ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTHÂN THỊ CẨM VÂNDẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 5 THEO ĐỊNH HƯỚNGMÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌCLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁODỤCTHÁI NGUYÊN, NĂM 2020ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTHÂN THỊ CẨM VÂNDẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 5 THEO ĐỊNH HƯỚNGMÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌCNgành: Giáo dục học (Giáo dục Tiểu học)Mã số: 8 14 01 01LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁODỤCNgười hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN THUÝNGÀTHÁI NGUYÊN, NĂM 2020LỜI CAM ĐOANChúng tôi xin cam đoan đề tài “Dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướngmô hình hóa toán học” là công trình nghiên cứu của riêng mình và không trùngvới kết quả nghiên cứu của tác giả khác. Các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trongđề tài là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nào khác, cácthông tin trích dẫn trong đề tài đã được chỉ rõ nguồn gốc.Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020Tác giả luận vănThân Thị Cẩm VâniLỜI CẢM ƠNTrong quá trình thực hiện luận văn em đã nhận được sự giúp đỡ từ Nhà trường,Ban Chủ nhiệm Khoa và các thầy cô giáo bộ môn cùng toàn toàn thể các bạn khoaGiáo dục Tiểu học. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô và các bạn trongKhoa.Xin trân trọng cám ơn sự hợp tác, giúp đỡ từ phía giáo viên, học sinh cáctrường Tiểu học Thị trấn Thanh Sơn trong thời gian em thực nghiệm luận văn.Đặc biệt, cho phép em được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo TS. Trần ThuýNgà đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em để chúng em có khả năng khai thác và thựchiện luận văn này.Do điều kiện, chủ quan và khách quan, luận văn không tránh khỏi thiếu sót.Em rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và quý bạn đọc để tiếp tụchoàn thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu của luận văn.Em xin trân trọng cảm ơn!Thái Nguyên, ngày 17 tháng 6 năm 2020Học viên thực hiệnThân Thị Cẩm VâniiMỤC LỤCLỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................... iLỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... iiMỤC LỤC ................................................................................................................... iiiDANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................................................... vDANH MỤC CÁC BẢNG .......................................................................................... viDANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ .................................................... viiMỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 11. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................... 12. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 23. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................................... 24. Giả thuyết khoa học .................................................................................................. 25. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................................ 26. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................................. 37. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 38. Đóng góp của luận văn ............................................................................................. 49. Cấu trúc của luận văn................................................................................................ 4Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................... 51.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề ..................................................................................... 51.1.1. Trên thế giới........................................................................................................ 51.1.2. Ở Việt Nam ......................................................................................................... 71.2. Mô hình và mô hình hóa toán học ......................................................................... 81.2.1. Quan niệm........................................................................................................... 81.2.2. Quy trình mô hình hóa ...................................................................................... 151.2.3. Vai trò của phương pháp MHH ........................................................................ 231.3. Mục tiêu, nội dung của môn Toán lớp 5.............................................................. 241.3.1. Mục tiêu ............................................................................................................ 