Gọi A,B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x+1x . Tính khoảng cách AB .
A.AB=4 .
B.AB=32 .
C.AB=22 .
D.AB=25 .
Đáp án và lời giải
Đáp án:D
Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có y′=1−1x2=0⇔x=1x=−1
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A−1;−2,B1;2 , suy ra AB=25 .
Vậy đáp án đúng là D.
Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?
Bài tập trắc nghiệm 60 phút Cực trị của hàm số - Hàm số và Ứng dụng - Toán Học 12 - Đề số 20
Làm bài
Chia sẻ
Một số câu hỏi khác cùng bài thi.
-
Biết đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị như hình vẽ bên, tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số -
Tìmcácgiátrịcủathamsố
đểđồthịhàmsốcóbađiểmcựctrị . Đồngthờibađiểmcựctrịđócùngvớigốctọađộtạothành 1 hìnhthoi. -
Biết
lànguyênhàmcủahàmsố. Hỏiđồthịcủahàmsốcóbaonhiêuđiểmcựctrịtrongkhoảng? -
Hàmsố
đạtcựctiểutạikhi? -
Gọi
là hai điểm cực trị của hàm sốTính giá trị của biểu thức -
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sauHàm sốđạt cực tiểu tại điểm -
Hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số
. -
Gọi
là hai điểm cực trị của hàm sốTính giá trị của biểu thức -
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=23x3−mx2−23m2−1x+23 có hai điểm cực trị có hoành độx1, x2 sao chox1x2+2x1+x2=1.
-
Cho hàm số:
. Tìmđể đồ thị hàm số có đúng một cực trị. -
Cho hàm số y=x3−3x2+2 có đồ thị làC. Gọi A,B là các điểm cực trị củaC. Tính độ dài đoạn thẳngAB?
-
Hàmsố
đạtcựcđạitạivàđạtcựctiểutại. Khiđógiátrịcủalầnlượtlà: -
[Mức độ 2] Cho hàm số y=fx có đạo hàm f′x=x2x−1x+32−x, ∀x∈ℝ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Hàmsố
đạtcựcđạitạivàđạtcựctiểutại. Khiđógiátrịcủalầnlượtlà: -
Hàmsốnàosauđâykhôngcócựctrị?
-
Cho hàm số y=−14x4+32x2−54 có đồ thị C . Tính diện tích của tam giác tạo thành từ 3 điểm cực trị của đồ thị C .
-
Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiqua haiđiểmcựctrịcủađồthịhàmsố
. -
Nếu hàm số
có đạo hàm làthì điểm cực trị của hàm sốlà -
Gọi A,B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x+1x . Tính khoảng cách AB .
-
Cho hàm số
. Số các giá trị nguyên của m để hàm sốcó 1 điểm cực trị là ? -
Biết hàm số
đạt cực trị tại(là tham số thực). Khi đó điểm cực trị của hàm số kháclà ? -
Tìm
để hàm sốđạt cực đại tại. -
Trong các hàm số sau đây hàm số nào có cực trị.
