Show Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ là dạng toán thường được áp dụng nhiều hơn so với các phương pháp khác. Khi sử dụng phương pháp này bài toán của chúng ta sẽ trở lên đơn giản hơn và cũng dễ nhìn hơn. Phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp khá quen thuộc với mỗi học sinh chúng ta. Khi nghe tới phương pháp này thì trong đầu chúng ta nghĩ ngay tới việc phải thay ẩn cũ ở phương trình đã cho bằng một cái ẩn mới sao cho phương trình mới này có thể giải được. Tuy nhiên với phương trình mũ thì phương pháp này thế nào? Vâng, thưa các bạn với phương trình mũ thì phương pháp này cũng như vậy thôi. Phương pháp đặt ẩn phụ được áp dụng đối với bài toán khi chúng ta không đưa được về dạng cùng cơ số hay không sử dụng được phương pháp logarit hóa. Nhưng để áp dụng được phương pháp đặt ẩn phụ thì chúng ta phải cần có kiến thức nền tảng về dạng phương trình mũ này. Đó là các công thức dùng biến đổi đối với hàm số mũ. Trong video bài giảng này thầy gửi tới chúng ta phương pháp đặt ẩn phụ. Đối với phương trình mũ, khi chúng ta đặt ẩn phụ thì có những bài toán chúng ta hoàn toàn đưa ẩn đã cho về ẩn mới, tuy nhiên có những bài toán khi chúng ta đặt ẩn phụ thì phương trình mới vẫn còn chứa ẩn ban đầu. Và việc giải phương trình này cũng không có gì là khó khăn cả. Khi áp dụng phương pháp này các bạn cần chú ý tới điều kiện của ẩn phụ để loại nghiệm cho thích hợp. Khi giải phương trình mũ thì có một số phương pháp hay được sử dụng:1. Phương pháp đưa về cùng cơ số 4. phương pháp hàm số. Tính tới video này thì thầy đã gửi tới chúng ta 3 phương pháp đầu, chỉ còn phương pháp hàm số. Tuy nhiên trong video bài giảng này thầy cũng lồng một bài tập mà có sử dụng phương pháp hàm số ở một bước nào đó trong khi giải phương trình. Và dưới đây là một số bài tập thầy sẽ hướng dẫn các bạn trong video: Bài tập: Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:a. $ 9^{x^2+x-1}-10.3^{x^2+x-2}+1=0$ b. $ 9^x+2(x-2).3^x+2x-5=0$ c. $ 27^x-27^{1-x}-16(3^x-\frac{3}{3^x})+6=0$ d. $ \log_{x}[\log_{3} (9^x-6)]=1$ Xem thêm: 3 cách giải hay cho 1 phương trình mũ đơn giản
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn! Loại 1: Phương trình dạng: $m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{a}^{f\left( x \right)}}+p=0$
Loại 2: Phương trình dạng: $m.{{A}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( AB \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{\left( B \right)}^{2f\left( x \right)}}=0$
Loại 3: Phương trình dạng: $m.{{A}^{2f\left( x \right)}}+n.{{A}^{f\left( x \right)+g\left( x \right)}}+p.{{A}^{2g\left( x \right)}}=0$
Một số bài tập trắc nghiệm phương trình mũ đặt ẩn phụ có Lời giải chi tiết
Lời giải chi tiết a) Do ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}.{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=1\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}}$ Đặt $t={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\Rightarrow PT\to t+\frac{1}{t}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=2+\sqrt{3} \\ {} t=2-\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$ Với $t=2+\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=\left( 2+\sqrt{3} \right)\Leftrightarrow x=1$ Với $t=2-\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=\left( 2-\sqrt{3} \right)={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1$ b) Đặt $t={{2}^{x}}>0$ khi đó $PT\Rightarrow 2{{t}^{3}}-7{{t}^{2}}+7t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=2 \\ {} t=1 \\ {} t=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=0 \\ {} x=-1 \\ \end{array} \right.$.
