- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 2
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 3
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 4
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 5
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 6
Bài 19 trang 38 SGK Hình học 10 Nâng cao
Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(0\,;\,5),\,B(2\,;\, - 7)\). Khi đó tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là cặp số nào ?
(A) \((2\,;\, - 2)\); (B) \(( - 2\,;\,12)\);
(C) \(( - 1\,;\,6)\); (D) \((1\,;\, - 1)\).
Hướng dẫn trả lời
Trung điểm của \(AB\) có tọa độ là:
\(\left( {{{0 + 2} \over 2}\,;\,{{5 - 7} \over 2}} \right) = \left( {1\,;\, - 1} \right)\).
Chọn (D).
Bài 20 trang 38 SGK Hình học 10 Nâng cao
Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M(8;\, - 1),\,N(3;\,2)\). Nếu \(P\) là điểm đối xứng với điểm \(M\) qua điểm \(N\) thì tọa độ của \(P\) là cặp số nào ?
(A) \(( - 2\,;\,5)\); (B) \(\left( {{{11} \over 2};\,{1 \over 2}} \right)\);
(C) \((13\,\,;\, - 3)\); (D) \( (11\,\,;\, - 1)\).
Hướng dẫn trả lời
\(N\) là trung điểm của \(MP\) nên
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x_N} = {{{x_M} + {x_P}} \over 2} \hfill \cr {y_N} = {{{y_M} + {y_P}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ 3 = {{8 + {x_P}} \over 2} \hfill \cr 2 = {{ - 1 + {y_P}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_P} = - 2 \hfill \cr {y_P} = 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow P\,( - 2\,;\,5). \cr} \)
Chọn (A).
Bài 21 trang 38 SGK Hình học 10 Nâng cao
Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(5\,;\, - 2),\,B(0\,;\,3),\,C( - 5\,;\, - 1).\) Khi đó trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là cặp số nào ?
(A) \((1\,;\, - 1)\); (B) \((0\,;\,0)\);
(C) \((0\,;\,11)\) ; (D) \((10\,;\,0)\).
Hướng dẫn trả lời
Trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là:
\(\left( {{{5 + 0 - 5} \over 3}\,;\,{{ - 2 + 3 - 1} \over 3}} \right) = (0\,;\,0)\).
Chọn (B).
Giaibaitap.me
Page 7
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 8
Bài 1 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 1. Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số)
a) \((2\sin {30^0} + \cos {135^0} - 3\tan {150^0})(\cos {180^0} - \cot {60^0})\)
b) \({\sin ^2}{90^0} + {\cos ^2}{120^0} + {\cos ^2}{0^0} - {\tan ^2}{60^0} + {\cot ^2}{135^0}\).
Hướng dẫn trả lời
a) Ta có
\(\eqalign{ & \cos {135^0} = \cos ({180^0} - {45^0}) = - \cos {45^0} = - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \tan {150^0} = \tan ({180^0} - {30^0}) = - \tan {30^0} = - {{\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
Do đó
\(\eqalign{ & (2\sin {30^0} + \cos {135^0} - 3\tan {150^0})(\cos {180^0} - \cot {60^0}) \cr
& = \left( {1 - {{\sqrt 2 } \over 2} + \sqrt 3 } \right)\,\left( { - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}} \right) = \left( {{{\sqrt 2 } \over 2} - \sqrt 3 - 1} \right)\left( {1 + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right) \cr}.\)
b) Ta có
\(\eqalign{ & \cos {120^0} = \cos ({180^0} - {60^0}) = - \cos {60^0} = - {1 \over 2} \cr
& \cot {135^0} = \cot ({180^0} - {45^0}) = - \cot {45^0} = - 1 \cr} \)
Do đó
\(\eqalign{ & {\sin ^2}{90^0} + {\cos ^2}{120^0} + {\cos ^2}{0^0} - {\tan ^2}{60^0} + {\cot ^2}{135^0} \cr
& = 1 + {1 \over 4} + 1 - 3 + 1 = {1 \over 4} \cr} \)
Bài 2 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 2. Đơn giản các biểu thức
a) \(\sin {100^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} + \cos {164^0}\);
b) \(2\sin ({180^0} - \alpha )\cot \alpha - \cos ({180^0} - \alpha )\tan \alpha \cot ({180^0} - \alpha )\) với \({0^0} < \alpha < {90^0}\).
Hướng dẫn trả lời
a) Ta có
\(\eqalign{ & \sin {100^0} = \sin ({180^0} - {80^0}) = \sin {80^0}\,\,\,;\,\,\,\,\cos {164^0} = \cos ({180^0} - {16^0}) = - \cos {16^0} \cr & \Rightarrow \,\,\,\,\sin {100^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} + \cos {164^0} \cr & \,\,\,\,\, = \,\sin {80^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} - \cos {16^0} \cr
& \,\,\,\,\, = 2\sin {80^0}. \cr} \)
b) Ta có
\(\eqalign{ & \,\,\,\,2\sin ({180^0} - \alpha )\cot \alpha - \cos ({180^0} - \alpha )\tan \alpha \cot ({180^0} - \alpha ) \cr & = 2\sin \alpha {{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} - \cos \alpha {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}{{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} \cr & = 2\cos \alpha - \cos \alpha \cr
& = \cos \alpha . \cr} \)
Bài 3 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 3. Chứng minh các hệ thức sau
a) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\);
b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,(\alpha \ne {90^0})\);
c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,({0^0} < \alpha < {180^0})\).
Hướng dẫn trả lời
a) Giả sử \(M\,(x\,;\,y)\) trên đường tròn đơn vị, \(\widehat {MOx} = \alpha \). Ta có
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {x^2} + {y^2} = O{M^2} = 1.\)
b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\) .
c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\).
Giaibaitap.me
Page 9
Bài 4 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 4. Trong các trường hợp nào tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) có giá trị dương, có giá trị âm, bằng \(0\) ?
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\,\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos (\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b )\), do đó
+) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b > 0\) khi \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và góc \((\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ) < {90^0}\);
+) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b < 0\) khi \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và góc \((\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ) > {90^0}\);
+) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a \bot \overrightarrow {b.}\)
Bài 5 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 5. Cho tam giác \(ABC\). Tổng \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} )\) có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau : \({90^0}\,;\,{180^0}\,;\,{270^{0\,}}\,;\,{360^0}\) ?
Hướng dẫn trả lời
Ta có
\((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {180^0} - \widehat B\,\,;\,\,(\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) = {180^0} - \widehat C\,\,;\,\,(\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ) = {180^0} - \widehat A\)
Do đó \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ) = {360^0}\)
Bài 6 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 6. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và \(\widehat B = {30^0}\). Tính giá trị của các biểu thức sau
a) \(\cos (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \sin (\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \tan {{(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} )} \over 2}\);
b) \(\sin (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ) + \cos (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BA} ) + \cos (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} )\).
Hướng dẫn trả lời
a) Ta có
\((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {150^0}\,\,;\,\,\,(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {30^0}\,\,;\,\,\,(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} ) = {120^0}\)
Do đó
\(\eqalign{ & \cos (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \sin (\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \tan {{(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} )} \over 2} = \cos {150^0} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{{\rm{0}}^0} + \tan {60^0} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{{ - \sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2} + \sqrt 3 = {{\sqrt 3 + 1} \over 2} \cr} \)
b) Ta có \((\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} ) = {90^0}\) ,do đó
\(\eqalign{ & \sin (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ) + \cos (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BA} ) + \cos (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} ) = \sin {90^0} + \cos {30^0} + \cos {90^0} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{2 + \sqrt 3 } \over 2} \cr} \)
Bài 7 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 7. Cho bốn điểm bất kì \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\).
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.
Hướng dẫn trả lời
Ta có
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \cr & = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} ) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} ) + \overrightarrow {DC} (\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} ) \cr
& = \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DA} = 0 \cr} \)
Gọi \(D\) là giao điểm của hai đường cao \(AA', BB'\) của tam giác \(ABC\).
Ta có \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} = 0\,;\,\,\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} = 0\)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\), do đó \(DC \bot AB\). Vậy \(D\) nằm trên đường cao \(CC'\) của tam giác \(ABC\), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.
Giaibaitap.me
Page 10
Bài 12 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 12. Cho đoạn thẳng \(AB\) cố định, \(AB = 2a\) và một số \({k^2}\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} - M{B^2} = {k^2}\).
Hướng dẫn trả lời
Gọi \(O\) là trung điểm đoạn \(AB, H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\). Ta có
\(\eqalign{ & M{A^2} - M{B^2} = {k^2}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {k^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} ).\,(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} ) = {k^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MO} .\,\overrightarrow {BA} = {k^2}\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HO} } \right).\overrightarrow {BA} \cr
& .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HO} .\,\overrightarrow {BA} = {k^2} \cr} \)
( Vì \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \))
Suy ra \(H\) cố định nằm trên tia \(OB\) và \(OH = {{{k^2}} \over {4a}}\).
Do \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\) nên tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H, H\) nằm trên tia \(OB\) sao cho \(OH = {{{k^2}} \over {4a}}\).
Bài 13 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u = {1 \over 2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
a) Tìm các giá trị của \(k\) để \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \);
b) Tìm các giá trị của \(k\) để \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(\overrightarrow u = ({1 \over 2}\,;\, - 5)\,;\,\,\,\overrightarrow v = (k\,;\, - 4)\,\).
a) \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u .\,\overrightarrow v = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{1 \over 2}.k + ( - 5).( - 4) = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,k = - 40.\)
b) \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\,\, \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{1 \over 4} + 25} = \sqrt {{k^2} + 16} \,\, \Leftrightarrow \,\,{{101} \over 4} = {k^2} + 16\,\, \Leftrightarrow \,\,k = \pm {{\sqrt {37} } \over 2}\)
Bài 14 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh \(A( - 4\,;\,1),\,B(2\,;\,4),\,C(2\,;\, - 2)\).
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
b) Tìm tọa độ của trọng tâm \(G\), trực tâm \(H\) và tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm \(I, G, H\).
Hướng dẫn trả lời
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (6\,;\,3)\,,\,\,\overrightarrow {AC} = (6\,;\, - 3)\,,\,\,\overrightarrow {BC} = (0\,;\, - 6).\) Suy ra
\(\eqalign{ & AB = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \cr & AC = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \cr
& BC = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {36} = 6 \cr} \)
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
Chu vi tam giác \(ABC\) là \(3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 + 6 = 6\sqrt 5 + 6\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AM\) là đường cao của ta giác \(ABC\).
Ta có \(M(2\,;\,1)\,,\,\,\overrightarrow {AM} = (6\,;\,0)\,\, \Rightarrow \,\,AM = \sqrt {{6^2} + 0} = 6\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}BC.AM = {1 \over 2}.6.6 = 18\)
b) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là
\(\left\{ \matrix{ {x_G} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 \over 3}( - 4 + 2 + 2) = 0 \hfill \cr
{y_G} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 \over 3}(1 + 4 - 2) = 1 \hfill \cr} \right.\,\)
Vậy \(G\,(0\,;\,1)\).
Gọi \(H\,({x_H}\,,\,{y_H})\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Ta có
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\,\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\,\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ ({x_H} + 4).0 + ({y_H} - 1).( - 6) = 0 \hfill \cr ({x_H} - 2).6 + ({y_H} - 4).( - 3) = 0 \hfill \cr} \right.\,\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_H} = {1 \over 2}\hfill \cr
{y_H} = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(H\,\left( {{1 \over 2}\,;\,1} \right)\).
Gọi \(I\,({x_I}\,,\,{y_I})\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Ta có
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr A{I^2} = C{I^2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {({x_I} + 4)^2} + {({y_I} - 1)^2} = {({x_I} - 2)^2} + {({y_I} - 4)^2} \hfill \cr {({x_I} + 4)^2} + {({y_I} - 1)^2} = {({x_I} - 2)^2} + {({y_I} + 2)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_I}^2 + 8{x_I} + 16 + {y_I}^2 - 2{y_I} + 1 = {x_I}^2 - 4{x_I} + 4 + {y_I}^2 - 8{y_I} + 16 \hfill \cr {x_I}^2 + 8{x_I} + 16 + {y_I}^2 - 2{y_I} + 1 = {x_I}^2 - 4{x_I} + 4 + {y_I}^2 + 4{y_I} + 4 \hfill \cr} \right. \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ 4{x_I} + 2{y_I} = 1 \hfill \cr 4{x_I} - 2{y_I} = - 3 \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_I} = - {1 \over 4} \hfill \cr
{y_I} = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(I\,( - {1 \over 4}\,;\,1)\).
Khi đó, ta có \(\overrightarrow {IG} = \left( {{1 \over 4}\,;\,0} \right)\,,\,\,\,\overrightarrow {IH} = \left( {{3 \over 4}\,;\,0} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow {IG} = {1 \over 3}\overrightarrow {IH} \) ,
Suy ra \(I, G, H\) thẳng hàng.
Giaibaitap.me
Page 11
Bài 8 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 8. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là \(\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC} = A{B^2}\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} (\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} ) = 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {AC} = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,BA \bot AC\)
\( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Bài 9 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 9. Cho tam giác \(ABC\) với ba đường trung tuyến \(AD, BE, CF\). Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} = 0\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(\overrightarrow {AD} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr
& \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr} \)
Do đó \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \)
\(\eqalign{ & = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {AB} (\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr & = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} )\cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} ) = 0 \cr} \)
(điều phải chứng minh)
Bài 10 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 10. Cho hai điểm \(M, N\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM, BN\).
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \,\,;\,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)
b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo \(R\).
Hướng dẫn trả lời
a) Ta có \(\overrightarrow {AM} .\,\overrightarrow {AI} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} ).\,\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} \) ( vì \(\overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI} = 0\) ).
