Bài tập Toán 12 Giải tích chương 3 bài 2
VnDoc.com xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải bài tập Toán 12 chương 3 bài 2: Tích phân, tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh rèn luyện cách giải bài tập Toán chương 3 bài 2 Giải tích một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn và thầy cô cùng tham khảo.
Giải bài tập Toán 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm
Giải bài tập Toán 12 chương 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
Giải bài tập Toán 12 chương 2 bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Giải bài tập trang 77 SGK Giải tích lớp 12: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Giải bài tập trang 84, 85 SGK Giải tích lớp 12: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Giải bài tập Toán 12 chương 3 bài 2: Tích phân
Bài 1 (trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau:
Bài 2 (trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau:
Lời giải
Bài 3 (trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:
Lời giải
Bài 4 (trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:
Lời giải
Bài 5 (trang 113 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau:
Lời giải
Bài 6 (trang 113 SGK Giải tích 12): Tính
Lời giải
Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
- Sách giáo khoa hình học 12
- Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
- Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 12
- Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
- Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
- Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
- Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12
Sách giải toán 12 Bài 2 : Cộng, trừ và nhân số phức giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 134: Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi i là biến), hãy tính:
(3 + 2i) + (5 + 8i);
(7 + 5i) – (4 + 3i);
Lời giải:
(3 + 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (2 + 8)i = 8 + 10i.
(7 + 5i) – (4 + 3i) = (7 – 4) + (5 – 3)i = 3 + 2i.
Lời giải:
(3 + 2i)(2 + 3i) = 3.2 + 3.3i + 2i.2 + 2i.3i = 6 + 9i + 4i – 6 = 13i.
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 135: Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức.
Lời giải:
Các tính chất của phép cộng
Bài 1 (trang 135 SGK Giải tích 12): Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 5i) + (2 + 4i)
b) (-2 – 3i) + (-1 – 7i)
c) (4 + 3i) – (5 – 7i)
d) (2 – 3i) – (5 – 4i)
Lời giải:
a) Ta có: (3 – 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i
b) Ta có: (-2 – 3i) + (-1 – 7i) = (-2 – 1) + (-3 – 7)i = -3 – 10i
c) Ta có: (4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 – 5) + (3-(-7))i = -1 + 10i
d) Ta có: (2 – 3i) – (5 – 4i) = (2 – 5) + (-3 + 4)i = -3 + i
Bài 2 (trang 136 SGK Giải tích 12): Tính α+ β,α- β với:
a) α = 3, β = 2i
b) α = 1 – 2i, β = 6i
c) α = 5i, β = -7i
d) α = 15; β = 4 – 2i
Lời giải:
a) Ta có: α + β = 3 + 2i ; α – β = 3 – 2i
b) α + β = (1 – 2i) + (6i) = 1 + 4i;
α – β = (1 – 2i) – (6i) = 1 – 8i
c) α + β = (5i) + (-7i) = -2i;
α – β = (5i) – (-7i) = 12i
d) α + β = (15) + (4 – 2i) = 19 – 2i ;
α – β = (15) – (4 – 2i) = 11 + 2i
Bài 3 (trang 136 SGK Giải tích 12): Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 2i)(2 – 3i)
b) (-1 + i)(3 + 7i)
c) 5(4 + 3i)
d) (-2 – 5i)4i
Lời giải:
a) (3 – 2i)(2 – 3i) = (3.2 – 2.3) + (-3.3 – 2.2)i = -13i
b) (-1 + i)(3 + 7i) = (-1.3 – 1.7) + (-1.7 + 1.3)i = -10 – 4i
c) 5(4 + 3i) = 5.4 + 5.3i = 20 + 15i
d) (-2 – 5i)4i = (-2.0 + 5.4) + (2.4 – 5.0)i = 20 – 8i
Bài 4 (trang 136 SGK Giải tích 12): Tính i3,i4;i5. Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tùy ý:
Lời giải:
+ i3 = i2.i= – 1i = -i.
i4 = i2.i2 = -1.(-1) = 1
i5 = i4.i = 1.i = i
+ Với n là số tự nhiên bất kì ta có :
Nếu n = 4k ⇒ in = i4k = (i4)k = 1k = 1.
Nếu n = 4k + 1 ⇒ in = i4k + 1 = i4k.i = 1.i = i.
Nếu n = 4k + 2 ⇒ in = i4k + 2 = i4k.i2 = 1.(-1) = -1.
Nếu n = 4k + 3 ⇒ in = i4k + 3 = i4k.i3 = 1.(-i) = -i.