Lời giải chi tiết a) Ta có: $PT\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{9}{4} \right)}^{x}}+7.{{\left( \frac{6}{4} \right)}^{x}}-6=0\Leftrightarrow 3{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}+7{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-6=0$ Đặt $t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\,\,\left( t>0 \right)$ ta có: $3{{t}^{2}}+7t-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=\frac{2}{3} \\ {} t=-3\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1$ b) $PT\Leftrightarrow {{2.3}^{2{{x}^{2}}}}-{{17.3}^{{{x}^{2}}+x}}-{{9.3}^{2x}}=0\Leftrightarrow {{2.3}^{2{{x}^{2}}-2x}}-{{17.3}^{{{x}^{2}}-x}}-9=0$ Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}-x}}>0$ ta có: $2{{t}^{2}}-17t-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=-\frac{1}{2}\left( loai \right) \\ {} t=9={{3}^{{{x}^{2}}-x}}\Rightarrow {{x}^{2}}-x=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-1 \\ \end{array} \right.$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=2;x=-1$. A. Chọn B.
Lời giải chi tiết Đặt $t={{3}^{x}}\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow {{9}^{x}}={{t}^{2}}\Rightarrow {{t}^{2}}-5t+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=2 \\ {} t=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{3}^{x}}\,=2 \\ {} {{3}^{x}}\,=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x={{\log }_{3}}2 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$ . Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: $PT\Leftrightarrow {{2}^{x}}+3.\frac{16}{{{2}^{x}}}=16\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{16.2}^{x}}+48=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{x}}=4 \\ {} {{2}^{x}}=12 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x={{\log }_{2}}12 \\ \end{array} \right.$ Do đó $P=2{{\log }_{2}}12={{\log }_{2}}144$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Đặt $t={{5}^{x}}>0$ ta có: ${{t}^{2}}-7t+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=2 \\ {} t=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{5}^{x}}=2 \\ {} {{5}^{x}}=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x={{\log }_{5}}2 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$ Do đó $P=1+{{\log }_{5}}2={{\log }_{5}}10$. Chọn B.
Lời giải chi tiết $PT\Leftrightarrow {{9}^{{{x}^{2}}+x-1}}-\frac{10}{3}{{.3}^{{{x}^{2}}+x-1}}+1=0$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}+x-1}}$ (với $t>0$) Khi đó $PT\to {{t}^{2}}-\frac{10}{3}t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=3 \\ {} t=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}^{2}}+x-1=1 \\ {} {{x}^{2}}+x-1=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1;x=-2 \\ {} x=-1;x=0 \\ \end{array} \right.$ Do đó $T=-2$. Chọn B.
Lời giải chi tiết Ta có: $PT\Leftrightarrow {{3}^{2\left( 1-x \right)}}-{{6.3}^{1-x}}-27=0$ Đặt $t={{3}^{1-x}}>0$ khi đó ${{t}^{2}}-6t-27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=9\Rightarrow {{3}^{1-x}}=9\Leftrightarrow 1-x=2\Leftrightarrow x=-1 \\ {} t=-3\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$ Do đó ${{a}^{2}}+{{2}^{a}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Chọn B.
Lời giải chi tiết $PT\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-{{4.2}^{x-{{x}^{2}}}}=3$. Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}>0$ khi đó $t-\frac{4}{t}=3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=-1\left( loai \right) \\ {} t=4 \\ \end{array} \right.$ Khi đó ${{x}^{2}}-x=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.