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
để trên đồ thị hàm sốcó hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm. -
Biết rằng đồ thị hàm số
có dạng như hình vẽ:Hỏi đồ thị hàm sốcó bao nhiêu điểm cực trị? -
Cho hàm số
. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm. -
Biết rằng đồ thị của hàm số
có hai điểm cực trị làvà. Các hệ số,,,lần lượt là ? -
Tìm m để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. -
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=xm2−x2 có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn AB≤230 . Số phần tử của S là
-
Biết đồ thị hàm số
chỉ có một điểm cực trị là điểm có tọa độthìvàthỏa mãn điều kiện nào? -
Hàm số
(với m là tham số) có hai cực trị khi và chỉ khi: -
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là ? -
Cho hàm số
có đạo hàm. Số điểm cực trị của hàm số là -
Tìm giá trị thực của tham số
để đường thẳngsong song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. -
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đâyHàm số có giá trị cực tiểu bằng: -
Đồ thị hàm số
có tọa độ các điểm cực trị là: -
Tìm
để đồ thị hàm sốcó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông? -
Hàm số
có mấy điểm cực tiểu ? -
Cho hàm số
liên tục trên, có đạo hàm. Số điểm cực trị của hàm sốlà -
Cho hàm số y=x2+3x+5x−2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
-
Hoà tan m gam hỗnhợpgồm Cu và Fe3O4trong dung dịchHCldư, sauphảnứngcònlại 8,32 gam chấtrắnkhông tan và dung dịch X. Côcạn dung dịch X thuđược 61,92 gam chấtrắn khan. Giátrịcủa m là:
-
Có bao nhiêu cách chia một nhóm
người thànhnhóm nhỏ, trong đó có hai nhómngười và hai nhómngười? -
Cho biết hàm số y=fx=x3+ax2+bx+c đạt cực trị tại điểmx=1, f3=29 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là2. Tính giá trị của hàm số tạix=−2.
-
The woman _______ blue over there is my aunt in law.
-
Giải phương trình
. -
Cho
thỏa mãn. Tìm hệ số củatrong khai triểnthành đa thức. -
Kim loạinàosauđâykhichovào dung dịch CuSO4bịhòa tan hếtvàphảnứngtạothànhkếttủagồm 2 chất :
-
Cho hàm số fx có đạo hàm f′x=x−1x2−3x4−1 trênℝ. Tính số điểm cực trị của hàm sốy=fx.
-
His talent _______ learning languages was impressive.
-
Giảiphươngtrình
.
120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 3)
Trang trước Trang sau
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Tôi)
Câu 61: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Quảng cáo
Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(3 - x)
A. 2 B. 3
C. 5 D. 6
Ta có g(x) = f(3 - x) nên g'(x) = -f'(3 - x)
• g'(x) = 0 ⇔ f'(3 - x) = 0
• g'(x) không xác định khi 3 - x = 1 hay x = 2
Bảng biến thiên
Vậy hàm số g(x) = f(3 - x) có 3 điểm cực trị.
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 62: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số g(x) = |f(x – 2017) + 2018| có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
Đồ thị hàm số u( x) = f(x - 2017) + 2018 có được từ đồ thị f(x) bằng cách tịnh tiến đồ thị f(x) sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.
Suy ra bảng biến thiên của u(x)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) = |u(x)| có 3 điểm cực trị (tại x = 0, x = 2016, x = 2020).
Suy ra chọn đáp án B.
Quảng cáo
Câu 63: Cho hàm bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g(x) = |f(x) + m| có 3 điểm cực trị là:
A. m ≤ -1 hoặc m ≥ 3 B. m ≤ -3 hoặc m ≥ 1
C. m = -1 hoặc m = 3 D. 1 ≤ m ≤ 3
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số |f(x)| bằng A + B với:
• A là số điểm cực trị của hàm f(x).
• B là số giao điểm của f(x) với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên)
Áp dụng: Vì hàm f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) + m cũng luôn có 2 điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m với trục hoành là 1.
Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m với trục hoành là 1, ta cần
• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị nên m ≤ -1
• Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nên m ≥ 3
Vậy m ≤ -1 hoặc m ≥ 3
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 64: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Đồ thị hàm số g(x) = |f(x) – 2m| có 5 điểm cực trị khi
A. m ∈ (4; 11) B. m ∈ [2; 11/2]
C. m ∈ (2; 11/2) D. m = 3
Vì hàm số f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) - 2m cũng luôn có 2 điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) - 2m với trục hoành là 3.
Để số giao điểm của đồ thị f(x) – 2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới lớn hơn 4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị nên:
Suy ra chọn đáp án C.
Câu 65: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau có 5 điểm cực trị bằng:
A. -2016 B. -496
C. 1952 D. 2016
* Vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 9x - 5 như hình bên dưới
* Ta thấy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị nên f(x) + m/2 cũng luôn có 2 điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với trục hoành là 3.
Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhưng phải nhỏ hơn 32 đơn vị nên:
0 < m/2 < 32 ⇔ 0 < m < 64 -m ∈ Z→ m ∈ {1; 2; 3;...; 63}
Do đó, tổng các giá trị của m thỏa mãn là:
1 + 2 + 3 + ... + 63 = [(1 + 63).63]/2 = 2016
Suy ra chọn đáp án D.
Quảng cáo
Câu 66: Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g(x) = |f(x) - m| có 5 điểm cực trị.
A. -2 < m < 2 B. m > 2
C. m ≥ 2 D.
+ Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x) - m cũng luôn có 3 điểm cực trị.
+ Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) – m với trục hoành là 2.
+ Để số giao điểm của đồ thị f(x)- m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới ít nhất 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần)
⇒ -m ≤ -2 ⇒ m > 2
Suy ra chọn đáp án C.
Câu 67: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = |f(x + 2018) + m| có 7 điểm cực trị ?
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
* Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).
* Do đó yêu cầu bài toán tìm trở thành: Tìm các giá trị của m để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m với trục hoành là 4.
Để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m với trục hoành là 4, ta cần đồng thời:
• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới nhỏ hơn 2 đơn vị nên m > -2
• Tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị nên m < 3
Vậy -2 < m < 3 -m ∈ Z+→ m ∈ {1;2}
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 68: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = |f(x + 2018) + m2| có 5 điểm cực trị ?
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m2 cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).
Ta đi tìm các giá trị nguyên dương của tham số m để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m2 với trục hoành là 2.
Để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m2 với trục hoành là 2, ta cần
• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị ⇒ m2 ≤ -2: vô lý
• Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị
⇒ 2 ≤ m2 < 6
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 69: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-4, 4] để hàm số g(x) = |f(x - 1) + m| có 5 điểm cực trị ?
A. 3 B. 5
C. 6 D. 7
Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x - 1) + m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).
Do đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của m để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2.
Để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2, ta cần:
• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị
• Hoặc tịnh tiến đồ thị hàm số f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị
⇒ 3 ≤ m < 6
Vậy
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 70: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = mx3 – 3mx2 + 3m - 3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB2 - (OA2 + OB2) = 20 (Trong đó O là gốc tọa độ).
A. m = -1 B. m = 1
C. m = -1 hoặc m = -17/11 D. m = 1 hoặc m = -17/11
Ta có: y' = m(3x2 – 6x)
Với mọi m ≠ 0, ta có:
Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.
Giả sử A(0, 3m - 3), B( 2; -m - 3) .
Suy ra: OA2 = (3m - 3)2, OB2 = 4 + (-m - 3)2 = m2 + 6m + 13 và AB2 = 4 + 16m2
Ta có: 2AB2 – (OA2 + OB2) = 20
⇔ 2.(4 + 16m2) – [(3m - 3)2 + m2 + 6m + 13] = 20
⇔ 8 + 32m2 – (10m2 - 12m + 22) - 20 = 0
⇔ 22m2 + 12m - 34 = 0
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là:
Suy ra chọn đáp án D.
Câu 71: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị.
A. m < -1 B. m > -1
C. m > 1 D. m < 1
* Nhận xét: Hàm số g(x)= f(|x| + m) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng .
Suy ra: x = 0 là một điểm cực trị của hàm số.
* Ta có
Do đó g'(x) = 0 ⇔ f'(|x| + m) = 0
Để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0.
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 72: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h(x) = |f2(x) + f(x) + m| có đúng 3 điểm cực trị
A. m > 1/4 B. m ≥ 1/4
C. m < 1 D. m ≤ 1
Ta có: g(x) = f2(x) + f(x) + m nên g'(x)= f'(x).[2f(x) + 1]
Ta tính được
Bảng biến thiên của hàm số g(x)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.
Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |f2(x) + f(x) + m|
có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) nên m ≥ 1/4
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 73: Hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là -2, -1 và 0. Hàm số g(x) = f(x2 – 2x) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
Từ giả thiết suy ra
Ta có g(x) = f(x2 – 2x) nên g'(x) = 2(x - 1).f'(x2 - 2x)
Vì g'(x) = 0 có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên g(x) có 3 điểm cực trị (là x = 0, x = 1, x = 2).
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 74: Cho hàm số f(x) = x3 – (2m - 1)x2 + (2 - m)x + 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị.
A. -2 < m < 5/4 B. -5/4 < m < 2
C. 5/4 < m < 2 D. 5/4 < m ≤ 2
Ta có f'(x)= 3x2 – 2(2m - 1)x + 2 - m
Hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có hai cực trị dương
Suy ra phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:
Suy ra chọn đáp án C.
Câu 75: Cho hàm số f(x) = mx3 – 3mx2 + (3m - 2)x + 2 - m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [-10;10] để hàm số g(x) = |f(x)| có 5 điểm cực trị ?
A. 7 B. 9
C. 10 D. 11
Để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị thì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
f(x) = 0 ⇔ (x - 1)(mx2 - 2mx + m - 2) = 0
Do đó để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1:
⇔ m > 0 -m ∈ Z; m ∈ [-10;10]→ m ∈ {1; 2; 3;...; 10}
Suy ra chọn đáp án C.
Câu 76: Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị nhận hai điểm A(0;3) và B(2;-1) làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x)= |ax2.|x| + bx2 + c.|x| + d| là:
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
Ta có: g(x)= |ax2.|x| + bx2 + c.|x| + d| = |f(|x|)|
* Hàm số f(x) có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương khi và chỉ khi hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (1).
* Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực trị A(0;3) ∈ Oy và điểm cực trị B(2; -1) thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương)
Suy ra, đồ thị hàm số f(|x|) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (2).
*Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số g(x) = |f(|x|)| có 7 điểm cực trị.
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 78: Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d ∈ R. Hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
Hàm số g(x)= f(x) - 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.
Ta có:
Suy ra, g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.
Khi đó đồ thị hàm số f(x) - 2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f(x) - 2018| có đúng 5 điểm cực trị.
Suy ra chọn đáp án D.
Câu 79: Cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c ∈ R. Hàm số g(x) = |f(x)| có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
Hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.
Ta có:
Nên hàm số f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.
Khi đó đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f(x)| có đúng 5 điểm cực trị.
Suy ra chọn đáp án D.
Câu 80: Cho hàm số f(x) = x3 + mx2 + nx - 1 với m, n ∈ R. Hàm số g(x) = |f(|x|)| có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2 B. 5
C. 9 D. 11
Ta có:
và lim f(x) = +∞ ⇒ ∃p > 2 sao cho f(p) > 0 (x → +∞)
Suy ra f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt c1 ∈ (0;1), c2 ∈ (1;2) và c3 ∈ (2;p) (1)
Suy ra đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị x1 ∈ (c1; c2) và x2 ∈ (c2; c3) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số f(x) có dạng như hình bên dưới
Từ đó suy ra hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị nên hàm số |f(|x|)| có 11 điểm cực trị.
Suy ra chọn đáp án D.
Câu 81: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2). Biết hàm số đồng biến trên khoảng (x1, x2). Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0
B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0
C. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0
D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0
Vì hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 và hàm số đồng biến trên khoảng (x1, x2) nên suy ra a < 0.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d < 0.
Ta có y' = 3ax2 + 2bx + c. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2) nên suy ra y' = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 mà a < 0 nên c > 0.
Mặt khác x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2) nên x1 + x2 > 0
Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < 0
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 82: Cho hàm số y = f(x) = ax4 + bx2 + c biết a > 0, c > 2018 và a + b + c < 2018. Số cực trị của hàm số g(x)= |f(x - 2018)| là
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
Đặt h(x) = f(x) – 2018 = ax4 + bx2 + c - 2018
Từ giả thiết
nên đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị (1).
