

Chính xác, kết luận tương tự có thể được rút ra về phép chia các phần của bất đẳng thức cho một số khác 0, vì phép chia cho một số tương đương với nhân với một số và các số có cùng dấu.

5. Cho các số hạng của bất phương trình là số dương. Sau đó, khi các thành viên của nó được nâng lên cùng một sức mạnh tích cực, ý nghĩa của sự bất bình đẳng không thay đổi.

Bằng chứng. Hãy để trong trường hợp này, bởi tính chất của sự nhạy cảm, và. Sau đó, do sự tăng đơn điệu của hàm lũy thừa tại và dương, chúng ta có

Đặc biệt, nếu ở đâu là số tự nhiên, thì chúng ta nhận được

nghĩa là khi rút gốc từ cả hai phần của bất đẳng thức bằng các số hạng dương, nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi.

Cho các số hạng của bất đẳng thức là số âm. Sau đó, dễ dàng chứng minh rằng khi các thành viên của nó được nâng lên thành sức mạnh tự nhiên lẻ, ý nghĩa của sự bất bình đẳng không thay đổi, và khi nó được nâng lên thành sức mạnh tự nhiên chẵn, nó chuyển thành ngược lại. Từ bất đẳng thức với số hạng âm, bạn cũng có thể rút ra căn bậc lẻ.

Ngoài ra, hãy để các số hạng của bất đẳng thức có các dấu hiệu khác nhau. Sau đó, khi nó được nâng lên thành lũy thừa lẻ, ý nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi, và khi nó được nâng lên lũy thừa chẵn, không có gì xác định được trong trường hợp chung về ý nghĩa của bất đẳng thức kết quả. Thật vậy, khi một số được nâng lên thành lũy thừa, dấu của số đó được giữ nguyên và do đó ý nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi. Khi nâng bất đẳng thức lên thành lũy thừa, một bất đẳng thức với các số hạng dương được hình thành và ý nghĩa của nó sẽ phụ thuộc vào các giá trị tuyệt đối của các hạng tử của bất đẳng thức ban đầu, một bất đẳng thức cùng nghĩa với bất đẳng thức ban đầu, một bất đẳng thức của nghĩa ngược lại, và thậm chí có thể thu được bình đẳng!

Sẽ rất hữu ích nếu bạn kiểm tra mọi thứ đã nói về việc nâng bất bình đẳng lên thành lũy thừa bằng cách sử dụng ví dụ sau.

Ví dụ 1. Nâng các bất đẳng thức sau lên thành lũy thừa, đổi dấu bất đẳng thức thành dấu đối hoặc dấu bằng, nếu cần.

a) 3> 2 thành lũy thừa của 4; b) theo lũy thừa của 3;

c) theo lũy thừa của 3; d) theo lũy thừa của 2;

e) theo lũy thừa của 5; e) theo lũy thừa của 4;

g) 2> -3 thành lũy thừa của 2; h) theo lũy thừa của 2,

6. Từ bất đẳng thức, bạn có thể đi đến bất đẳng thức giữa nếu các số hạng của bất đẳng thức vừa dương hoặc vừa âm, thì giữa các nghịch đảo của chúng có một bất đẳng thức có nghĩa ngược lại:

Bằng chứng. Nếu a và b cùng dấu thì tích của chúng là số dương. Chia cho bất bình đẳng

tức là, bắt buộc phải có.

Nếu các số hạng của bất đẳng thức có dấu đối nhau, thì bất đẳng thức giữa các nghịch đảo của chúng có cùng ý nghĩa, vì dấu của các số nghịch biến giống như dấu của chính các đại lượng đó.

Ví dụ 2. Kiểm tra tính chất cuối cùng 6 của các bất đẳng thức sau:

7. Logarit của bất phương trình chỉ có thể được thực hiện trong trường hợp các số hạng của bất phương trình là số dương (số âm và số 0 không có logarit).

Để cho được . Sau đó, khi nào sẽ

và khi nào thì

Tính đúng đắn của các câu này dựa trên tính đơn điệu của hàm logarit, hàm này tăng nếu cơ số và giảm nếu

Vì vậy, khi lấy logarit của một bất phương trình bao gồm các số hạng dương, với cơ số lớn hơn một, một bất phương trình cùng nghĩa với cơ số đã cho được hình thành, và khi lấy logarit của nó với cơ số dương nhỏ hơn một, một bất phương trình của nghĩa đối lập được hình thành.

8. Nếu, thì nếu, nhưng, sau đó.

Điều này ngay lập tức xuất phát từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ (Phần 42), tăng trong trường hợp này và giảm nếu

Khi cộng các bất đẳng thức có cùng nghĩa với số hạng, một bất đẳng thức cùng nghĩa với dữ liệu được hình thành.

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi chứng minh phát biểu này cho hai bất đẳng thức, mặc dù nó đúng với bất kỳ số bất đẳng thức tổng. Hãy để các bất đẳng thức

Theo định nghĩa, các số sẽ là số dương; thì tổng của chúng cũng trở thành số dương, tức là

Nhóm các thuật ngữ theo cách khác nhau, chúng tôi nhận được

và do đó

và điều này đã được chứng minh.

Không có gì xác định được trong trường hợp tổng quát về ý nghĩa của một bất đẳng thức là kết quả của việc cộng hai hoặc nhiều bất đẳng thức có nghĩa khác nhau.

10. Nếu một bất đẳng thức khác có nghĩa ngược lại được trừ đi số hạng của một bất đẳng thức, thì bất đẳng thức có cùng nghĩa với bất đẳng thức đầu tiên được hình thành.

Bằng chứng. Cho hai bất đẳng thức có nghĩa khác nhau. Điều thứ hai trong số chúng, với tính chất không thể đảo ngược, có thể được viết lại như sau: d> c. Bây giờ chúng ta hãy cộng hai bất đẳng thức có cùng nghĩa và thu được bất đẳng thức

cùng nghĩa. Từ cái sau, chúng tôi tìm thấy

và điều này đã được chứng minh.

Không thể nói gì chắc chắn trong trường hợp tổng quát về ý nghĩa của một bất đẳng thức thu được bằng cách lấy một bất đẳng thức trừ đi một bất đẳng thức khác có cùng ý nghĩa.

Tập hợp tất cả các số thực có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của ba tập hợp: tập hợp các số dương, tập hợp các số âm và tập hợp gồm một số - số 0. Để chỉ ra rằng số một tích cực, tận hưởng kỷ lục a> 0, để chỉ ra một số âm, hãy sử dụng một bản ghi khác một< 0 .

Tổng và tích của các số dương cũng là các số dương. Nếu số mộtâm, sau đó là số -một tích cực (và ngược lại). Với mọi số dương a thì tồn tại một số hữu tỉ dương r, Cái gì r< а . Những dữ kiện này làm nền tảng cho lý thuyết về bất đẳng thức.

Theo định nghĩa, bất đẳng thức a> b (hoặc tương đương, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, nghĩa là, nếu số a - b là số dương.

Đặc biệt, hãy xem xét sự bất bình đẳng một< 0 . Sự bất bình đẳng này có nghĩa là gì? Theo định nghĩa ở trên, nó có nghĩa là 0 - a> 0, I E. -a> 0 hoặc số nào khác -một một cách tích cực. Nhưng đây là trường hợp nếu và chỉ khi số một từ chối. Vì vậy, sự bất bình đẳng một< 0 có nghĩa là con số nhưng tiêu cực.

Thường cũng được sử dụng là ký hiệu ab(hoặc, giống nhau, ba).
ghi âm ab, theo định nghĩa, có nghĩa là a> b, hoặc a = b. Nếu chúng ta xem xét mục nhập ab như một mệnh đề không xác định, sau đó trong ký hiệu của logic toán học, người ta có thể viết

(a b) [(a> b) V (a = b)]

ví dụ 1 Các bất đẳng thức 5 0, 0 0 có đúng không?

Bất đẳng thức 5 0 là một câu lệnh phức tạp bao gồm hai câu lệnh đơn giản được nối với nhau bằng một liên kết logic "hoặc" (disjunction). Hoặc 5> 0 hoặc 5 = 0. Câu lệnh đầu tiên 5> 0 là đúng, câu lệnh thứ hai 5 = 0 là sai. Theo định nghĩa của phép nối, một câu lệnh ghép như vậy là đúng.

Bản ghi 00 được thảo luận tương tự.