Bài 5 (trang 136 SGK Giải tích 12): Tính:
a) (2 + 3i)2
b) (2 + 3i)3
Lời giải:
a) Ta có: (2 + 3i)2 = (2 + 3i)(2 + 3i) = (22 – 33) + (2.3 + 2.3)i = -5 + 12i
Tổng quát (a + bi)2 = a2 – b2 + 2abi
b) Ta có:
(2 + 3i)3 = (2 + 3i)2.(2 + 3i)
= (-5 + 12i).(2 + 3i)
= (-5.2 – 12.3) + (-5.3 + 12.2)i
= -46 + 9i
Lưu ý: Có thể tính (2 + 3i)3 bằng cách áp dụng hẳng đẳng thức
(2 + 3i)3 = 23 + 3.22.3i + 3.2.(3i)2 + (3i)3
= 8 + 36i + 54.(-1) + 27.(-1).i
= (8 – 54) + (36 – 27)i
= -46 + 9i
Bài 2. cực TRỊ CỦA HÀM số A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG Định nghĩa cực trị Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm Xo e (a; b). - Nếu có số’ h > 0 sao cho Xo e (a; b), (x0 - h; Xo + h) C2 (a; b) ta có fix) < flx0) V xe (x0 - h; Xo + h), X Xo thì khi đó Hx) đạt cực đại tại Xo và f(x0) là giá trị cực đại của hàm số’ fix). 10 GBT Giải tích 12 - CB Nêu có số h > 0 sao cho Xo e (a; b), (x0 - h; Xo + h) c (a; b) ta có f(x) > f(x0) V X G (x0 - h; Xo + h), X Xo thì khi đó fix) đạt cực tiểu tại Xo và f(x0) là giá trị cực tiếu của hàm sô' f(x). Cực đại hay cực tiểu của f(x) gọi chung là cực trị của fix). Điều kiện để hàm sô có cực trị Định lí 1: Cho hàm sô' y = fix) liên tục trên K = (xo - h; Xo + h), h > 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {xol, nếu: f(x) > 0 trên (x0 - h; Xo) và f(x) < 0 trên (x0; Xo + h) thì Xo là một điểm cực đại của fix). f(x) 0 trên (x0; Xo + h) thì Xo là một điểm cực tiểu của fix). Định lí 2: Cho hàm sô' y = fix) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 - h; Xo + h) với h > 0. Nếu: f(xo) = 0; f’(x0) > 0 thì Xo là điểm cực tiểu. —F(xq) = 0; f’(x0) < 0 thì Xo là điểm cực đại. Tìm cực trị Quy tắc 1: Ta có thế’ tìm cực trị của hàm sô' y = fix) như sau: Tìm tập xác định của hàm sô' rồi tính fix). Tìm các điểm mà tại đó f(x) không xác định hoặc bằng không. Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2: Ta có thể tìm cực trị của hàm sô' y = fix) như sau: Tìm tập xác định của hàm số rồi tính f(x). Giải phương trình f(x) = 0 và kí hiệu Xi (i = 1, 2, 3, ...) là các nghiệm của nó. Tính f’(x) và f’(Xi). Dựa vào dâ'u của f’(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm Xi. B. GIẢI BÀI TẬP Áp đụng Quỉ tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: y = 2x3 + 3x2 -36x - 10 b) y = X4 + 2x2 - 3 y = X + — d) y = X3 (1 -x)2 X y = Vx2 — x + 1 Giải Ta có: D = R y’ = 6x2 + 6x - 36 = 6(x2 + X - 6)= 0 X = - 3 hoặc X = 2 Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại X = -3 và đạt cực tiểu tại X = 2, vậy đồ thị của hàm số có điểm cực đại là (-3; 71) và điểm cực tiểu là (2; -54). Ta có: D = R y’ - 4x3 + 4x = 4x (x2 + 1) = 0 X - 0 Bảng biến thiên: Vậy hàm sô' có điểm cực tiểu là X = 0. Ta có: D = R \ Ịo} y' = 1 y = 0 o X = ± 1, hàm số không xác định tại X = 0 X Bảng biến thiên: Ta có: D = R y’ = 3x2 (1 - X)2 -2x3(1 - x) = X2 (5x2 - 8 X + 3) = 0 3 x = 0;x=l;x= — 5 Bảng biến thiên: Ta có: X = 0 không phải là điếm cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi X đi qua X = 0. -> 0 Vx G R 4 e) Ta có: X2 - X + 1 = Do đó, với mọi X e R thì 7.X2 -x + 1 luôn luôn xác định. Vậy D - R. 2x-l „ . . 