241.3.2. Nội dung ........................................................................................................... 251.4. Đặc điểm tâm lí lứa tuổi của học sinh lớp 5 ........................................................ 3431.5. Thực trạng dạy học môn Toán theo định hướng MHH ở một số trường tiểuhọc hiện nay ................................................................................................................ 351.5.1. Mục đích khảo sát ............................................................................................. 351.5.2. Đối tượng khảo sát............................................................................................ 351.5.3. Nội dung khảo sát ............................................................................................. 351.5.4. Phương pháp khảo sát....................................................................................... 361.5.5. Phân tích kết quả khảo sát ................................................................................ 36KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ........................................................................................... 41Chương 2. DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 5 THEO ĐỊNH HƯỚNG MÔHÌNH HOÁ TOÁN HỌC ......................................................................................... 422.1. Quy trình dạy học môn toán lớp 5 theo định hướng MHH toán học................... 422.2. Ví dụ minh hoạ .................................................................................................... 44KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ........................................................................................... 79Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM................................................................ 803.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm .......................................................................... 803.2. Thời gian và đối tượng thực nghiệm sư phạm..................................................... 803.2.1. Thời gian thực nghiệm sư phạm ....................................................................... 803.2.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 803.3. Quy trình thực nghiệm......................................................................................... 803.4. Các phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm....................................................823.5. Kết quả thực nghiệm............................................................................................ 823.5.1. Phân tích kết quả thực nghiệm về mặt định lượng ........................................... 823.5.2. Phân tích kết quả thực nghiệm về mặt định tính .............................................. 863.6. Kết luận sư phạm ................................................................................................. 91KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................................... 92KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ........................................................................... 93CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN.................. 95TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 96PHỤ LỤC4DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮTBT:Bài tậpDH:Dạy họcGV:Giáo viênHS:Học sinhMHH:Mô hình hóaNNTH:Ngôn ngữ tổ hợpSGK:Sách giáo khoaTB:Trung bìnhTHCS:Trung học cơ sởTHPT:Trung học phổ thông5DANH MỤC CÁC BẢNGBảng 1.1. Mức độ thường xuyên của việc dạy học theo định hướng MHH toánhọc ở một số trường Tiểu học hiện nay ................................................... 36Bảng 1.2. Những khó khăn khi thực hiện phát triển dạy học môn Toán theo địnhhướng MHH ở một số trường tiểu học hiện nay...................................... 38Bảng 1.3. Mức độ thường xuyên về việc nhận thức của HS theo định hướngMHH toán học ở một số trường Tiểu học hiện nay ................................. 39Bảng 1.4. Những khó khăn về việc nhận thức của HS theo định hướng MHHtoán học ở một số trường Tiểu học hiện nay ........................................... 40Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra trước khi thực nghiệm .................................................. 83Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm ..................................................... 83Bảng 3.3. Kết quả xử lý số liệu thống kê lớp 5A2 và lớp 5A1 ................................ 856DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼSơ đồ 1.1.13Các hoạt động của quá trình toán học hóa ..........................................Sơ đồ 1.2.16Quy trình mô hình hóa (Pollak, 1979)................................................Sơ đồ 1.3.16Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler 1991) ..........................Sơ đồ 1.4.18Quy trình mô hình hóa (theo Blum và Lei, 2006) ..............................Sơ đồ 1.5.Quy trình mô hình hoá mô phỏng theo Stillman, Galbraith,Brown, Edwards........................................................................... 