Tương tự, \(\overrightarrow {BN} .\,\overrightarrow {BI} = (\overrightarrow {BA} + \,\overrightarrow {AN} ).\,\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} \) ( vì \(\overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI} = 0\) ).
b) Theo câu a), \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \, + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \)
\( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} ) = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AB} = A{B^2} = 4{R^2}.\)
Bài 11 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 11. Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\). Trên \(a\) có hai điểm \(A\) và \(B\), trên \(b\) có hai điểm \(C\) và \(D\) đều khác \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,\). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn trả lời
Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Gọi \(D'\) là giao điểm của \(b\) với \((O)\) ( \({D'} \ne C\)).
Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \,\,\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}} ) = 0 \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D'}D} = 0\,\,\,\, \cr} \)
\(\Rightarrow \,\overrightarrow {{D'}D} = 0\) (Do \(M, C, D, D'\) cùng thuộc đường thẳng b)
\( \Rightarrow D \equiv {D'}\).
Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.
Giaibaitap.me
Page 12
Bài 15 trang 64 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 15. Tam giác \(ABC\) có \(a = 12, b = 13, c = 15\). Tính \(\cos A\) và góc \(A\).
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính ta có
\(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{{13}^2} + {{15}^2} - {{12}^2}} \over {2.13.15}} = {{25} \over {39}} \cr
& \Rightarrow \,\,\widehat A \approx {50^0} \cr} \)
Bài 16 trang 64 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 16. Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,\,AC = 8,\,\widehat A = {60^0}\). Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài cạnh \(BC\) ?
a) \(\sqrt {129} \); b) \(7\);
c) \(49\); d) \(\sqrt {69} \).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(B{C^2} = {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {60^0} = 49\)
\( \Rightarrow \,\,BC = 7\).
Chọn b).
Bài 17 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 17. Hình 59 vẽ một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Bốn bạn An, Cường , Trí, Đức dự đoán khoảng cách từ B đến C như sau
An : \(5 km\)
Cường : \(6 km\)
Trí : \(7 km\)
Đức : \(5,5 km\).
Biết rằng khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) là \(3 km\), khoảng cách từ \(A\) đến \(C\) là \(4 km\), góc \(BAC\) là \({120^0}\).
Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất ?
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng định lí cosin ta có
\(\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC} = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos {120^0} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\ = 9 + 16 + 12 = 37 \cr
& \Rightarrow BC = \sqrt {37} \approx 6,1 \cr} \)
Vậy bạn Cường dự đoán sát với thực tế nhất.
Bài 18 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 18. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh các khẳng định sau
a) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\);
a) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\);
a) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\)
a) \(A\) nhọn \( \Leftrightarrow \,\,\cos A > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} > {a^2}\).
b) \(A\) tù \( \Leftrightarrow \,\,\cos A < 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} < {a^2}\) .
c) \(A\) vuông \( \Leftrightarrow \,\,\cos A = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} = {a^2}\) .
Giaibaitap.me
Page 13
Bài 19 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 19. Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0},\,\widehat B = {45^0},\,b = 4\). Tính hai cạnh \(a\) và \(c\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(\widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {60^0} - {45^0} = {75^0}\)
Áp dụng định lí sin ta có
\(\eqalign{ & {a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}} \cr & {a \over {\sin {{60}^0}}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = 4.{{\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 2 = 2\sqrt 6 \cr
& {c \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,c \approx \,5,5 \cr} \)
Bài 20 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 20. Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0},\,a = 6\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Hướng dẫn trả lời
Ta có \({a \over {\sin A}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = {a \over {2\sin A}} = {6 \over {2.\sin {{60}^0}}} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \, \approx 3,5\)
Bài 21 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 21. Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \(ABC\) thỏa mãn hệ thức \(\sin A = 2\sin B.\cos C\) thì \(ABC\) là tam giác cân.
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng định lí sin và cosin ta có
\(\sin A = {a \over {2R}},\,\,\sin B = {b \over {2R}},\,\,\cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}\)
Do đó \(\sin A = 2\sin B\cos C\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{a \over {2R}} = 2.{b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}\,\,\,\)
\( \Leftrightarrow \,\,{a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,b^2 = c^2\, \Leftrightarrow \,\,b=c\)
Vậy \(ABC\) là tam giác cân.
Bài 22 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 22. Hình 60 vẽ một chiếc tàu thủy đang neo đậu ở vị trí \(C\) trên biển và hai người ở các vị trí quan sát \(A\) và \(B\) cách nhau \(500m\). Họ đo được góc \(CAB\) bằng \({87^0}\) và góc \(CBA\) bằng \({62^0}\).
Tính các khoảng cách \(AC\) và \(BC\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(\widehat {ACB} = {180^0} - {87^0} - {62^0} = {31^0}\)
Áp dụng định lí sin ta có
\({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{500} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{{\rm{1}}^0}}} \approx 971\)
\( \Rightarrow \,\,BC = a = 971.\sin {87^0} \approx 969\) m và \(\,AC = b = 971.\sin {62^0} \approx 857\) m.
Giaibaitap.me
Page 14
Bài 23 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 23. Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác không vuông \(ABC\). Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(ABC,\,HBC,\,HCA,\,HAB\) bằng nhau.
Hướng dẫn trả lời
Trường hợp 1: Tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn.
Gọi \(R,\,{R_1}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC, HBC\).
Áp dụng định lí sin ta có
\({{BC} \over {\sin A}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}\)
Mà \(\widehat {BHC} + \widehat A = \widehat {{B'}H{C'}} + \widehat A = {180^0}\) (Vì \(\widehat {BHC}\) và \(\widehat {{B'}H{C'}}\) đối đỉnh)
\( \Rightarrow \,\,\sin A = \sin \widehat {BHC}\)
Do đó \(2R = 2{R_1}\,\, \Rightarrow \,\,R = {R_1}.\)
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HBC\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCA, HAB\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Trường hợp 2: Tam giác \(ABC\) có góc tù.
Ta có \({{BC} \over {\sin \widehat{BAC}}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}\)
Mà \(\widehat {B'AC'} + \widehat {CHB} = {180^0}\,\, \Rightarrow \,\,\sin \widehat{BAC} =\sin \widehat{B'AC'}= \sin \widehat {CHB}\) (Vì \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{B'AC'}\) đối đỉnh)
\( \Rightarrow \,\,R = {R_1}\)
Tương tự ta chứng minh được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCA, HAB\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Bài 24 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 24. Tam giác \(ABC\) có \(a = 7,\,b = 8,\,c = 6\). Tính \({m_a}\).
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính \({m_a}\) ta có
\({m_a}^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{8^2} + {6^2}} \over 2} - {{{7^2}} \over 4} = {{151} \over 4}\,\,\,\, \Rightarrow \,{m_a} \approx 6,1\)
Bài 25 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 25. Tam giác \(ABC\) có \(a = 5,\,b = 4,\,c = 3\). Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(C\). Tính độ dài \(AD\).
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AC\) trong tam giác \(ABD\) ta có
\(A{C^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\, \Rightarrow \,\,{4^2} = {{{3^2} + A{D^2}} \over 2} - {{{{10}^2}} \over 4}\,\,\, \Rightarrow \,A{D^2} = 73\,\,\, \Rightarrow \,AD = \sqrt {73} \approx 8,5.\)
Bài 26 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 26. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 4,\,BC = 5,\,BD = 7\). Tính \(AC\).
Hướng dẫn trả lời
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành.
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABD\), ta có
\(\eqalign{ & A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\, = {{{4^2} + {5^2}} \over 2} - {{{7^2}} \over 4} = {{33} \over 4}\,\,\,\cr& \Rightarrow \,AO = \sqrt {{{33} \over 4}} = {{\sqrt {33} } \over 2} \cr
& \Rightarrow \,AC = 2AO = \sqrt {33} \approx 5,8 \cr} \)
Giaibaitap.me
Page 15
Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 27. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(ABD\), ta có
\(\eqalign{ & A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr & \Rightarrow \,\,\,4A{O^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) - B{D^2}\,\, \cr
& \Rightarrow \,\,\,A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) = A{B^2} + A{D^2} + D{C^2} + B{C^2} \cr} \)
Bài 28 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 28. Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) khi và chỉ khi \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \,\,\,5\left( {{{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}} \right) = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr & \Leftrightarrow \,\,\,5\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right) = 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,{b^2} + {c^2} = {a^2} \cr} \)
\( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\).
Bài 29 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 29. Tam giác \(ABC\) có \(b = 6,12\,;\,c = 5,35\,;\,\widehat A = {84^0}\). Tính diện tích tam giác đó.
Hướng dẫn trả lời
Ta có \({S_{ABC}} = {1 \over 2}.b.c.\sin A = {1 \over 2}.(6,12)\,.(5,35)\,.\sin {84^0} \approx 16,3\).
Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 30. Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng \(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có
\(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\,\,\,(1)\)
Tương tự, \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên
\(\eqalign{ & 4B{M^2} = 2(A{B^2} + B{C^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr
& 4D{M^2} = 2(D{A^2} + C{D^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)
Từ (2), (3) suy ra
\(2(B{M^2} + D{M^2}) = A{B^2}\, + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2}\,\,(4)\)
Thay (4) vào (1), ta có
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,4M{N^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2} - B{D^2} \cr
& \Rightarrow \,\,\,A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \cr} \)
Giaibaitap.me
Page 16
Bài 31 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 31. Gọi \(S\) là diện tích và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C\).
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính diện tích và định lí sin trong tam giác \(ABC\) .Ta có
\(\eqalign{ & S = {{abc} \over {4R}} = {{(2R\sin A).(2R\sin B).(2R\sin C)} \over {4R}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C \cr} \)
Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 32. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.
Hướng dẫn trả lời
Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\) và \(\widehat {AIB} = \alpha \).
Ta có \({S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \,\,,\,\,\,{S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} - \alpha ) = \,{1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \,\)
Suy ra \({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha = {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \)
Tương tự ta suy ra \({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}} = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \)
Từ đó suy ra
\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha = {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \)
Bài 33 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 33. Giải tam giác \(ABC\), biết
a) \(c = 14,\,\widehat A = {60^0},\,\widehat B = {40^0}\);
b) \(b = 4,5,\,\widehat A = {30^0},\,\widehat C = {75^0}\);
c) \(c = 35,\,\widehat A = {40^0},\,\widehat C = {120^0}\);
d) \(a = 137,5;\;\widehat B = {83^0},\,\widehat C = {57^0}\).
Hướng dẫn trả lời
a) Ta có \(\widehat C = {180^0} - {60^0} - {40^0} = {80^0}\)
Áp dụng định lí sin :
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {60^0} \approx 12,3 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {40^0} \approx 9,1 \cr} \)
b) Ta có \(\widehat B = {180^0} - {30^0} - {75^0} = {75^0}\)
Áp dụng định lí sin
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}.\sin {30^0} \approx 2,3 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}.\sin {75^0} = 4,5 \cr} \)
c) Ta có \(\widehat B = {180^0} - {120^0} - {40^0} = {20^0}\)
Áp dụng định lí sin :
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {40^0} \approx 26 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {20^0} \approx 13,8 \cr} \)
d) Ta có \(\widehat A = {180^0} - {83^0} - {57^0} = {40^0}\)
Áp dụng định lí sin :
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,b = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {83^0} \approx 212,3 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {57^0} \approx 179,4 \cr} \)
Bài 34 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 34. Giải tam giác \(ABC\), biết
a) \(a = 6,3,\,\,b = 6,3,\,\,\widehat C = {54^0}\);
b) \(b = 32,\,c = 45,\,\widehat A = {87^0}\);
c) \(a = 7,\,\,b = 23,\,\,\widehat C = {130^0}\).
Giải
a) \(ABC\) là tam giác cân tại \(C\) \( \Rightarrow \,\,\widehat A = \widehat B = {{{{180}^0} - {{54}^0}} \over 2} = {63^0}\). Áp dụng định lí sin ta có
\(\,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {c \over {\sin C}} = {{6,3} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in6}}{{\rm{3}}^0}}}\,\, \Rightarrow \,\,c = {{6,3} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in6}}{{\rm{3}}^0}}}.\sin {54^0} \approx 5,7\)
b) Áp dụng định lí cosin ta có
\(\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \cr & \,\,\,\,\,\, = {32^2} + {45^2} - 2.32.45.\cos {87^0} \approx 2898,27 \cr
& \Rightarrow a \approx 53,8 \cr} \)
Áp dụng định lí sin ta có
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}}\,\, \Rightarrow \,\,\sin B = {{b\sin A} \over a} = {{32.\sin {{87}^0}} \over {53,8}} \approx 0,6 \cr
& \Rightarrow \,\,\widehat B \approx {36^0}\,,\,\,\widehat C \approx {57^0} \cr} \)
c) Áp dụng định lí cosin ta có
\(\eqalign{ & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \cr & \,\,\,\,\,\, = {7^2} + {23^2} - 2.7.23.\cos {130^0} \approx 785 \cr & \Rightarrow c \approx 28 \cr & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{{23}^2} + {{28}^2} - {7^2}} \over {2.23.28}} \approx 0,98 \cr
& \Rightarrow \,\,\widehat A = {11^0}\,,\,\,\widehat B = {39^0} \cr} \)
Giaibaitap.me
Page 17
Bài 35 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 35. Giải tam giác \(ABC\), biết
a) \(a = 14,\,\,b = 18,\,\,c = 20\);
b) \(a = 6,\,\,b = 7,3,\,\,c = 4,8\);
c) \(a = 4,\,\,b = 5,\,\,c = 7\)
Hướng dẫn trả lời
a) Áp dụng định lí cosin ta có
\(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{{18}^2} + {{20}^2} - {{14}^2}} \over {2.18.20}} \approx 0,73 \cr & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{{14}^2} + {{20}^2} - {{18}^2}} \over {2.14.20}} \approx 0,49 \cr
& \Rightarrow \,\,\,\widehat A \approx {43^0}\,\,,\,\,\widehat B \approx {61^0}\,,\,\,\widehat C \approx {76^0}. \cr} \)
b) Áp dụng định lí cosin ta có
\(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{{(7,3)}^2} + {{(4,8)}^2} - {6^2}} \over {2.(7,3).(4.8)}} \approx 0,58 \cr & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{6^2} + {{(4,8)}^2} - {{(7,3)}^2}} \over {2.6.(4,8)}} \approx 0,1 \cr
& \Rightarrow \,\,\,\widehat A \approx {55^0}\,\,,\,\,\widehat B \approx {85^0}\,,\,\,\widehat C \approx {40^0}. \cr} \)
c) Áp dụng định lí cosin ta có
\(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{5^2} + {7^2} - {4^2}} \over {2.5.7}} \approx 0,83 \cr & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{4^2} + {7^2} - {5^2}} \over {2.4.7}} \approx 0,71 \cr
& \Rightarrow \,\,\,\widehat A \approx {34^0}\,\,,\,\,\widehat B \approx {44^0}\,,\,\,\widehat C \approx {102^0}. \cr} \)
Bài 36 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 36. Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc \({40^0}\). Cường độ của hai lực đó là \(3N\) và \(4N\). Tính cường độ của lực tổng hợp.
Hướng dẫn trả lời
Theo quy tắc hình bình hành, ta vẽ hình bình hành \(AOBC\) thì \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \).
Ta có \(\widehat {OBC} = {180^0} - {40^0} = {140^0}\) (Theo tính chất hình bình hành)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(OBC\). Ta có
\(\eqalign{ & O{C^2} = O{B^2} + B{C^2} - 2OB.BC.\cos \widehat {OBC} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos {140^0} \approx 43,4 \cr
& \Rightarrow \,\,OC \approx 6,6 \cr} \)
Vậy cường độ của lực tổng hợp là \(6,6N\).
Bài 37 trang 67 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 37. Từ vị trí \(A\) người ta quan sát một cây cao (h.61)
Biết \(AH = 4\,m,\,HB = 20\,m,\,\widehat {BAC} = {45^0}\). Tính chiều cao của cây.
Hướng dẫn trả lời
Tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) nên \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {4^2} + {20^2} = 416\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow AB \approx 20,4 \cr & \tan \widehat {BAH} = {{HB} \over {HA}} = {{20} \over 4} = 5 \cr & \Rightarrow \,\,\,\,\widehat {BAH} \approx 78,{7^0} \cr
& \Rightarrow \,\,\,\,\widehat {HAC} \approx 78,{7^0} + {45^0} \approx 123,{7^0} \cr}\)
\(\eqalign{ & \widehat {HAB} + \widehat {HBA} = {90^0} \cr & \widehat {ABC} + \widehat {HBA} = {90^0} \cr & \Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {ABC} \cr
& \Rightarrow \widehat {BCA} = {180^0} - \widehat {BAC} - \widehat {ABC} = {180^0} - \widehat {HAC} \cr} \)
\(\Rightarrow \,\,\,\,\widehat {BCA} \approx {180^0} - 123,{7^0} = 56,{3^0}.\)
Ta có \({{BC} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}} = {{AB} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in56,}}{{\rm{3}}^0}}}\)
\(\Rightarrow \,\,BC = {{20,4} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in56,}}{{\rm{3}}^0}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0} \approx 17,4\)
Vậy cây cao \(17,4\) m.
Bài 38 trang 67 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 38. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao \(5 m\). Từ vị trí quan sát \(A\) cao \(7 m\) so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và chân \(C\) của cột ăng-ten dưới góc \({50^0}\) và \({40^0}\) so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà (h.62).
Hướng dẫn trả lời
Đặt \(CD = x\), ta có
\(\eqalign{ & \tan {40^0} = {x \over {AD}}\,\,;\,\,\tan {50^0} = {BD\over {AD}} = {{x + 5} \over {AD}} \cr & \Rightarrow \,\,{{x + 5} \over x} = {{\tan {{50}^0}} \over {\tan {{40}^0}}} \approx 1,42 \cr & \Rightarrow \,\,0,42x = 5 \cr
& \Rightarrow \,\,x = 11,9 \cr} \)
Vậy chiều cao tòa nhà là \(HC = HD + DC = 7 + 11,9 = 18,9\) m.
Giaibaitap.me
Page 18
Bài 1 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 1. Chứng minh các công thức sau
a) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 2}\left( {|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - \overrightarrow {|a} - \overrightarrow b {|^2}} \right)\);
b) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}\left( {|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2}} \right)\).
Hướng dẫn trả lời
a) Ta có \(|\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a - \overrightarrow b )^2} = |\overrightarrow a {|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + |\overrightarrow b {|^2}\)
\( \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 2}(|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2})\)
b) Ta có \(|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} - {(\overrightarrow a - \overrightarrow b )^2}\)
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow a - \overrightarrow b ) = 4.\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}(|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2}). \cr} \)
Bài 2 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 2. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
a) Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta luôn có
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\).
b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.
Hướng dẫn trả lời
Ta có
\(\eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr &= {(\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} )^2} \cr & = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {MG} ^2} - 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \cr
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \)
b) Áp dụng câu a), ta có
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,3M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})\)
+) Nếu \({k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]} \).
+) Nếu \({k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(G\).
+) Nếu \({k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Bài 3 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 3. Cho hình bình hành \(ABCD\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.
Hướng dẫn trả lời
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có
\(\eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2} - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr} \)
Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,4O{M^2} = {k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})\).
+) Nếu \({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]} \).
+) Nếu \({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(O\).
+) Nếu \({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'. Chứng minh rằng
a) \(AI \bot C{C'}\,,\,AJ \bot B{B'}\,\);
b) \(B{C'}\,\, \bot {B'}C\,\,\).
Giải
Ta có \(\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} )\,\,;\,\,\overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} )\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ).\,(\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \)
Vì \(AB \bot AC\,,\,\,A{B'} \bot A{C'}\,\) nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} = 0\)
Mặt khác
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AB.\,A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr & \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B'}.\,AC.\cos \widehat {{B'}AC} \cr
& \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = 0\,\, \Rightarrow \,\,AI \bot C{C'} \cr} \)
Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B'}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} ).\,(\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} )\)
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AB} ) =0\cr
& \Rightarrow \,\,AJ \bot B{B'} \cr} \)
b) Ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} = (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} \cr} \)
\(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} = AB.A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\)
\(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AC.A{C'}.\cos ({180^0} - \widehat {BA{B'}}) \)
\(= - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}.\)
Do đó: \(\overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\)
Vậy \(B{C'} \bot {B'}C\).
Giaibaitap.me
Page 19
Bài 5 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho \(AM = {1 \over 4}AC.\)
a)Tính các cạnh của tam giác BMN.
b) Có nhận xét gì về tam giác BMN ? Tính diện tích tam giác đó.
c) Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính CI.
d) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.
Hướng dẫn trả lời
a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì M là trung điểm AO.
