 Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${\vec n_P}$ và ${\vec u_d}.$
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right).$ Ví dụ. Cho $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 2 + 2t\\
z = - 1 - t
\end{array} \right.$ và $\left( P \right):x - y + z - 1 = 0.$
Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$. Giải. Bước 1. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( \alpha \right)$ là ${\vec u_d} = \left( { - 1;2; - 1} \right),{\vec n_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$. Suy ra ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_d},{{\vec n}_P}} \right] = \left( {1;0 - 1} \right).$ Chọn $M\left( {1;2; - 1} \right) \in d \subset \left( \alpha \right).$ Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z - 2 = 0.$ Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right).$ Do đó phương trình tổng quát của $\Delta$ là $\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l} x - y + z - 1 = 0\\ x - z - 2 = 0 \end{array} \right..$ Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $\Delta$ là ${\vec n_1} = \left( {1, - 1;1} \right),{\vec n_2} = \left( {1,0; - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {1;2;1} \right).$ Từ phương trình tổng quát của $\Delta$ ta thay $x = 0 \Rightarrow y = - 3,z = - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 3; - 2} \right) \in \Delta .$ Suy ra phương trình tham số của $\Delta$ là $$\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = - 3 + 2t\\ z = - 2 + t\end{array} \right..$$
516 lượt xem Dạng 3: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). Bài làm: I.Phương pháp giải
Chú ý: Nếu d vuông góc với (P) thì hình chiếu của d lên (P) là điểm H chính là giao điểm của d với (P). Ta viết phương trình đường thẳng II.Bài tập vận dụngBài tập 1: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: Bài giải: Ta tìm mặt phẳng (Q) đi qua d có dạng: m.(x-2z) + n(3x-2y+z-3) = 0. (Q) vuông góc với (P) 1.(m+3n) -2n(-2n) + 1.(-2m + n) = 0 -m + 8n = 0. Chọn m = 8 thì n= 1 ta được phương trình mặ phẳng (Q) là: 11x - 2y - 15z - 3 = 0. Vậy hình chiếu của d lên (P) có phương trình : Bài tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: Bài giải: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với (P). Khi đó vecto pháp tuyến của (Q) là Ta có B(4;1;3) thuộc d nên B thuộc (Q). Ta có phương trình mặt phẳng (Q) là : -4x + y + 7z - 6 = 0. Hình chiếu của d lên (P) là đường thẳng là giao của (P) và (Q). Có: u_{\Delta }=[\vec{n_{P}},\vec{n_{Q}}]=(22;11;11)=11(2;1;1). Mà C(0;\frac{1}{2};\frac{11}{2}) thuộc giao của (P) và (Q) do đó C thuộc . Vậy phương trình đường thẳng là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y-\frac{1}{2}}{1}=\frac{z-\frac{11}{2}}{1}$
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (P), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Nội dung bài viết Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (P): Phương pháp giải. Lấy hai điểm bất kỳ trên d và xác định hình chiếu vuông góc xuống (P), tiếp tục viết phương trình đi qua hai hình chiếu ta được phương trình d. Thứ hai, viết phương trình mặt phẳng (Q) qua d và vuông góc với (P), khi đó d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q). Trong trường hợp d song song hay cắt (P), ta chỉ cần lấy hình chiếu của một điểm xuống mặt phẳng (P). Ví dụ 7. Viết phương trình hình chiếu vuông góc d của đường thẳng d: lên mặt phẳng (P): 2 + 3t + 1 = 0. Giao điểm của (P) và d là M (c; g; 3). Ta tìm được M(-1; 1; -1), cần tìm thêm hình chiếu vuông góc của một điểm khác trên d xuống (P). Ta có A(1; 2; 1) thuộc d, đường thẳng qua A và vuông góc với (P) là g = 2 + t, từ đây ta xác định z = 1 + t. Hình chiếu vuông góc d’ của đường thẳng d trên mặt phẳng (P) là đường thẳng đi qua các điểm M, A’. MA là đường thẳng đi qua điểm A(-1; 1; -1) và có véc-tơ chỉ phương u = (1; –2; 1). Ví dụ 8. Cho mặt phẳng (P): 2t + 2 – 1 = 0, hãy viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d’: y = 1 – t lên (P). Do mp vuông góc nên d || (P), do đó ta chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 1; 1) lên (P) là điểm A’, sau đó viết phương trình d qua A nhận u làm véc-tơ chỉ phương. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 14. Trong không gian Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: – y – 2 2 + 3 trên mặt phẳng tọa độ (Org). Trên đường thẳng d lấy hai điểm A(-1; 2; -3) và B(1; 5; -2). Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B xuống mặt phẳng (Org) suy ra A(-1; 2; 0) và B(1; 5; 0). Khi đó hình chiếu d của d xuống (Org) qua hai điểm A, B. x = -1 + 2t Đường thẳng A’, B có phương trình tham số g = 2 + 3t. Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -3), B(2; 5; 7). Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (Oc). Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên mặt phẳng (O2). Dễ thấy A'(1; 0; -3), B(2; 0; 7) và A’B’ = (1; 0; 10). Đường thẳng AB chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (Org). Bài 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình d: y = 2 + 3t, (P): 3x + 4 – 8 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc. Dễ thấy d cắt mặt phẳng (P) tại điểm A(2; -1; 1) và B(4; 2; -1). Gọi B’ là hình chiếu vuông góc của B trên (P), khi đó ta có B(1; 1; 0). Đường thẳng AB chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P). Đường thẳng x – 1 y – 1. Bài 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d hình chiếu vuông góc d’ của d trên mặt phẳng (P): 3x – y + z – 9 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P), khi đó d = (P)0(Q). Ta có n = (2; -1; 2) là véc-tơ chỉ phương của d; n = (3; -1; 1) là véc-tơ pháp tuyến của (P). Do đó n = (1; 4; 1) là véc-tơ pháp tuyến của (O). Bài 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm I. Biết A(1; 2; 1, B(2; 3; 0), D(-2; 1; 2) và S(0; 4; 3). Gọi M là trung điểm SB và G là trọng tâm tam giác SBD. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng MG trên mặt phẳng (ABCD). |