Các bất đẳng thức của dạng a> b, a< b sẽ được gọi là nghiêm ngặt và các bất bình đẳng có dạng ab, ab- không nghiêm ngặt.

sự bất bình đẳng a> b và c> d(hoặc một< b và với< d ) sẽ được gọi là bất đẳng thức cùng nghĩa và bất đẳng thức a> b và c< d - các bất đẳng thức trái nghĩa. Lưu ý rằng hai thuật ngữ này (bất đẳng thức cùng nghĩa và trái nghĩa) chỉ đề cập đến hình thức viết các bất đẳng thức, chứ không liên quan đến các dữ kiện được biểu thị bởi các bất đẳng thức này. Vì vậy, liên quan đến sự bất bình đẳng một< b bất bình đẳng với< d là một bất đẳng thức có cùng nghĩa và ở dạng văn bản d> c(có nghĩa giống nhau) - một bất đẳng thức có nghĩa ngược lại.

Cùng với các bất đẳng thức về dạng a> b, ab cái gọi là bất đẳng thức kép được sử dụng, tức là bất đẳng thức dạng một< с < b , át chủ< b , một< cb ,
mộtcb. Theo định nghĩa, mục nhập

một< с < b (1)
có nghĩa là cả hai bất bình đẳng đều có:

một< с và với< b.

Các bất đẳng thức có ý nghĩa tương tự acb, ac< b, а < сb.

Bất đẳng thức kép (1) có thể được viết như sau:

(một< c < b) [(a < c) & (c < b)]

và bất bình đẳng kép a ≤ c ≤ b có thể được viết dưới dạng sau:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành trình bày các tính chất chính và các quy tắc của hành động đối với bất đẳng thức, đồng ý rằng trong bài viết này các chữ cái a, b, cđại diện cho các số thực, và N nghĩa là một số tự nhiên.

1) Nếu a> b và b> c thì a> c (tính nhạy cảm).

Bằng chứng.

Kể từ khi theo điều kiện a> b và b> c, sau đó là những con số a - b và b - c là tích cực, và do đó số a - c \ u003d (a - b) + (b - c), là tổng của các số dương, cũng là số dương. Điều này có nghĩa là, theo định nghĩa, a> c.

2) Nếu a> b, thì với c bất đẳng thức a + c> b + c đúng.

Bằng chứng.

Như a> b, sau đó là số a - b một cách tích cực. Do đó, số (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b cũng tích cực, tức là
a + c> b + c.

3) Nếu a + b> c, thì a> b - c, tức là, bất kỳ số hạng nào cũng có thể được chuyển từ một phần của bất đẳng thức này sang một phần khác của bất đẳng thức bằng cách thay đổi dấu của số hạng này thành phần ngược lại.

Chứng minh theo tính chất 2) là đủ cho cả hai phần của bất đẳng thức a + b> c thêm một số -b.

4) Nếu a> b và c> d, thì a + c> b + d, tức là, thêm hai bất đẳng thức cùng nghĩa sẽ tạo ra một bất đẳng thức có cùng ý nghĩa.

Bằng chứng.

Theo định nghĩa của sự bất bình đẳng, nó đủ để chỉ ra rằng sự khác biệt
(a + c) - (b + c) tích cực. Sự khác biệt này có thể được viết như sau:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Vì theo điều kiện của số a - b và đĩa CD là tích cực, sau đó (a + c) - (b + d) cũng là một số dương.

Hậu quả. Quy tắc 2) và 4) ngụ ý quy tắc sau để trừ các bất đẳng thức: nếu a> b, c> d, sau đó a - d> b - c(đối với chứng minh, nó đủ cho cả hai phần của bất bình đẳng a + c> b + d thêm một số - đĩa CD).

5) Nếu a> b, thì với c> 0, ta có ac> bc, và với c< 0 имеем ас < bc.

Nói cách khác, khi nhân cả hai phần của bất đẳng thức, không phải là số dương, thì dấu bất đẳng thức được giữ nguyên (tức là nhận được một bất đẳng thức cùng nghĩa) và khi nhân với một số âm, dấu bất đẳng thức sẽ chuyển thành điều ngược lại (tức là thu được một bất đẳng thức có nghĩa ngược lại.

Bằng chứng.