\(\eqalign{ & B{N^2} = B{C^2} + N{C^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}\,\, \Rightarrow \,\,BN = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr & B{M^2} = B{O^2} + O{M^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 4}} \right)^2} = {{5{a^2}} \over 8} \cr
& \,\,\,\, \Rightarrow \,\,BM = {{a\sqrt {10} } \over 4} \cr} \)
Kẻ MP // AD ta có
\(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} = {\left( {{{3a} \over 4}} \right)^2} + {\left( {{a \over 4}} \right)^2} = {{10{a^2}} \over {16}}\,\,\)
\(\Rightarrow \,\,MN = {{a\sqrt {10} } \over 4}\)
b) Ta có
\(MB = MN\,,\,\,B{N^2} = M{B^2} + M{N^2}\) nên tam giác BMN vuông cân tại M. Diện tích tam giác BMN là
\({S_{BMN}} = {1 \over 2}M{N^2} = {1 \over 2}.{{10{a^2}} \over {16}} = {{5{a^2}} \over {16}}\)
c) Ta có I là trọng tâm tam giác BCD nên \(IC = {2 \over 3}IO = {2 \over 3}.a.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\).
d) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.
Áp dụng định lí sin ta có
\({{BN} \over {\sin \widehat {BDN}}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = \,{{BN} \over {2\sin {{45}^0}}} = {{a\sqrt 5 } \over 2}.{1 \over {\sqrt 2 }} = {{a\sqrt {10} } \over 4}\)
Bài 6 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow e = (4\,;\,1)\) và \(\overrightarrow f = (1\,;\,4)\).
a) Tìm góc giữa các vec tơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \).
b) Tìm m để vec tơ \(\overrightarrow a = \overrightarrow e + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành.
c) Tìm n để vec tơ \(\overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f \) tạo với vec tơ \(\overrightarrow i + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}\).
Hướng dẫn trả lời
a) Góc giữa các vectơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \)
\(\eqalign{ & \cos (\overrightarrow {e\,} \,,\,\overrightarrow f ) = {{\overrightarrow {e\,} .\,\overrightarrow f } \over {|\overrightarrow {e\,} |.\,|\overrightarrow {f|} }} = {{4.1 + 1.4} \over {\sqrt {{4^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = {8 \over {17}} \cr
& \Rightarrow \,\,\,(\overrightarrow {e\,} \,,\,\overrightarrow f ) \approx {61^0}{56'} \cr} \)
b) Ta có \(\overrightarrow a = \overrightarrow {e\,} + m\overrightarrow {f\,} = (4 + m\,;\,1 + 4m)\).
\(\overrightarrow a = \overrightarrow e + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành \( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow i = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,4 + m = 0\,\, \Leftrightarrow m = - 4\) .
c) Ta có
\(\eqalign{ & \,\,\overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f = (4n + 1\,;\,n + 4)\,;\,\,\overrightarrow i + \overrightarrow j = (1\,;\,1) \cr & \,\,(\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {45^0}\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\cos {45^0} = {{\overrightarrow b \,.\,(\,\overrightarrow i + \overrightarrow j )} \over {|\overrightarrow b \,|.\,|\,\overrightarrow i + \overrightarrow j |}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,{{\sqrt 2 } \over 2} = {{(4n + 1) + (n + 4)} \over {\sqrt {{{(4n + 1)}^2} + {{(n + 4)}^2}} .\,\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,{(4n + 1)^2} + {(n + 4)^2} = {(5n + 5)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,8{n^2} + 34n + 8 = 0\,\, \Rightarrow \,\,n = {{ - 1} \over 4}\,;\,\,n = - 4. \cr} \)
Thử lại với \(n = - 4\) ta có \(\overrightarrow b = ( - 15\,;\,0)\).
\(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {{ - 15} \over {15.\sqrt 2 }} = - {1 \over {\sqrt 2 }}\) (loại)
Với \(n = {{ - 1} \over 4}\,\,;\,\,\overrightarrow b = \left( {0\,;\,{{15} \over 4}} \right)\)
\(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\) (nhận).
Vậy \(n = {{ - 1} \over 4}\).
Bài 7 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là
\({b^2} + {c^2} = 5{a^2}\)
Hướng dẫn trả lời
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN.
Áp dụng công thức tính trung tuyến ta có
\(\eqalign{ & G{B^2} = {4 \over 9}B{M^2} = {1 \over 9}(2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}) \cr
& G{C^2} = {4 \over 9}C{N^2} = {1 \over 9}(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}) \cr} \)
Do đó \(BM \bot CN\,\, \Leftrightarrow \,\,B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \,\,{1 \over 9}(2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}) + {1 \over 9}(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}) = {a^2} \cr & \Leftrightarrow \,\,4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9{a^2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} = 5{a^2} \cr} \)
Bài 8 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Trong các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn trả lời
Ta có diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = {1 \over 2}a.b.\sin C\).
Mà \(\sin C \le 1\) nên \({S_{ABC}} \le {1 \over 2}a.b\).
Do đó S lớn nhất khi \(\sin C = 1\), tức là tam giác ABC vuông tại C.
Giaibaitap.me
Page 20
Bài 9 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác ABC có \(a = 12,\,b = 16,\,c = 20\). Tính diện tích S, chiều cao \(h_a\), các bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đó.
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(p = {{a + b + c} \over 2} = {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24\)
Áp dụng công thức Hêrông, ta có
\(\eqalign{ & S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {24.12.8.4} = 96 \cr & S = {1 \over 2}a.{h_a}\,\,\, \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a} = {{2.96} \over {12}} = 16 \cr & S = {{abc} \over {4R}}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10 \cr
& S = pr\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4 \cr} \)
Bài 10 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
a)\(\cot A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}}\) ( S là diện tích tam giác ABC) ;
b) \(\cot A + \cot B + \cot C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\).
Hướng dẫn trả lời
a) Ta có
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\,\,;\,\,\,\,S = {1 \over 2}bc.\sin A \cr
& \Rightarrow \,\,\cot A = {{\cos A} \over {\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc.\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} \cr} \)
b) Tương tự câu a), ta có
\(\eqalign{ & \,\,\cot B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}}\,\,;\,\,\,\,\cot C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr & \Rightarrow \,\,\cot A + \cot B + \cot C\cr& = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr
& = \,{{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} \cr} \)
Bài 11 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho hai đường tròn \((O\,;\,R)\) và \(({O'}\,;\,{R'})\) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB, lấy điểm C ở ngoài hai đường tròn và kẻ hai tiếp tuyến CE, CF đến hai đường tròn đó ( E, F là các tiếp điểm). Chứng minh rằng CE = CF.