Lời giải chi tiết Ta có: $PT\Leftrightarrow {{3}^{3x}}-{{3.3}^{2x}}-16=0$. Đặt $t={{3}^{x}}>0$ ta có: ${{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-16=0\Leftrightarrow t=4\Rightarrow x={{\log }_{3}}4$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: $3-2\sqrt{2}={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$. Đặt $t={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}>0$ Khi đó $PT\Rightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=\sqrt{2}-1={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}} \\ {} t=-\sqrt{2}-1<0\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: $\left( \sqrt{2}-1 \right)\left( \sqrt{2}+1 \right)=1$. Do đó PT $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{-x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}=2\sqrt{2}$ Đặt $t={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}>0$ khi đó $PT\Rightarrow \frac{1}{t}+t=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t\sqrt{2}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=1+\sqrt{2} \\ {} t=-1+\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$ Với $t=1+\sqrt{2}\Rightarrow x=1$ Với $t=-1+\sqrt{2}\Rightarrow x=-1$. Do đó tích các nghiệm của phương trình là $P=-1$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}=2$ Do ${{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}={{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{-x}}$ Đặt $t={{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}\,\,\left( t>0 \right)$ ta có: $t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1=0\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=1$ Suy ra ${{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: ${{2}^{2{{x}^{2}}+1}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{2}^{2x+2}}=0\Leftrightarrow {{2.2}^{2{{x}^{2}}}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{4.2}^{2x}}=0$là Chia cả 2 vế cho ${{2}^{2x}}$ ta được: ${{2.2}^{2\left( {{x}^{2}}-x \right)}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}-x}}+4=0$ Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}$ $\left( t>0 \right)$ ta có: $2{{t}^{2}}-9t+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=4 \\ {} t=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=4 \\ {} {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}^{2}}-x=2 \\ {} {{x}^{2}}-x=1\left( vn \right) \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 1. Chọn D.
Lời giải chi tiết ĐK: $x\ge -1$. Khi đó $PT\Leftrightarrow 1+{{3}^{2\sqrt{x+1}-4x}}={{4.3}^{\sqrt{x+1}-2x}}$ Đặt $t={{3}^{\sqrt{x+1}-2x}}$ $\left( t>0 \right)$ ta có: $3{{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=1 \\ {} t=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$ Với $t=1\Rightarrow {{3}^{\sqrt{x+1}-2x}}=1\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2x=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 0 \\ {} x+1=4{{x}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ Với $t=\frac{1}{3}\Rightarrow {{3}^{\sqrt{x+1}-2x}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2x=-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2x-1\ge 0 \\ {} x+1={{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$ Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$; $x=\frac{5}{4}$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Viết lại phương trình dưới dạng: $\frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+\frac{1}{{{2}^{1-x}}+1}=\frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$ Đặt $\left\{ \begin{array} {} u={{2}^{x-1}}+1 \\ {} v={{2}^{1-x}}+1 \\ \end{array} \right.,\,\,\left( u,v>1 \right)$ Ta có $u.v=\left( {{2}^{x-1}}+1 \right).\left( {{2}^{1-x}}+1 \right)={{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2=u+v$ Phương trình tương đương với hệ $\left\{ \begin{array} {} \frac{8}{u}+\frac{1}{v}=\frac{18}{u+v} \\ {} u+v=uv \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u+8v=18 \\ {} u+v=uv \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=v=2 \\ {} u=9;v=\frac{9}{8} \\ \end{array} \right.$ Với $u=v=2$, ta được: $\left\{ \begin{array} {} {{2}^{x-1}}+1=2 \\ {} {{2}^{1-x}}+1=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$ Với $u=9;v=\frac{9}{8}$$u=v=2$, ta được: $\left\{ \begin{array} {} {{2}^{x-1}}+1=9 \\ {} {{2}^{1-x}}+1=\frac{9}{8} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=4$ Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $x=1$ và $x=4$.
Lời giải chi tiết Đặt $u={{2}^{x}};u>0$ Khi đó phương trình trở thành ${{u}^{2}}-\sqrt{u+6}=6$ Đặt $v=\sqrt{u+6}$, điều kiện $v\ge \sqrt{6}\Rightarrow {{v}^{2}}=u+6$ Khi đó phương trình được chuyển thành hệ $\left\{ \begin{array} {} {{u}^{2}}=v+6 \\ {} {{v}^{2}}=u+6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{u}^{2}}-{{v}^{2}}=-\left( u-v \right)\Leftrightarrow \left( u-v \right)\left( u+v \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u-v=0 \\ {} u+v+1=0 \\ \end{array} \right.$ Với $u=v$ ta được: ${{u}^{2}}-u-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u=3 \\ {} u=-2\left( l \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{2}^{x}}=3\Leftrightarrow x=8$ Với $u+v+1=0$ ta được: ${{u}^{2}}+-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u=\frac{-1+\sqrt{21}}{2} \\ {} u=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\left( l \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{\sqrt{21}-1}{2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{\sqrt{21}-1}{2}$ Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=8$ và $x={{\log }_{2}}\frac{\sqrt{21}-1}{2}$. |
