Sin(180 độ bằng bao nhiêu)

Trên nửa đường tròn đơn vị tâm $O$, ta xác định điểm $M$ sao cho $\alpha = \widehat {xOM}\left( {{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} \right)$. Giả sử điểm $M\left( {x;y} \right)$. Khi đó:

Nội dung chính Show

1.3. Tính chất của giá trị lượng giác
1.4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
2. Bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
1. Định nghĩa
2. Tính chất
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Góc giữa hai vectơ
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc

${\rm{sin}}\alpha = y;\,\,{\rm{cos}}\alpha = {\rm{x}};$ ${\rm{tan}}\alpha = \dfrac{y}{x}\,\,(\alpha \ne {90^0});$ ${\rm{ cot}}\alpha = \;\;\dfrac{x}{y}\;(\alpha \ne {0^0},\alpha \ne {180^0})$

Các số $\sin \alpha ,\,\cos \alpha ,\,\tan \alpha ,\,\cot \alpha $ được gọi là giá trị lượng giác của góc $\alpha $.

Dấu của giá trị lượng giác:

2. Tính chất

a) Góc phụ nhau

$\begin{array}{l}\sin ({90^0} - \alpha ) = \cos \alpha & \\\cos ({90^0} - \alpha ) = \sin \alpha \,\\\tan ({90^0} - \alpha ) = \cot \alpha \\\cot ({90^0} - \alpha ) = \tan \alpha \end{array}$

b) Góc bù nhau

$\begin{array}{l}\sin ({180^0} - \alpha ) = \sin \alpha & \\\cos ({180^0} - \alpha ) = - \cos \alpha \,\\\tan ({180^0} - \alpha ) = - \tan \alpha \\\cot ({180^0} - \alpha ) = - \cot \alpha \end{array}$

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4. Các hệ thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l}1)\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}(\alpha \ne {90^0})\\2)\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}(\alpha \ne {0^0};{180^0})\\3)\tan \alpha .\cot \alpha = 1(\alpha \ne {0^0};{90^0};{180^0})\\4){\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\5)1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}(\alpha \ne {90^0})\\6)1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}(\alpha \ne {0^0};{180^0})\end{array}$

Trục hoành – trục nằm ngang – còn được gọi là trục cos, trục tung – trục thẳng đứng – còn được gọi là trục sin.

SIÊU SALE - SIÊU SALE

1.3. Tính chất của giá trị lượng giác

Nếu $ a+b=180^\circ$ (hai góc bù nhau) thì \begin{align} \sin a =\sin b,\\ \cos a = -\cos b,\\ \tan a =-\tan b, \\ \cot a =-\cot b.\end{align}
Các hệ thức lượng giác cơ bản:
- $ \sin^2x+\cos^2x =1$
- $ \tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$
- $ \cot x =\frac{\cos x}{\sin x}$
- $ \tan x \cdot \cot x =1$

1.4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

SIÊU SALE - SIÊU SALE

2. Bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 1. Cho $\cos \alpha=-\frac{2}{3}$. Tính $\sin \alpha;\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.

SIÊU SALE - SIÊU SALE

Bài 2. Cho góc $\alpha$ biết $0^\circ < \alpha < 90^\circ $ và $\tan \alpha =3$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.

SIÊU SALE - SIÊU SALE

Bài 3. Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $90^\circ <\alpha < 180^\circ$. Tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$.

SIÊU SALE - SIÊU SALE

Bài 4. Cho $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{4}$. Tính $\sin \alpha;\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.

SIÊU SALE - SIÊU SALE

Bài 5. Cho góc $\alpha$ biết $0^\circ < \alpha < 90^\circ $ và $\tan \alpha = 2\sqrt{2}$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.

SIÊU SALE - SIÊU SALE

Bài 6. Biết $\tan \alpha = \sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức $$A=\frac{3\sin \alpha -\cos \alpha}{2\sin \alpha+\cos \alpha}$$

SIÊU SALE - SIÊU SALE

Bài 7. Biết $\tan \alpha = \sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức $$T=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha}{\sin^3 \alpha+3\cos^3 \alpha+2\sin \alpha}$$

SIÊU SALE - SIÊU SALE

Bài 8. Biết $\sin \alpha = \frac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $$B=\frac{\cot \alpha -\tan \alpha}{\cot \alpha+2\tan \alpha}$$