Hướng dẫn trả lời
Ta có
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,{\wp _{{C_{/(O)}}}} = CA.CB = C{E^2} \cr & \,\,\,\,\,{\wp _{{C_{/({O\,'})}}}} = CA.CB = C{F^2} \cr
& \Rightarrow \,\,\,CE = CF \cr} \)
Bài 12 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.
a) Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2}\) không đổi.
b) Chứng minh rằng \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Hướng dẫn trả lời
a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Ta có \(OI \bot AB\,\,;\,\,OJ \bot CD\)
Suy ra OIPJ là hình chữ nhật. Ta có
\(\eqalign{ & A{B^2} + C{D^2} = 4(A{I^2} + C{J^2}) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4(O{A^2} - O{I^2} + C{O^2} - J{O^2}) \cr} \)
\( = 4(2{R^2} - O{P^2})\) ( không đổi do cố định).
b) Ta có
\(\eqalign{ & P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} )^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} )^2} + 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr & = A{B^2} + C{D^2} + 4(P{O^2} - {R^2}) \cr & = 4(2{R^2} - O{P^2}) + 4(P{O^2} - {R^2}) \cr
& = 4{R^2} \cr} \)
Vậy \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P
Giaibaitap.me
Page 21
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 22
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 23
Bài 9 trang 72 SGK Hình học 10 nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow a = (9\,;\,3)\). Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ \(\overrightarrow a \)?
(A) \(\overrightarrow v \,(1\,;\, - 3)\); (B) \(\overrightarrow v \,(2\,;\, - 6)\);
(C) \(\overrightarrow v \,(1\,;\,3)\); (D) \(\overrightarrow v \,( - 1\,;\,3)\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(9.1 + 3.3 = 18 \ne 0\) nên \(\overrightarrow v \,(1\,;\,3)\) không vuông góc với \(\overrightarrow a = (9\,;\,3)\).
Chọn (C).
Bài 10 trang 72 SGK Hình học 10 nâng cao
Tam giác ABC có \(a = 14,\,b = 18,\,c = 20\). Kết quả nào sau đây là gần đúng nhất ?
(A) \(\widehat B \approx {42^0}{50'}\); (B) \(\widehat B \approx {60^0}{56'}\);
(C) \(\widehat B \approx {119^0}{04'}\); (D) \(\widehat B \approx {90^0}\).
Hướng dẫn trả lời
\(\eqalign{ & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{{14}^2} + {{20}^2} - {{18}^2}} \over {2.14.20}} \approx 0,49 \cr
& \Rightarrow \,\,\widehat B = {60^0}{56'} \cr} \)
Chọn (B).
Bài 11 trang 73 SGK Hình học 10 nâng cao
Nếu tam giác MNP có \(MP = 5,\,PN = 8,\,\widehat {MPN} = {120^0}\) thì độ dài cạnh MN ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất ) là
(A) \(11,4\); (B) \(12,4\);
(C) \(7,0\); (D) \(12,0\)
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(M{N^2} = M{P^2} + N{P^2} - 2.MP.NP.\cos \widehat {MPN} = 129\,\, \Rightarrow \,\,MN \approx 11,4.\) Chọn (A).
Bài 12 trang 73 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác MPQ vuông tại P. Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các góc MPE, EPF, FPQ bằng nhau.
Đặt \(MP = q,\,PQ = m,\,PE = x,\,PF = y\) (h.64).
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng ?
(A) \(ME = EF = FQ\);
(B) \(M{E^2} = {q^2} + {x^2} - xq\);
(C) \(M{F^2} = {q^2} + {y^2} - yq\);
(D) \(M{Q^2} = {q^2} + {m^2} - 2qm\).
Hướng dẫn trả lời
Ta có \(M{F^2} = M{P^2} + F{P^2} - 2.MP.FP.\cos \widehat {MPF}\)
\(= {q^2} + {y^2} - 2.q.y.\cos {60^0} = {q^2} + {y^2} - qy.\)
Chọn (C).
Giaibaitap.me
Page 24
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...
Page 25
Bài 1 trang 126 SGK Hình học 10 nâng cao
Trên hình 105, ta có tam giác ABC và các hình vuông \(A{A'}{B_1}B,\,\,B{B'}{C_1}C,\,\,C{C'}{A_1}A\) .
Chứng minh các đăng thức sau
a) \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\)
b) \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\)
c) \(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} = 0\)
d) \(\overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} = 0\)
Giải
a) Kẻ \(AH \bot BC\) ta chứng minh đường thẳng AH cắt A’A1 tại trung điểm I của A’A1. Kẻ .
Ta có: \({A'}M \bot AH\,,\,\,{A_1}N \bot AH\)
\(\eqalign{ & \Delta AHB = \Delta {A'}MA\,\,\, \Rightarrow \,\,{A'}M = AH \cr
& \Delta AHC = \Delta {A_1}NA\,\,\, \Rightarrow \,\,{A_1}N = AH \cr} \)
Từ đó suy ra: \(\Delta IM{A'} = \Delta IN{A_1}\,\,\, \Rightarrow \,\,I{A'} = \,\,I{A_1}\,\)
Tương tự gọi J là trung điểm \({B_1}{B'}\) thì \(BJ \bot AC\) .
Ta có
\(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} = \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {B{B'}} = 2\overrightarrow {BJ} \)
\(\Rightarrow \,\,(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\)
b) Theo câu a) và \(\overrightarrow {C{C'}} \bot \overrightarrow {AC} \) nên \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\) .
c) Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} \).
Ta có \(\overrightarrow u .\,\overrightarrow {AC} = 0\,,\,\overrightarrow u .\,\overrightarrow {AB} = 0\,\) . Suy ra \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \) .
d) Ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}}\cr& = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C'}} + \overrightarrow {CA} \cr
& = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \cr} \)
Bài 2 trang 126 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN (h.106).
a) Biểu thị các vectơ theo hai vectơ \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {CN} \) và \(\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} \) .
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho \(AM \bot CN\) .
Giải
a) Ta có:
\(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB} \,\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} = 2(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} )\)
\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow {AM} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} \)
Mặt khác \(\overrightarrow {BN} = 2\overrightarrow {NA} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AN} \)
\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow {AN} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \)
b) Ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CN} \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CN} = 0\cr& \Leftrightarrow \,\,\left( {{2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {{1 \over 3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) \cr&\;\;\;\;\;= 0 \cr & \Leftrightarrow \,\,{2 \over 9}A{B^2} - {2 \over 3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {1 \over 9}\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {AB} - {1 \over 3}A{C^2}\cr&\;\;\;\;\; = 0 \cr & \Leftrightarrow \,\,{2 \over 9}{c^2} - {1 \over 3}{b^2} = 0 \cr
& \ \Leftrightarrow \,\,2{c^2} = 3{b^2} \cr} \)
Bài 3 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác ABC với AB = 4; AC = 5, BC = 6 .
a) Tính các góc A, B, C.
b) Tính độ dài các đường trung tuyến và diện tích tam giác.
c) Tính các bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác .
Giải
a) Ta có \(a = 6, b = 5, c = 4\)
\(\eqalign{ & \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{5^2} + {4^2} - {6^2}} \over {2.5.4}} = {1 \over 8}\cr& \Rightarrow \widehat A \approx {83^0} \cr & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{6^2} + {4^2} - {5^2}} \over {2.6.4}} = {9 \over {16}}\cr& \Rightarrow \widehat B \approx {56^0} \cr
& \Rightarrow \,\,\widehat C \approx {41^0} \cr} \)
b) Ta có
\(\eqalign{ & m_a^2 = {1 \over 4}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;= {1 \over 4}\left( {50 + 32 - 36} \right) = {{46} \over 4}\,\, \Rightarrow \,\,{m_a} = {{\sqrt {46} } \over 2} \cr & m_b^2 = {1 \over 4}\left( {2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}} \right) = {{79} \over 4}\,\, \Rightarrow \,\,{m_b} = {{\sqrt {79} } \over 2} \cr
& \Rightarrow \,\,{m_c} = {{\sqrt {106} } \over 2} \cr} \)
Giaibaitap.me
Page 26
Bài 4 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác ABC.
a) Tam giác ABC có tính chất gì nếu \({a^2} = {{{b^3} + {c^3} - {a^3}} \over {b + c - a}}\)?
b) Biết \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\) , chứng minh rằng \(2\sin A = \sin B + \sin C\) .
Giải
a) Ta có
\(\eqalign{ & {a^2} = {{{b^3} + {c^3} - {a^3}} \over {b + c - a}}\cr& \Leftrightarrow \,\,{a^2}b + {a^2}c - {a^3} = {b^3} + {c^3} - {a^3} \cr & \Leftrightarrow \,\,{a^2}\left( {b + c} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \,\,{a^2} = {b^2} + {c^2} - bc \cr} \)
Áp dụng định lí cosin ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) .
Do đó \(\cos A = {1 \over 2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\widehat A = {60^0}\).
Vậy tam giác ABC có góc A bằng \({60^0}\) .
b) Ta có \(S = {1 \over 2}a{h_a}\,\, \Rightarrow \,\,{h_a} = {{2S} \over a}\,\,\,\,;\,\,\,S = {1 \over 2}b{h_b}\)
\(\Rightarrow \,\,{h_b} = {{2S} \over b}\,\,;\,\,{h_c} = {{2S} \over c}\) .
Do đó
\(\eqalign{ & {2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2a = b + c \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2.2R\sin A = 2R\sin B + 2R\sin C \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2\sin A = \sin B + \sin C \cr} \)
Bài 5 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hình chữ nhật OACB và OA’C’B’ như hình 107. Biết \(A(a\,;\,0)\,,\,{A'}({a'}\,;\,0)\,,\,B(0\,;\,b)\,,\,{B'}(0\,;\,{b'}\,)\,\) (a, a’, b, b; là những số dương, \(a\, \ne {a'}\,,\,b\, \ne \,{b'}\)).
a) Viết phương trình các đường thẳng AB’ và A’B.
b) Tìm liện hệ giữa để hai đường thẳng AB’ và A’B cắt nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng đó.
c) Chứng minh rằng ba điểm I, C, C’ thẳng hàng.
d) Với điều kiện nào của a, a’, b, b'; thì C là trung điểm của IC’?
Giải
a) Áp dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, ta có
\(A{B'}:\,\,{x \over a} + {y \over {{b'}}} = 1\,\,;\,\,\,\,{A'}B:\,\,{x \over {{a'}}} + {y \over b} = 1\)
b) A'B và AB' cắt nhau \( \Leftrightarrow \,\,{a \over {{a'}}} \ne {{{b'}} \over b}\,\, \Leftrightarrow \,\,ab - {a'}{b'} \ne 0\) . Tọa độ giao điểm I của A'B và AB' là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ {b'}x + ay = a{b'} \hfill \cr bx + {a'}y = {a'}b \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ x = {{a{a'}\left( {{b'} - b} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}} \hfill \cr
y = {{b{b'}\left( {{a'} - a} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I\left( {{{a{a'}\left( {{b'} - b} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}};\,\,{{b{b'}\left( {{a'} - a} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}}} \right)\)
c) Ta có \(C(a\,,\,b)\,;\,\,{C'}({a'}\,,\,{b'})\)
\(\overrightarrow {CI} = \left( { - {{ab\left( {{a'} - a} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}}; - {{ab\left( {{b'} - b} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}}} \right) = - {{ab} \over {{a'}{b'} - ab}}\overrightarrow {C{C'}} \)
Suy ra C, C', I thẳng hàng.
d) C là trung điểm IC' .
\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {C{C'}} = \overrightarrow 0 \,\, \)
\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {CI} = - \overrightarrow {C{C'}} \,\, \Leftrightarrow \,\,{{ab} \over {{a'}{b'} - ab}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,{a'}{b'} = 2ab\)
Bài 6 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3, 4); B( 6, 0)
a) Nhận xét gì về tam giác OAB ? Tính diện tích của tam giác đó.
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB.
d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Giải
a) Ta có\(OA = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\,\,\,;\,\,\,OB = \sqrt {{6^2} + 0} = 6\,\,;\)
\(AB = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\,\)
Tam giác OAB cân tại A. Gọi I là trung điểm của OB ta có I(3, 0) và \(AI = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} = 4\) .
Diện tích tam giác OAB bằng \(S = {1 \over 2}.AI.OB = {1 \over 2}.4.6 = 12\) .
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có dạng
\((C):\,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\)
Vì \(O\,,\,A\,,\,B\,\, \in \,\,(O)\) nên
\(\left\{ \matrix{ c = 0 \hfill \cr 9 + 16 + 6a + 8b + c = 0 \hfill \cr 36\,\,\,\,\,\,\,\, + 12a\,\,\,\,\,\,\,\,\, + c = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{ a = - 3 \hfill \cr b = - {7 \over 8} \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \((C)\,:\,{x^2} + {y^2} - 6x - {7 \over 4}y = 0\) .
c) Phương trình đường thẳng \(OA\,:\,\,\,{x \over 3} = {y \over 4}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4x - 3y = 0\)
Phương trình đường thẳng \(OB\,:\,\,\,y = 0\)
Phương trình các đường phân giác tại đỉnh O của tam giác OAB là:
\(\eqalign{ & {{4x - 3y} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \pm {y \over 1}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{ 4x - 3y = 5y\,\,\,\,\,\,\,({d_1}) \hfill \cr 4x - 3y = - 5y\,\,\,\,({d_2}) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{ 4x - 8y = 0 \hfill \cr 4x + 2y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{ x - 2y = 0 \hfill \cr
2x + y = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với \({d_1}:x - 2y = 0\,\,\) ta có \(({x_A} - 2{y_A})({x_B} - 2{y_B}) = - 5.6 = - 30 < 0\) . Vậy A và B khác phía đối với d1 , do đó d1 là đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.
d) Vì tam giác OAB cân tại A nên AI là phân giác trong góc A của tam giác OAB , ta có \(\overrightarrow {AI} = (0\,;\, - 4)\) nên x = 3 là phương trình đường thẳng AI.
Tọa độ tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là nghiệm hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr x - 2y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr
y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(J\left( {3\,;\,{3 \over 2}} \right)\) .
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB là
\(r = d(J,\,AO) = {{\left| {4.3 - 3.{3 \over 2}} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {3 \over 2}\)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác OAB là \({(x - 3)^2} + {\left( {y - {3 \over 2}} \right)^2} = {9 \over 4}\)
Giaibaitap.me