Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương Pháp Giải Các Dạng Toán THPT - Số Phức
 

Bộ sách PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THPT là tài liệu tham khảo chuyên sâu nhằm cung cấp cho các thầy, cô giáo và các em học sinh những bài giảng để hoàn thiện và nâng cao kiến thức. Từ đó, hướng tới những sáng tạo trong học tập cũng như mang lại kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia.

Bộ sách gồm 9 cuốn:

1 - Hàm số - Đạo hàm và ứng dụng 2 - Mũ và Logarit 3 - Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng 4 - Số phức 5 - Hình học không gian 6 - Phương pháp tọa độ trong không gian 7 - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 8 - Lượng giác

9 - Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

  
Cuốn SỐ PHỨC bao gồm ba bài giảng:

  • Bài giảng 1. Số phức
  • Bài giảng 2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
  • Bài giảng 3. Dạng lượng giác của số phức - Ứng dụng


Mỗi Bài giảng được trình bày theo ba phần:

  • A. Cơ sở lí thuyết: Nhiều em học sinh thường lúng túng khi gặp các bài toán về số phức nên ở phần này, nhóm tác giả đã trình bày một cách chi tiết cùng các ví dụ minh họa kèm theo.
  • B. Phương pháp giải các dạng toán: Nhiều ví dụ trong phần này được trình bày theo lược đồ:
  • C. Bài tập - Hướng dẫn - Đáp số

Newshop chúng tôi luôn mong muốn bộ sách đáp ứng được nhu cầu thực sự hiện nay “Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng lấy học trò làm trung tâmˮ và hy vọng bộ sách sẽ được các thầy, cô giáo và các em học sinh yêu thích.

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Trụ sở chính: Tòa nhà Viettel, Số 285, đường Cách Mạng Tháng 8, phường 12, quận 10, Thành phố Hồ Chí Minh

Tiki nhận đặt hàng trực tuyến và giao hàng tận nơi, chưa hỗ trợ mua và nhận hàng trực tiếp tại văn phòng hoặc trung tâm xử lý đơn hàng

Giấy chứng nhận Đăng ký Kinh doanh số 0309532909 do Sở Kế hoạch và Đầu tư Thành phố Hồ Chí Minh cấp lần đầu ngày 06/01/2010 và sửa đổi lần thứ 23 ngày 14/02/2022

© 2022 - Bản quyền của Công ty TNHH Ti Ki

08:47:1109/05/2019

Vì vậy, ở bài viết này HayHocHoi.Vn sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn cách giải các dạng bài tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập số phức, các bạn cũng cần nhớ các nội dung về lý thuyết số phức.

I. Lý thuyết về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập hợp số phức: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Số phức (dạng đại số):

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 (

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

2. Biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, (
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
) được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 trong mặt phẳng Oxy (mp phức).
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

3. Phép cộng, trừ số phức

- Cho 2 số phức:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, khi đó:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Số đối của:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 là 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Nếu 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 biểu diễn z, 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 biểu diễn z' thì 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 biểu diễn 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 và 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 biểu diễn 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
.

4. Phép nhân 2 số phức

- Cho 2 số phức:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, khi đó:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 là 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ z là số thực ⇔

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ z là số thuần ảo: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

6. Phép chia số phức khác 0

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

7. Mô-đun của số phức

- Cho số phức:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, thì:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 là căn bậc 2 của số phức 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ 2 căn bậc 2 của a < 0 là

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

9. Phương trình bậc 2 của số phức

- Cho phương trình bậc 2 số phức có dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

- Khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

* Chú ý: Nếu 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 là 1 nghiệm của (*) thì 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 (z≠0).

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
,
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- Cho z = r(cosφ + isinφ) và z' = r'(cosφ' + isinφ')

• 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

• 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• Cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 và 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

II. Các dạng toán về Số phức và cách giải

Dạng 1: Các phép tính về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi tính toán các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: Cho số phức 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 Tính các số phức sau: 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải:

+) Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 +) Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

+) Ta có: 1 + z + z2 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

* Tương tự: Cho số phức 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

c)

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
,
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 tính 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải:

- Đặt 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Từ giải thiết ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép biến đổi để giải quyết bài toán.

° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn

a)

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b)

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải:

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 (*)

 mà 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, và z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

+) TH1:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

+) TH2: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 Dạng 3: Xác định phần thực phần ảo, tìm đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và biểu diễn hình học của số phức

* Phương pháp giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ Loại 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ Loại 2: Biểu diễn hình học của số phức

- Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có biểu diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ Loại 3: Tính Module của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 1: Tìm mô-đun của số phức sau: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải:

- Có

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 = 1  - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, tìm mô-đun của số phức 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải:

- Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ Loại 4: Tìm số đối của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải: 

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải: 

- Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z và giải phương trình 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
.

° Lời giải: 

- Ta có 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Khi đó: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Giải hệ này ta được các nghiệm 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức

- Cách giải: Sử dụng công thức: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 

° Lời giải: 

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Ta có:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Ta có:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
,
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- Cách giải: Sử dụng công thức: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y sao cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

♦ Loại 1: Số phức z thoả mãn về độ dài (module) khi đó ta sử dụng công thức 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta sử dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a < 0 và b = 0.

 - Để z là số thực dương ⇔ a > 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 có phần thực = 3

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 là số thực

c) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 Với 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Theo bài ra,

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 bán kính 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) Gọi N là điểm biểu diễn số phức 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 là số thực ⇔ 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 song song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

c) Gọi I là điểm biểu diễn của số phức 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Khi đó: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
. Chứng minh 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải: 

- Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 hay 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
  (1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
  (1)

- Mặt khác:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Vì 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 nên 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
  (2)

- Từ (1) và (2) có VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* Phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi.

- Lưu ý:

♦ Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 ◊ TH1: a < 0 ⇒ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♦ Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức (x + yi)2 = a + bi, hay x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình có dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

- Cách giải: Xét biệt thức 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
.

 » Nếu Δ=0 phương trình có nghiệp kép: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 » Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Định lý Vi-ét: Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

* Lời giải:

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

c) Gọi 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 là căn bậc 2 của số phức 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- Gọi m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
.

- Vậy ta có hệ: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình có 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và đưa về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

* Lời giải:

- Nhận thấy, z=0 không phải nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho z2, ta được: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Đặt 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, thi (*) trở thành: 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 hoặc 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 hoặc
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
  
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 hoặc 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

c) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

d) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

e) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành: 

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) Nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 (*)

- Đặt 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, khi đó pt (*) trở thành: 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 hoặc 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 và 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
hoặc 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

c) Đáp án: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

d) Đáp án: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* Phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.

- Công thức 1: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Công thức 2: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Số phức z=a+bi ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
,

với 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ thừa ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

b) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

c) 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

* Lời giải:

a) Ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Vậy 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

c) Ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Lại có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 và 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Mặt khác 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

* Lời giải:

- Đặt 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 thì 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Phương trình đã cho trở thành: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 (*)

- Vì z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế  (*) với (z+1) ta được:

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Nên 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 với 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
.

 Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức tìm cực trị

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, tìm số phức z có modul nhỏ nhất.

* Lời giải:

- Đặt 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, khi đó 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
. Vì vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên đường tròn tâm I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn và 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Kẻ MH⊥Ox, theo định lý Talet, ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Lại có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ Vậy số phức cần tìm là: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

° Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
, tìm GTLN và GTNN của |z|.

* Lời giải:

Cách 1: Áp dụng bất đăng thức tam giác, ta có:

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

⇒ 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Với

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

♥ Cách 2: Đặt z=x+iy⇒ z-3+4i=(x-3)+(y+4)i

- Theo giả thiết ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 (*)

- Do 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức
 
Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Nên từ (*) ta có: 

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

Phương pháp giải các dạng toán THPT số phức

- Tương tự trên, ta có min|z|=1; max|z|=9.