Nếu một a> b, sau đó a - b là một số dương. Do đó, dấu hiệu của sự khác biệt ac-bc = taxi) khớp với dấu của số với: nếu với là một số dương, sau đó là sự khác biệt ac - bc tích cực và do đó ac> bc, và nếu với< 0 , thì sự khác biệt này là âm và do đó bc - ac tích cực, tức là bc> ac.

6) Nếu a> b> 0 và c> d> 0, thì ac> bd, tức là, nếu tất cả các số hạng của hai bất đẳng thức cùng nghĩa đều dương, thì phép nhân từng số hạng của các bất đẳng thức này sẽ dẫn đến một bất đẳng thức có cùng ý nghĩa.

Bằng chứng.

Chúng ta có ac - bd = ac - bc + bc - bd = c (a - b) + b (c - d). Như c> 0, b> 0, a - b> 0, c - d> 0, thì ac - bd> 0, tức là ac> bd.

Nhận xét. Rõ ràng là từ bằng chứng rằng điều kiện d> 0 trong công thức của thuộc tính 6) là không quan trọng: để thuộc tính này là đúng, thì điều kiện là đủ a> b> 0, c> d, c> 0. Nếu (nếu các bất đẳng thức a> b, c> d) số a, b, c không phải tất cả đều tích cực, khi đó sự bất bình đẳng ac> bd có thể không được thực hiện. Ví dụ, khi một = 2, b =1, c= -2, d= -3 chúng tôi có a> b, c > d, nhưng sự bất bình đẳng ac> bd(tức là -4> -3) không thành công. Vì vậy, yêu cầu các số a, b, c dương trong câu lệnh thuộc tính 6) là điều cần thiết.

7) Nếu a ≥ b> 0 và c> d> 0 thì (phép chia các bất phương trình).

Bằng chứng.

Chúng ta có

Nhận xét. Chúng ta lưu ý một trường hợp cụ thể quan trọng của quy tắc 7) thu được khi a = b = 1: if c> d> 0, then. Do đó, nếu các số hạng của bất đẳng thức là dương, thì khi chuyển cho các số nghịch đảo, chúng ta thu được một bất đẳng thức có nghĩa ngược lại. Chúng tôi mời độc giả kiểm chứng rằng quy tắc này cũng được giữ nguyên trong 7) Nếu ab> 0 và c> d> 0, thì (phép chia các bất phương trình).

Bằng chứng. sau đó.

Chúng tôi đã chứng minh ở trên một số tính chất của bất đẳng thức được viết với dấu > (hơn). Tuy nhiên, tất cả các thuộc tính này có thể được xây dựng bằng cách sử dụng dấu < (ít hơn), vì sự bất bình đẳng b< а có nghĩa là, theo định nghĩa, giống như bất đẳng thức a> b. Hơn nữa, vì nó dễ dàng kiểm tra, các tính chất được chứng minh ở trên cũng được bảo toàn đối với các bất đẳng thức không nghiêm ngặt. Ví dụ, thuộc tính 1) cho các bất đẳng thức không nghiêm ngặt sẽ có dạng sau: nếu ab và bc, sau đó át chủ.

Tất nhiên, các tính chất chung của bất đẳng thức không chỉ giới hạn ở những gì đã nói ở trên. Có một số bất đẳng thức tổng quát liên quan đến việc xem xét các hàm số lũy thừa, hàm số logarit và lượng giác. Cách tiếp cận chung để viết các loại bất đẳng thức này như sau. Nếu một số chức năng y = f (x) tăng đơn điệu trên phân khúc [a, b], thì với x 1> x 2 (trong đó x 1 và x 2 thuộc đoạn này) ta có f (x 1)> f (x 2). Tương tự, nếu hàm y = f (x) giảm đơn điệu trên phân đoạn [a, b], sau đó tại x 1> x 2 (ở đâu x 1 và X 2 thuộc về phân khúc này) chúng tôi có f (x1)< f(x 2 ). Tất nhiên, những gì đã nói không khác với định nghĩa của tính đơn điệu, nhưng kỹ thuật này rất thuận tiện cho việc ghi nhớ và viết các bất đẳng thức.

Vì vậy, ví dụ, đối với n tự nhiên bất kỳ, hàm y = x nđang tăng đơn điệu trên tia }