20Sơ đồ 1.6.Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa trong dạy học Toán ....... 21Sơ đồ 1.7.Phân loại các tình huống có vấn đề ............................................... 22Biểu đồ 3.1. Tỉ lệ phần trăm kết quả kiểm tra trước thực nghiệm lớp 5A1 vàlớp 5A2 ........................................................................................ 83Biểu đồ 3.2. Tỉ lệ phần trăm kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm lớp 5A1và lớp 5A2 ................................................................................... 84viiMỞ ĐẦU1. Lí do chọn đề tàiTrong đời sống xã hội, giáo dục và đào tạo có một vai trò quan trọng đối vớivận mệnh của đất nước. Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI của Ban chấphành Trung ương Đảng ghi rõ: “Phát triển Giáo dục và Đào tạo là nâng cao dân trí,đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình Giáo dục từ chủyếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học.Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáodục gia đình xã hội” [4]. Nghị quyết Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng lầnthứ hai (khóa VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục và đào tạo trong thờikỳ mới đã yêu cầu ngành giáo dục phải “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dụcđào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo củangười học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đạivào quá trình dạy - học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho họcsinh” [3]. Công nghệ thông tin chính là công cụ đắc lực hỗ trợ đổi mới nội dung,phương pháp giảng dạy, hỗ trợ đổi mới quản lý giáo dục nhầm năng cao chất lượngphát triển giáo dục, thực hiện mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục theo định hướng“chuẩn hóa, hiện đại hóa”.Trong dạy môn Toán cũng vậy, việc ứng dụng công nghệ thông tin cùng cácmô hình hoá toán học trong dạy Toán hiện nay nhằm hình thành cho HS tư duy tíchcực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Đặc trưngcủa toán học là trừu tượng hóa cao độ và có tính logic chặt chẽ. Trong dạy học toánngoài suy diễn lôgic phải chú trọng nguyên tắc trực quan quy nạp, trực giác toán học.Với sự tham gia của công nghệ thông tin các mô hình hoá toán học đã tác động mạnhmẽ tới mọi thành tố của quá trình dạy học cũng như tác động tới đổi mới phươngpháp dạy môn Toán. Với việc sử dụng phương pháp “Mô hình hóa trong dạy học mônToán” ở trường phổ thông sẽ giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảysinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềmdạy học, các mô hình hoá toán học. Từ đó, học sinh sẽ phát huy được tính tích cựchọc tập của học sinh, phát triển các năng lực toán học, giúp học sinh có thể tự trả lờicâu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giảithích các hiện tượng thực tiễn?”.1Trong thực tế dạy học hiện nay ở trường tiểu học của Việt Nam, Phương phápmô hình hóa vẫn còn khá mới mẻ đối với giáo viên trong dạy học toán, nhiều hoạtđộng mô hình hóa Toán học vẫn chưa được thể hiện một cách rõ ràng. Học sinhthường được giới thiệu về mô hình hóa ở bậc trung học cơ sở, trong khi ở bậc tiểu họccác em cũng cần được giới thiệu về mô hình hóa vì hàng ngày trên lớp học các em sẽgặp rất nhiều bài toán cần sử dụng đến mô hình toán học. Cũng chính vì việc đượcgiới thiệu muộn như vậy mà kinh nghiệm giải quyết vấn đề của học sinh còn hạn chế,các em còn gặp khó khăn khi xác định mục tiêu của bài toán và thường không đưa rađầy đủ kiến thức toán, quá trình, kỹ năng biểu diễn xã hội mà học sinh cần, từ đó mụctiêu của tiết học cũng như bài các bài tập sẽ không được giải quyết một cách triệt để.Chính vì vậy khi học toán, nếu không tạo ra được sự hứng thú, sự tò mò, thích khámphá ở học sinh thì mỗi tiết học sẽ trở nên nhàm chán, rời rạc và đương nhiên sẽ khôngđem lại hiệu quả giáo dục như chúng ta muốn.Với những lý do trên, chúng tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học mônToán lớp 5 theo định hướng mô hình hóa toán học”.2. Mục đích nghiên cứuTrên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực tiễn về mô hình hóa toán học để đề xuấtquy trình sư phạm dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán họcgóp phần thực hiện mục tiêu giáo dục tiểu học, nâng cao chất lượng dạy học.3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu- Khách thể nghiên cứu: Quá trình chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sangmột vấn đề toán học trong dạy học môn Toán lớp 5.- Đối tượng nghiên cứu: Quy trình dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướngmô hình hoá toán học.4. Giả thuyết khoa họcNếu đề xuất được quy trình dạy học môn Toán theo định hướng MHH Toánhọc ở lớp 5 thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả NNTH, chất lượng dạy học môn Toánmôn Toán ở tiểu học.5. Nhiệm vụ nghiên cứu- Nghiên cứu lý luận về mô hình, mô hình hóa toán học.2- Nghiên cứu về mục tiêu, nội dung dạy học giải toán lớp 5.- Nghiên cứu về đặc điểm tâm lý học sinh cuối cấp tiểu học.- Nghiên cứu việc thực trạng dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng môhình hoá toán học.- Đề xuất quy trình phát triển dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng môhình hoá toán học.- Tổ chức thực nghiệm sư phạm xem xét tính khả thi và hiệu quả của quy trìnhđã đề xuất.6. Phạm vi nghiên cứu- Dạy học môn toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học.7. Phương pháp nghiên cứu7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luậnSử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu: Thu thập tài liệu, phân tích,tổng hợp,… để nghiên cứu lý luận về mô hình, mô hình hóa toán học, nghiên cứu đặcđiểm tâm lí lứa tuổi học sinh lớp 5; nghiên cứu mục tiêu, nội dung của môn Toán lớp5.7.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn- Phối hợp các phương pháp nghiên cứu thực tiễn để làm rõ thực trạng và kiểmnghiệm hiệu quả khoa học của luận văn.- Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn giáo viên, cán bộ quản lý trườngTiểu học nhằm tìm hiểu thực trạng dạy học mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 5và ý kiến đánh giá quá trình tác động của thực nghiệm sư phạm.- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: Nghiên cứu phiếu học tập, vở bài tập củaHS để tìm hiểu thực trạng dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toánhọc hiện nay, sản phẩm hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình thực hiệnnhằm đánh giá hiệu quả của các biện pháp đề xuất.- Phương pháp chuyên gia: xin ý kiến các chuyên gia về các vấn đề thuộcphạm vi nghiên cứu của đề tài.- Phương pháp thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thivà hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.- Phương pháp nghiên cứu trường hợp: nhằm góp phần khẳng định tính hiệuquả của các biện pháp đề xuất.37.3. Phương pháp xử lý thông tinSử dụng phương pháp thống kê để xử lý số liệu sau khi điều tra thực trạng, sốliệu của quá trình thực nghiệm sư phạm.8. Đóng góp của luận văn8.1. Đóng góp về mặt lí luận- Luận văn đã tổng quan về mô hình, mô hình hoá toán học.- Đã phân tích được đặc điểm tâm lí lứa tuổi học sinh lớp 5 và tìm hiểu về mụctiêu, nội dung của môn Toán lớp 5.- Xây dựng được quy trình thực hiện dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướngmô hình hoá toán học cùng các ví dụ minh hoạ.8.2. Đóng góp về mặt thực tiễn- Luận văn đã tìm hiểu và đánh giá về thực trạng dạy học môn Toán lớp 5 theođịnh hướng mô hình hoá toán học.- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để khẳng định tính khả thi, hiệu quả củaquy trình đã đề xuất và vận dụng vào thực tiễn dạy học.- Luận văn có thể triển khai rộng rãi trong môn Toán tiểu học và được sử dụnglàm tư liệu tốt cho giáo viên tiểu học tham khảo.9. Cấu trúc của luận vănNgoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.Chương 2: Dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học.Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.4Chương 1CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề1.1.1. Trên thế giớiMột trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục toán học trong suốt ba thập kỉqua đó là mô hình toán học và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn cuộcsống. Nói tổng quát hơn, đó chính là mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn (thế giớibên ngoài toán học). MHH trong giáo dục toán chính thức xuất hiện đầu tiên tại Hộinghị của Freudenthal năm 1968. Tại đây các nhà giáo dục toán đã đưa ra nhiều vấn đềliên quan đến MHH. Tại sao phải dạy toán để có ích? Tại sao nhiều HS không thể sửdụng kiến thức toán học để giải quyết những vấn đề thực tế mặc dù đạt được kết quảxuất sắc về môn học này? Dạy toán cần phải tiến hành sao cho HS có thể áp dụngtoán vào những tình huống đơn giản trong cuộc sống. Mối liên hệ giữa toán và MHHtiếp tục được đề cập đến tại Hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977) bao gồm cácthảo luận về những khía cạnh của toán học ứng dụng trong giáo dục. Dấu mốc quantrọng là việc MHH được đưa vào nhà trường sau nghiên cứu của Pollak năm 1979:Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác ở nhà trường. Theo ông, giáo dục toánphải có trách nhiệm dạy cho HS cách sử dụng toán trong cuộc sống hằng ngày. Từđó, dạy và học MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàncầu (Blum, 2006, [17]).Nghiên cứu của Hội đồng quốc tế về giảng dạy toán học ICMI (InternationalCommission on Mathematical Instruction) lần thứ 14 năm 8 2007 về “Mô hình hoá vàứng dụng trong giáo dục toán học” đã trình bày tương đối đầy đủ về tăng cường vậndụng phương pháp MHH trong dạy học Toán; năng lực MHH toán học; cấp độ MHH;đánh giá các giai đoạn của quá trình MHH; vai trò của phương pháp MHH trong họctập môn Toán; MHH trong đào tạo GV; điều kiện triển khai MHH trong lớp học,MHH và áp dụng chương trình đánh giá HS quốc tế PISA. Ngoài ra, từ hội nghị lầnthứ 4 (2005) đến hội nghị lần thứ 8 (2013) của Hiệp hội nghiên cứu giáo dục toánchâu Âu CERME (Congress of European Research in Mathematics Education), MHHvà áp dụng toán là một trong những chủ đề chính của thảo luận: “MHH liên kết giữa5toán học trong nhà trường với cuộc sống, công việc và việc đưa ra quyết định. Nó làquá trình lựa chọn và sử dụng những kiến thức toán học để phân tích tình huống thựctế, hiểu chúng rõ hơn và ra quyết định phù hợp”. Có nhiều quan điểm khác nhautrong các nghiên cứu về mô hình toán học, cụ thể:Quan điểm “thực tế” quan tâm đến khả năng người học áp dụng toán để giảiquyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học, kinh tế, công nghiệp,… giúp họhiểu viết hơn về thế giới thực và giải quyết vấn đề trong thực tiễn cuộc sống. Quátrình MHH là một quá trình hoàn chỉnh, được thực hiện như một nhà toán học ứngdụng, với mục đích giải quyết một vấn đề thực tế chứ không phải để phát triển một líthuyết mới như một quan điểm nhận thức luận. Một số nhà giáo dục toán tiêu biểu chocách tiếp cận này là các tác giả Pollak, Burkhardt, Galbraith, Stillman, Kaiser vàSchwarz.Quan điểm “giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được phát triển trong lĩnh vựcMHH thuộc quan điểm này như Blum, Niss, Blomh∅j, Maab, Stillman. Quan điểmnày chú trọng tích hợp MHH vào dạy học toán; thông qua các ví dụ thực tế và mốiquan hệ của chúng đối với toán học để xây dựng việc hiểu các khái niệm và thúc đẩyquá trình học toán; quan tâm đến các bước của quá 9 trình MHH, nhiệm vụ MHH,phát triển năng lực MHH cũng như ý nghĩa của việc học toán [15].Quan điểm “phản ánh”: nhấn mạnh vai trò, chức năng của toán học nói chung,của MHH toán học nói riêng đối với sự phát triển tư duy phê phán, tư duy phản ánhcủa người học trước những tình huống trong xã hội, y tế và môi trường. Cả kinh tế vĩmô và vi mô đều được xây dựng dựa trên những mô hình toán học. Nó góp phần vàosự phát triển của xã hội [15].Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn đặc biệt được các nước OECD(Organisation for Economic Cooperation and Development) quan tâm thông quachương trình đánh giá HS quốc tế PISA. Năng lực toán học, theo PISA là “khả năngcủa mỗi cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong thế giới…”. PISA nhấnmạnh đến khả năng sử dụng kiến thức toán học ở nhiều tình huống và ngữ cảnh khácnhau. Ở nhiều nước, kết quả PISA được thảo luận để đổi mới chương trình môn Toánở nhà trường, đặc biệt là vấn đề MHH toán học. Ứng dụng của toán học trong thực6tiễn để hiểu thế giới tốt hơn, giải thích các hiện tượng, giải quyết vấn đề, ra quyếtđịnh.71.1.2. Ở Việt NamDạy học MHH toán học vẫn còn khá mới mẻ đối với GV trong nhà trường ởViệt Nam. Chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc vận dụng phương pháp dạyhọc này trong dạy và học toán ở nhà trường tiểu học. Cho đến bây giờ, các công trìnhnghiên cứu về MHH toán học chủ yếu thuộc cấp trung học cơ sở (THCS) và trung họcphổ thông (THPT), có thể kể đến một số tác giả với các công trình.Tác giả Nguyễn Thị Tân An [1] trong nghiên cứu của mình cũng đã đưa ramột cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phùhợp với chương trình. Nghiên cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bướccủa quá trình toán học hóa giúp HS có thể định hướng khi đứng trước một tình huốngtoán học hóa, GV có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học. Ngoài ra, nghiên cứu cũngchỉ rõ mối liên hệ giữa các năng lượng hiểu biết định lượng và quá trình toán học hóa.Do đó, việc giải quyết những tình huống chứa đựng các yếu tố định lượng thông quaquá trình toán học hóa sẽ giúp phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của HS.Đặc biệt nghiên cứu này đã xây dựng được thang đánh giá giúp đo các năng lực hiểubiết định lượng khi HS giải quyết một tình huống toán học hóa chứa đựng yếu tố địnhlượng. Mỗi năng lực được chấm điểm trong ba giai đoạn của quá trình toán học hóatheo bốn mức từ 0 đến 3. Tác giả Phan Anh [2] “Góp phần phát triển năng lực toánhọc hóa tình huống thực tiễn cho HS THPT qua dạy học Đại số và Giải tích” cũng đãlàm rõ việc xây dựng mô hình toán học hóa các tình huống thực tiễn trong quá trìnhdạy học HS phổ thông thông qua phần Đại số và Giải tích. Nghiên cứu của tác giảBùi Huy Ngọc [12] trong nghiên cứu “Tăng cường khái thác nội dung thực tế trongdạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễncho HS bậc THCS” đã xây dựng các biện pháp khai thác nội dung thực tế trong dạyhọc nội dung Số học và Đại số ở trường THCS nhằm phát triển năng lực vận dụngtoán học trong thực tiễn cho HS.Trong nghiên cứu gần đây của tác giả Nguyễn Danh Nam đã trình bày kháiquát về “Quy trình phát triển năng lực MHH Toán học cho HS THPT”. Quá trìnhMHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đềtrong sách giáo khoa dưới góc nhìn của toán học. Quá trình này giúp HS hình8dung ra được các giai đoạn chuyển từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học,từ mô hình toán học sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán; từ kết quảtoán rút ra những nhận xét phản hồi. Qua đó, giúp HS tìm hiểu sâu và nắm chắckiến thức toán học. Ngoài ra, sử dụng MHH toán học trong dạy học giúp học HSphát triển các kĩ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theophương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. Năng lực phân tích vàgiải quyết vấn đề thực tiễn cũng được quan tâm khi sử dụng phương pháp này bởicác quy trình MHH giúp HS rèn luyện các thao tác tư duy toán học như phân tíchvà tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống hóavà đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp… Qua đó, tăng cường tính liên môn như Địalí, Khoa học, Lịch sử, Môi trường. Những kết quả này sẽ là cơ sở cho nhữngnghiên cứu tiếp theo về khả năng vận dụng quy trình MHH toán học trong dạy họctiểu học hiện nay, đặc biệt là tiếp cận hướng tăng cường đưa các bài toán thực tiễnvào chương trình SGK môn Toán.1.2. Mô hình và mô hình hóa toán học1.2.1. Quan niệm1.2.1.1. Mô hìnhCó nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số cách hiểuthường sử dụng:Mô hình là một biểu tượng trong đầu hay một hệ thống đã được vật chất. Hệthống này phản ánh hay tái hiện đối tượng nghiên cứu có thể thay cho nó và khinghiên cứu hệ thống này ta thu được những thông tin mới về đối tượng đó (V.A.Shoff) [13]).Mô hình có thể được hiểu là đối tượng vật lí (ví dụ như mô hình hình khônggian), mô hình trong trí não sử dụng trong nhiều ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc môhình tổng quát (như tiên đề của hình học Ơclit).Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi đãđược đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của ngườigiải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống thực tếban đầu (Blum và Niss, 1991, [18]).9Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấutrúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Vềmặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý. (Swetz vàHartzler, 1991, [23]).Tóm lại, “Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thểthấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thểthao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật.”Như vậy, mô hình có một số đặc trưng cơ bản sau đây:* Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứuMô hình là sản phẩm của quá trình hành động nhằm đạt được quá trình nhậnthức nên mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chấtnào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấuvới vật gốc.Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và môhình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chínhcủa thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới. Ngày nay, với sự phát triểncủa khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô phỏngđối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó cóthể dự báo được những hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn.* Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duyMô hình ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể.Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã bỏ đi những dấu hiệu không bản chất,chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đãđược lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép conngười sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Như vậy, quá trìnhxây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực.* Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốcMột mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó củavật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hìnhđể mô tả chúng. Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát vềđối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản.10* Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình khôngphải là cái bất biếnPhát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiệnđược tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó môhình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình cóthể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọngtrong việc phán đoán tình huống thực tiễn. Trong dạy học môn Toán ở trường tiểuhọc, mô hình toán học là một cấu trúc toán học (hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ, biểu đồ,biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử,…) gồm các kí hiệu và các quan hệtoán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay mộtđối tượng thực được nghiên cứu. Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sửdụng ngôn ngữ toán học để mô tả hiện thực khách quan. Thông qua mô hình, ta có thểthao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật nhưngđiều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng củamô hình đó.1.2.1.2. Mô hình hóaÝ tưởng sử dụng mô hình và MHH trong dạy học được đề xuất bởi Aristides C.Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm: “MHH là quá trình tạora các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó”. MHH nhấn mạnh đến các quá trìnhchuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tế, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sauđó quay lại thực tế xem xét tính hiệu quả của mô hình đã sử dụng để mô tả và phântích và đối chứng phương pháp giải quyết tình huống thực. Từ quan điểm này, chúngtôi nghiên cứu MHH ở hai cách tiếp cận sau:* MHH như một phương pháp dạy họcCung cấp cho HS hiểu khái niệm của vấn đề; giúp HS đọc, hiểu, thiết lập vàgiải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tưduy phê phán. Để áp dụng phương pháp này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bấtcứ lĩnh vực nào mà HS quan tâm hoặc yêu thích và thiết kế các mô hình toán học đểdạy. Sẽ có 7 bước dạy học với MHH đó là:- Đưa ra vấn đề: Đưa cho cả lớp mô tả ngắn gọn về chủ đề, hướng dẫn HS đặtcâu hỏi về chủ đề đó.11- Đơn giản hóa vấn đề: GV lựa chọn một hoặc vài câu hỏi để phát triển kiếnthức.- Thiết lập vấn đề: GV bắt đầu thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra giả thuyết,tính toán và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử dụng kiến thức toán học trongbài để giải quyết.- Phát triển kiến thức của bài học: GV đưa ra khái niệm, định nghĩa hay tínhchất có liên hệ chặt chẽ với vấn đề vừa giải quyết.- Trình bày ví dụ tương tự: Ngay sau các bước trên, các vấn đề tương tự đượcnêu ra, trình bày ứng dụng.- Thiết lập mô hình và lời giải cho vấn đề xuất phát từ mô hình: GV đề nghịHS quay lại vấn đề và tổng quát hóa, giải nó.- Hiểu lời giải và cải tiến mô hình: HS phải đánh giá lời giải. Điều này chophép HS hiểu sâu hơn về kết quả đạt được.* Mô hình hoá như một phương pháp nghiên cứuGiúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnhvực khác. HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh cá nhân. Có thểchia làm 5 giai đoạn sau đây:- Lựa chọn chủ đề: Nhóm được tạo bởi ít nhất 4 HS và mỗi nhóm lựa chọn mộtchủ đề theo sở thích. Các nhóm với sự hướng dẫn của GV, chịu trách nhiệm về sự lựachọn và cách thức tổ chức nhóm. GV gợi ý những dữ liệu có thể thu nhập qua lịch sửnghiên cứu hoặc qua phỏng vấn chuyên gia.- Làm quen với chủ đề mô hình: Ở giai đoạn này HS làm quen với chủ đề vàcó dữ liệu. GV hướng dẫn đặt các câu hỏi mà các em đã tổng hợp được từ dữ liệu.- Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức: sau khi đơn giản vấn đề và lựa chọncâu hỏi để trả lời, GV bắt đầu thiết lập vấn đề từ câu hỏi để giải.- Thiết kế mô hình, giải và đối chiếu: Khi vấn đề được thiết lập, nhóm cố gắngchi tiết mô hình làm cho lời giải cụ thể hơn cho từng câu hỏi, áp dụng lời giải để dựđoán các kết quả khác.- Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình.Từ những cách tiếp cận trên, có hai hướng khai thác MHH. Thứ nhất, mô hìnhđươc sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như là 16 một phương tiện12để dạy và học ở trường. Thứ hai, mô hình được sử dụng để phục vụ nghiên cứu khoahọc.13Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu tập trung nhiều vào hướng khai thác thứ nhất. Barbosa[14] cho rằng mô hình đóng vai trò quan trọng trong dạy học toán. MHH là môitrường để HS tìm hiểu, khám phá các kiến thức toán học cũng như các kiến thức liênmôn khác. Đây là phương pháp tiếp cận tích cực, hướng HS làm trung tâm, kết nối vớithực tiễn và rèn luyện các kĩ năng toán học, giải quyết vấn đề, lập giả thuyết, toán họchóa, biểu diễn bội và tư duy phê phán,…Nó là một phương tiện để phát triển các ýtưởng toán học và giúp HS hiểu được bản chất các khái niệm toán học.Tóm lại, có thể nói mô hình được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nàođó, mô hình toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạngngôn ngữ toán học, trong đó MHH là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giảiquyết một vấn đề nào đó. Quá trình này tuân theo một quy trình sử dụng các quy tắcđặc biệt để thành lập giả thuyết hay cấu trúc toán học như; công thức, thuật toán,bảng biểu, biểu đồ, biểu tượng,... để từ đó HS có cái nhìn rõ ràng hơn về các vấn đềtồn tại trong thực tiễn.1.2.1.3. Toán học hóaFreudenthal (xem Van den Heuvel-Panhuizen, 2003) quan niệm rằng “toánhọc có quan hệ mật thiết với thực tế” và “toán học là kết quả hoạt động của conngười”. Vì vậy, học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có sẵn mà học toán là quátrình thiết lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế hay trong nội tại toán học đểxây dựng lại kiến thức toán và ông gọi quá trình đó là toán học hóa (mathematization).Sau đó, Treffer (xem Gellert và Jablonka, 2007, [20]) đã trình bày khái niệmnày rõ ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của toán học hóa trongbối cảnh giáo dục:- Toán học hóa theo chiều ngang: chỉ quá trình mô tả một vấn đề thực tế theongôn ngữ toán học để có thể giải quyết vấn đề đó với công cụ toán..