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, nửa đường tròn tâm $O$ nằm phía trên trục hoành bán kính $R=1$ được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Với mỗi góc $\alpha$ ($0^o\le\alpha\le180^o$) ta xác định được duy nhất một điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ và giả sử điểm $M$ có toạ độ $M\left(x_0;y_0\right)$. Khi đó ta định nghĩa:

+ $\sin$ của góc $\alpha$ là $y_0$, kí hiệu $\sin\alpha=y_0$ ;

+ côsin của góc $\alpha$ là $x_0$, kí hiệu là $\cos\alpha=x_0$ ;

+ tang của góc $\alpha$ là $\dfrac{y_0}{x_0}$ ($x_0\ne0$), kí hiệu là $\tan\alpha=\dfrac{y_0}{x_0}$ ;

+ côtang của góc $\alpha$ là $\dfrac{x_0}{y_0}$ ($y_0\ne0$), kí hiệu là $\cot\alpha=\dfrac{x_0}{y_0}$.

Các số $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, $\cot\alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của góc $\alpha$.

Ví dụ 1: Cho góc $\alpha=135^o$. Tìm các giá trị lượng giác của góc $\alpha$.

Giải:

Lấy điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=135^o$.

Khi đó ta có $\widehat{yOM}=45^o$.

Từ đó ta suy ra toạ độ điểm $M$ là $M\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Vậy $\sin135^o=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\cos135^o=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\tan135^o=-1$ ; $\cot135^o=-1$.

Chú ý: +) Nếu $\alpha$ là góc tù thì $\cos\alpha< 0$, $\tan\alpha< 0$, $\cot\alpha< 0$.

+) $\tan\alpha$ chỉ xác định khi $\alpha\ne90^o$

$\cot\alpha$ chỉ xác định khi $\alpha\ne0^o$ và $\alpha\ne180^o$.

2. Tính chất

Cũng trên nửa đường tròn đơn vị, ngoài điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ ta lấy điểm $N$ sao cho dây cung $NM$ song song với trục $Ox$ và nếu $\widehat{xOM}=\alpha$ thì $\widehat{xON}=180^0-\alpha$.

Ta có $y_M=y_N=y_0$ , $x_M=-x_N=x_0$.

Từ đó ta suy ra tính chất:

$\sin\alpha=\sin\left(180^o-\alpha\right)$

$\cos\alpha=-\cos\left(180^o-\alpha\right)$

$\tan\alpha=-\tan\left(180^o-\alpha\right)$

$\cot\alpha=-\cot\left(180^o-\alpha\right)$

Ví dụ: $\sin20^o=\sin160^o$ (do $20^o+160^o=180^o$)

$\cos52^o=-\cos128^o$ (do $52^o+128^o=180^o$)

$\tan30^o=-\tan150^o$ (do $30^o+150^o=180^o$)

$\cot75^o=-\cot105^o$ (do $75^o+105^o=180^o$)

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

$\alpha$$0^o$$30^o$$45^o$$60^o$$90^o$$180^o$$\sin\alpha$$0$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$1$$0$$\cos\alpha$$1$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\dfrac{1}{2}$$0$$-1$$\tan\alpha$$0$$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$1$$\sqrt{3}$$||$$0$$\cot\alpha$$||$$\sqrt{3}$$1$$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$0$$||$

Trong bảng, kí hiệu "$||$" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.

Ví dụ: $\sin120^o=\sin\left(180^o-60^o\right)=\sin60^o=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$\cos135^o=\cos\left(180^o-45^o\right)=-\cos45^o=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\tan150^o=\tan\left(180^o-30^o\right)=-\tan30^o=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ; ...

4. Góc giữa hai vectơ

a) Định nghĩa:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm $O$ bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ $0^o$ đến $180^o$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$. Nếu $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90^o$ thì ta nói rằng $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$ hoặc $\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{a}$.

b) Chú ý: Từ định nghĩa ta có $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right)$.

Nhận xét: Khi hai vectơ cùng hướng thì góc giữa hai vectơ bằng $0^o$ ;

Khi hai vectơ ngược hướng thì góc giữa hai vectơ bằng $180^o$.

c) Ví dụ

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có góc $\widehat{B}=50^o$.

Khi đó ta có: $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=50^o$ ; $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=130^o$ ;

$\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=40^o$ ; $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=40^o$ ;

$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=140^o$ ; $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA}\right)=90^o$.