Ta có:
Suy ra h(1).h(0) < 0 có nghiệm thuộc (0, 1).
Do đó, phương trình h(x) =0 có 4 nghiệm phân biệt (2) .
Từ (1) và (2) suy ra hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có 7 điểm cực trị.
Suy ra chọn đáp án D.
Câu 83: Cho hàm số f(x) = (m4 + 1).x4 + (-2m+1.m2 – 4).x2 + 4m + 16 với m là tham số thực. Hàm số g(x) = |f(x) - 1| có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3 B. 5
C. 6 D. 7
Ta có:
Suy ra
• f'(x) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì -(m4 + 1)(2m+1.m2 + 4) < 0 với mọi m.
• f(x) – 1 = 0 vô nghiệm do:
Δ' = (2m.m2 + 2)2 - (m4 + 1).(4m + 15)
= 4.2m.m2 + 4 - 15m4 - 4m - 15 = -(2m - m2)2 - 11m4 - 11 > 0
Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị.
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 84: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) và có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a,b). Biết điểm x ∈ (a,b) thỏa mãn f'(x0) = 0 và f''(x) = (x0 - 2).x + m2 - m + 2 với m là tham số thực. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (a,b).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (a,b).
Xét hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và đạo hàm cấp hai là f''(x) = (x0 – 2).x + m2 – m + 2
Ta có f'(x0) = 0 nên x0 là điểm cực trị của hàm số. Và f''(x0) = (x0 - 2).x0 + m2 – m + 2.
⇒ f''(x0) = x02 - 2x0 + m2 - m + 2
Suy ra x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) .
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 85: Gọi (Δ) đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1. Tìm m để ba đường thẳng (Δ), (d1), (d2) với (d1): 6x + y + 4 = 0, (d2): (m + 1)x - y + m2 - 2 = 0 đồng quy ?
A. 0 B. 1
C. 2 D. Đáp án khác
Xét hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1, ta có y' = 3x2 - 6x - 9, ∀x ∈ R
Phương trình:
Như vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6).
Suy ra phương trình đường thẳng AB là: (Δ): 8x + y + 2 = 0
Tọa độ giao điểm của (Δ) và (d1) là:
Vì (Δ), (d1), (d2) đồng quy nên M ∈ (d2) suy ra: (m + 1).1 + 10 + m2 – 2 = 0
Hay m2 + m + 9 = 0 vô nghiệm .
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Suy ra chọn đáp án D.
Câu 86: Cho hàm số y = 2x3 – 3(m + 1).x2 + 6mx + m3. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = √2
A. m = 0 B. m = 0 hoặc m = 2
C. m = 1 D. m = 2
Ta có đao hàm: y' = 6x2 – 6(m + 1).x + 6m
Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 1.
Tọa độ các điểm cực trị là A(1, m3 + 3m - 1) và B(m, 3m2).
Suy ra AB2 = (m - 1)2 + (m3 – 3m2 + 3m - 1)2 = (m - 1)2 + (m - 1)6
Theo bài ra ta có:
AB2 = 2 ⇔ (m - 1)6 + (m - 1)2 = 0 ⇔ [(m - 1)2]3 - 1 + [(m - 1)2 - 1] = 0
⇔ [(m - 1)2 - 1].[(m - 1)4 + (m - 1)2 + 2] = 0 ⇔ (m - 1)2
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 87: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2 với m là tham số, có đồ thị là (C). Xác định tham số m để (C) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành
A. m < 2 B. m < 4
C. m < 3 D. m < 1
Đạo hàm y' = 3x2 + 6x + m có Δ'y' = 9 - 3m.
Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt: Δ'y' > 0 ⇔ m = 3.