- Toán học hóa theo chiều dọc: là quá trình xảy ra trong thế giới toán học.Thông qua quá trình này, HS đạt được một trình độ toán học cao hơn so với trước đó.Trong thực tế ranh giới của hai quá trình này không phải luôn luôn rõ ràng. Sơđồ dưới đây biểu diễn một số hoạt động có thể xuất hiện khi thực hiện quá trình toánhọc hóa theo hai chiều (De Lange, 1996, [19]):14Các hoạt động của toán họchóa theo chiều dọcPhát biểu một khái niệm toán học mới Chứng minh các quy tắcBiểu diễn mối quan hệ toán học bởi một công thức. Sử dụng các phươngpháp giải khác nhauKhám phá các quy luậtKhám phá các mối quan hệ, hình dung vấn đềtheo những cách khác nhauChuyển một vấn đề thực tế sang một mô hình toán học, nhận ra nhữngnội dung toán trong tình huống được choCác hoạt động của toán học hóatheo chiều ngangSơ đồ 1.1. Các hoạt động của quá trình toán học hóaNhư vậy, theo quan điểm này, quá trình toán học hóa xảy ra không chỉ khi giảiquyết một vấn đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề toán học, nhằm khámphá các cấu trúc toán học. Để có thể rèn luyện cho HS khả năng vận dụng tốt các trithức toán học vào đời sống thực tiễn thì phải rèn luyện cho HS khả năng xây dựngtình huống đó bằng ngôn ngữ toán học.1.2.1.4. Mô hình hóa toán họcHiện nay có rất nhiều định nghĩa mô tả khái niệm MHH toán học được chia sẻtronglĩnh vực giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn.Theo định nghĩa MHH toán học của Singapore: “Mô hình hóa toán học: làquá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán học để biểu diễn và giải quyếtcác vấn đề thế giới thực tiễn”. Thông qua MHH toán học, HS học cách lựa chọnvà áp dụng một loạt các kiểu dữ liệu, các phương pháp và công cụ toán học phùhợp trong việc giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn. Cơ hội để xử lí các dữ liệuthực tế và sử dụng các công cụ toán học để phân tích dữ liệu nên là một phần củaviệc học tập toán học ở tất cả các cấp.15Theo tài liệu của Nguyễn Danh Nam [11, tr.16] về MHH toán học: “Để vậndụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế, người taphải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp chophép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này được gọi là mô hình hoá toán học.”Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng để MHH là các đồ thị, phương trình(công thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuậttoán. MHH toán học cho phép HS kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ rakhả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn,phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn.Từ những định nghĩa về MHH toán học, chúng tôi có nhận xét: MHH toán họclà toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng vớimọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ 19 bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyếtđịnh một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giákết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình,lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý. Tuy nhiên, nếu nóimột cách ngắn gọn thì MHH toán học chỉ là quá trình giải quyết những vấn đề thực tếbằng công cụ toán học.Lịch sử hình thành và phát triển toán học đã cho thấy toán học có nguồn gốc từthực tế, chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với các nội dung toánhọc. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lý thuyết toán học.Toán học không phải là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ mà được phát sinh và pháttriển do nhu cầu thực tế của cuộc sống, trở lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn vàthúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bàitoán do chính thực tiễn đặt ra.Một trong những lí do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn của chươngtrình giáo dục ở hầu hết các nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trong thựctiễn; toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau trong nhiều môn học như vậtlí, hóa học, sinh học, địa lí, kĩ thuật, trong công việc và cuộc sống hằng ngày của mỗingười.Bên cạnh việc cung cấp cho HS những kiến thức và kỹ năng liên quan đến toánhọc như khái niệm, định lí, công thức, quy tắc thì dạy toán cần giúp HS phát triển kỹ16