1 = 0 x = -2 2a/x2 -X +1 Bảng biến thiên: 2 b) y = sin2x - X d) y = X5 - X3 - 2x + 1 Giải Áp dụng Qui tắc 2, hãy tìm các điếm cực trị của các hàm sô sau: y = X4 - 2x2 + 1 c) y - sinx + cosx a) Ta có: D = R y’ = 4x3 - 4x = 0 X = 0, X = ± 1 y” = 12x2 - 4 y”(0) = -1 0=>x = -lvàx=llà các điểm cực tiểu. Ta có: D = R .71 y = 2cos2x - 1 = 0 X = ± -7 + k7t, k e z 6 y” = -4sin2x y —+ K71 =-4sin-- xrn=-- + k7i,kG z <6 ) 3 CD 6 y --? + k7i = 4sin_ > 0 => xrT= - -7 + k7T,k e z I 6 J 3 CT 6 Ta có: D = R . .. nz .(.. , 71A y = sinx + cosx => y = <2 sin X + — k 4 J y' = Vicos X+-Ị ,y' = 0 X = Ị + k7T, keZ I 4j 4 , 71Ì y = -s/2 sin X + — I 4J m ,/7t , /- . (71 , ị -VI nếu k chan Ta CÓ: y — + k7T =-V2 sin ;-+k7T = < _ V 4 J <2 J VI nếu k lẻ Vậy hàm sô đạt cực đại tại điểm x=-y + 2k7T và cực tiểu tại điểm 4 x=^ + (2k + l)7i,VkeZ. Ta có: D = R y’ = 5x4 - 3x2 - 2 = 0 X = ± 1 y” = 20x3 - 6x ỹ”(-l) = -20 + 6 = -14 XCĐ = -1 ỹ”(l) = 20 - 6 = 14 > 0 => XCT = 1 Chứng minh rằng hàm sô' y = ựjx| không có đạo hàm tại X = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. Giải Ta có, giới hạn của tỉ sô' ~ thuộc hàm sô' y = Vjlĩ tại Xo = 0 là: Ax VI I • Av \l 0 + Ax - VÕ a/Ax lim = lim — = lim ^-2- Ax->0 Ax Ax->() Ax Ax |Ax| [-00 với Ax < 0 = lim— 21— = - Ax“‘" Axự|Ax| [+ot với Ax < 0 Nghĩa là hàm số y = ự|x| không có đạo hàm tại X = 0. Xét y - trong khoảng (0 - h; 0 + h) với h > 0, ta có: 7ịxj>0, Vxe(o-h; 0 + h); x*0 Vậy hàm số y = ựjx| đạt cực tiểu tại X = 0. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = X3 - mx X- — a - 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Giải Xét hàm số’ y = X3 - mx2 - 2x + 1, ta có: D = R y' = 3x2 -2mx-2 = 0 m - Vin2 +6 m + Vm2 +6 X. = 4- V X, = 4- 1 3 2 3 Với mọi giá trị của m ta đều có X1 < 0 < X2. Bảng biến thiên: Qua bảng biến thiên ta thấy hàm sô’ đã cho có XCĐ = 4 và m +Vm2 +6 , . X™. = — với mọi giá trị cua tham số m. c 3 Tìm a và b đế các cực trị của hàm sô’ y - ~-a2x3 + 2ax2 -9x + b đều là những sô’ dương và x() = “ là điểm cực đại. Giải Ta có: Nếu a = 0 thì y = -9x + b. Vậy hàm số không có cực trị. Nếu a * 0. Khi đó: 9 y' = 5a2x2 +2ax-9; y' = 0 X = ------ 5a Ta xét hai trường hợp: a) Nếu a < 0 thì ta có bảng biến thiên: X 1 ~ Xác định giá trị của tham sô' m để hàm sô' y = — đạt giá X + m trị cực đại tại X = 2. 16 —00 a 5a +co y' + 0 — 0 + y +00 —00 Vì X = -7- là điểm cực đại nên — = a = 9 a 9 5 Bên cạnh đó, giá trị cực tiểu là sô' dương nên: Từ đó suy ra: y(l) = ^l + 2a-9 + b = |.-^ + 2f-|ì-9 + b>0 v ’ 3 3 25 V 5 J 36 , n , 36 --7-+ b > 0 b >-7- 5 5 Nếu a > 0 thì ta có bảng biến thiên: Giãi Ta có: D = R \ l-m} X2 + 2mx + m2 -1 (x + m) y’ = 0 X, = -m -1 V X, = -m + 1 Bảng biến thiên: Vậy hàm sô' đạt cực đại tại X = 2 -m -1 = 2« m = -3.