Ta có:
Gọi x1, x2 là hoành độ của 2 điểm cực trị. Suy ra: y'(x1) = y'(x2) = 0 nên từ (*) suy ra:
Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi:
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 88: Cho hàm số y = x4 - 2x2. Gọi Δ là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc m. Tập hợp tất cả các giá trị tham số thực m sao cho tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cho đến Δ là nhỏ nhất
A. m = 0 B. m = 1/2
C. m ∈ ∅ D. m = 1 hoặc m = -1
+ Xét hàm số y = x4 - 2x2. Ta có y' = 4x3 - 4x
+ Suy ra A(0;0), B(1; -1), C(-1; -1) là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đồng thời điểm A(0,0) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
+ Phương trình đường thẳng Δ có hệ số góc m và đi qua điểm A là y = mx hay mx - y = 0
+ Ta có:
khi đó
với
Mặt khác 2ab ≥ 0 ⇔ (a + b)2 ≥ a2 + b2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Suy ra chọn đáp án D.
Câu 89: Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có hai điểm cực trị A(0,2); B(1,m). Biểu thức P = 2(a2 – m2)- b2 đạt giá trị lớn nhất khi a + b + c + m bằng
A. 1 B. 2
C. -1 D. -2
Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c ta có y' = 4ax3 = 2bx
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0,2) và B(1,m) nên:
Lấy (1) – 2.(2) ta được:
(2a + b)2 – 2(a + b)2 = -2(m - 2)2 hay 2a2 – b2 = -2(m - 2)2
Khi đó: P = 2a2 – b2 – 2m2 = -2(m - 2)2 – 2m2 = - 4 – 4(m - 1)2 ≤ -4
Do đó max P = -4.
Dấu “=” xảy ra khi m = 1 .
Vậy
⇒ P = a + b + c + m = 2
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 90: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 1)x4 - mx2 + 3/2 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
A. m < -1 B. -1 ≤ m ≤ 0
C. m > 1 D. -1 ≤ m ≤ 0
Ta xét hai trường hợp sau đây:
* TH1: m + 1 = 0 hay m = -1.
Khi đó y = x2 + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu (x = 0) mà không có cực đại
Do đó m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1.
Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có:
Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ y' = 0 có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này
Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0.
Suy ra chọn đáp án B.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau
Cách tìm cực trị của hàm số cực hay
Trang trước Trang sau
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Tôi)
Quảng cáo
1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên
K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.
Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Minh họa bằng bảng biến thiến
Chú ý.
Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Quảng cáo
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y =
Hướng dẫn
Tập xác định D = R\{2}. Tính
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4
Tập xác định D = R.
Tính y'= -3x2 + 6x.
Cho y'= 0⇔-3x2 + 6x = 0⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.
Quảng cáo
Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x3 - 3x + 2
Tập xác định D = R.
Tính y' = -3x2 + 6x-3.
Cho y'= 0 ⇔ -3x2+ 6x-3 = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6x - 12.
Cho y'= 0 ⇔
Bảng biến thiên
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8), B(2;-19).
Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0.
Bài 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị (C). Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C)và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.
Tập xác định D = R.
Tính y'= 3x2-6x.
Cho y'= 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8),B(2;-19). Khi đó AB =
Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x4/4 - x2 + 2
Tập xác định D = R.
Tính y'= 2x3-2x.
Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 3/2 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.
Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = -x4 + 4x2 - 5
Tập xác định D = R.
Tính y'= -4x3 + 8x.
Cho y'= 0 ⇔ -4x3 + 8x = 0⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y = -5 và hàm số đạt cực đại tại x = ±√2, y = -1.
Bài 7. Tìm cực trị của hàm số y =
Tập xác định D = R\{-1}.
Tính y' =
Cho y' = 0⇔ x2 + 2x - 3 = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -3, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = 1.
Bài 8. Tìm cực trị của hàm số y = x - 5 + 1/x
Tập xác định D = R\{0}.
Tính
Cho y' = 0⇔x2 - 1 = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = -3.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau