(Chinhphu.vn) - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội công bố đề thi và đáp án các môn thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2023-2024. Đề thi Toán tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2023-2024 của Hà Nội Đáp án môn thi Toán tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2023-2024 của Hà NộiĐáng chú ý, tại đáp án môn Toán có bổ sung thêm đáp án trong trường hợp thí sinh hiểu nhầm đề bài là dấu âm do đề thi bị in mờ. Trước đó, vào ngày 12/6, một số phụ huynh đã kiến nghị với Sở GD&ĐT Hà Nội về việc đề thi Toán lớp 10 bị in mờ khiến con em họ nhầm lẫn và sai đáp án. Sau đó, Sở GD&ĐT Hà Nội đã làm việc với Hội đồng ra đề thi và các bộ phận liên quan và đưa ra phương hướng xử lý. Từ kết quả xác minh, trên tinh thần bảo đảm quyền lợi và sự công bằng tối đa cho thí sinh, Sở GD&ĐT Hà Nội đã chỉ đạo Hội đồng ra đề thi bổ sung đáp án trong trường hợp học sinh hiểu nhầm là có dấu (-) do mực in không rõ. Việc chấm bài sẽ theo đáp án được bổ sung đối với những bài có sự hiểu nhầm. Dưới đây là đề thi thử vào lớp 10 môn Toán mô phỏng theo dạng đề thi vào lớp 10 những năm trước ở Hà Nội do Phòng GD-ĐT quận Hoàn Kiếm xây dựng: Dưới đây là lời giải cho đề thi này: Năm học 2022 - 2023, dự kiến toàn TP Hà Nội có 129.210 học sinh dự xét công nhận tốt nghiệp THCS. Thực hiện công tác phân luồng sau tốt nghiệp THCS, số lượng học sinh tuyển vào trường THPT năm học 2023-2024 khoảng 102.000 em (tăng khoảng 1.000 học sinh so với năm học trước). Trong đó, số lượng tuyển vào các trường THPT công lập khoảng 72.000 học sinh (tăng 1.000 học sinh so với năm học 2022 - 2023), chiếm tỷ lệ 55,7%. Đây là tỷ lệ thấp kỷ lục trong vài năm trở lại đây. Số còn lại sẽ vào học các trường THPT công lập tự chủ tài chính và tư thục, trung tâm GDNN - GDTX và các cơ sở giáo dục nghề nghiệp. Kỳ thi vào lớp 10 Hà Nội năm 2023 sẽ được tổ chức trong 2 ngày từ 10-11/6 với 3 môn thi gồm: Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ. Cụ thể, sáng 10/6, học sinh sẽ thi môn Ngữ văn với thời gian làm bài 120 phút. Bài thi chấm theo thang điểm 10, nhân hệ số 2. Buổi chiều, học sinh thi môn Ngoại ngữ, thời gian làm bài 60 phút. Bài thi chấm theo thang điểm 10, hệ số 1. Đối với bài thi môn Ngoại ngữ, thí sinh chọn một trong các thứ tiếng như: Tiếng Anh, Tiếng Pháp, Tiếng Đức, Tiếng Nhật, Tiếng Hàn. Thí sinh được đăng ký thi ngoại ngữ khác với tiếng đang học tại trường THCS. Sáng ngày 11/6, học sinh thi môn Toán, thời gian làm bài 120 phút. Bài thi được chấm theo thang điểm 10, nhân hệ số 2. - 1. tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Đ Ề T H I T H Ử V À O L Ớ P 1 0 M Ô N T O Á N Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2023- 2024 MÔN TOÁN SỞ GIÁO DỤC HÀ NỘI (HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT) WORD VERSION | 2023 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL [email protected] vectorstock.com/47561638
- 2. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: 2 x A x + = và 1 1 4 2 2 x B x x x = − + − − + với 0 x > và 4. x ≠ a) Tính giá trị của A khi 1. x = b) Rút gọn B . c) Cho . A P B = Tìm x để ( ) 3 1 . 2 Px x ≤ − Bài 2. (2.0 điểm) 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đó may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo? 2. Sau mỗi ngày làm việc thầy Trung thường thưởng cho mình ly CHIVAS. Thầy dùng ly hình trụ có chiều cao 6cm và đường kính đáy là 8cm để thưởng thức rượu. Đầu tiên thầy rót một lượng rượu cao bằng nửa chiều cao ly rượu sau đó thầy bỏ thêm đá vĩnh cửu dạng hình cầu bán kính 2cm vào cốc rượu. Hỏi nếu thầy bỏ 3 viên đá thì lượng rượu trong cốc có tràn ra ngoài không? Tại sao? Bài 3. (2.0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2 1 7 1 5 2 1 4 1 x y x x y x + − = + − − = + 2. Cho phương trình 2 – 5 3 1 0 x x m + + = (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 2 2 1 2 | | 15 x x − =. Bài 4. (3.5 điểm) Từ điểm A nằm ở ngoài đường tròn ( ) ; O R vẽ hai tiếp tuyến , AB AC ( , B C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OAkhông chứa điểm B của đường tròn ( ) O . Gọi H là giao điểm của OA và BC . a) Chứng minh bốn điểm , , , O A B C thuộc cùng một đường tròn. b) Chứng minh: 2 . AH AO AC = . c) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp. d) Đường thẳng đi qua điểm D và song song với đường thẳng BE cắt , AB BC lần lượt tại , I K . Chứng minh : D là trung điểm của IK . Bài 5. (0.5 điểm) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 1 abc = . Chứng mình rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 1 4 1 4 1 1 2 1 2 1 2 1 a b c b c a − − − + + ≥ + + + . TRƯỜNG TH,THCS&THPT ĐA TRÍ TUỆ ĐỀ ÔN LUYỆN VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày kiểm tra: 22/04/2023
- 3. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: ………………………………………….Hết…………………………………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bà Ý Nội dung Điểm 1 a) a) Thay 1 . 4 x = (tmđk) vào biểu thức A ta có: 0,25 2 1 2 1 3 1 1 A + + = = = . Vậy với 1 . 4 x = thì giá trị của biểu thức A là 5. 0,25 b 1 1 4 2 2 x B x x x = − + − − + ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x + + + − + = = = − + − + − 1,0 c) 2 4 : 2 A x x x P B x x x + − = = = − Để ( ) ( ) 3 3 1 4 1 2 2 Px x x x ≤ − ⇔ − ≤ − 3 3 4 0 2 2 3 5 0 2 2 2 3 5 0 x x x x x x ⇔ − − + ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ 0,5 ( )( ) ( ) 2 5 1 0 2 5 0 1 0 5 2 25 4 x x x x x x ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ + > ⇔ ≤ ⇔ ≤ 0,25 Kết hợp với điều kiện ta có: 25 0 ; 4 4 x x < ≤ ≠ 0,25 2 1 Gọi số bộ quần áo xưởng may được trong một ngày theo kế hoạch là x (bộ) (Điều kiên: * x N ∈ ) 0,25 Số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch là (ngày). Số bộ quần áo may trong một ngày khi thực hiện là (bộ). Số ngày hoàn thành công việc khi thực hiện là (ngày). 0,25 Vì xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình: 0,25 280 x 5 x + 280 5 x + 280 280 1 5 x x − = +
- 4. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: ( ) ( ) ( )( ) 2 280 5 280 5 5 1400 0 35 40 0 35 40 x x x x x x x x x x ⇔ + − = + ⇔ + − = ⇔ − + = = ⇔ = − 0,5 Kết hợp điều kiện ⇒ 35 x = (thỏa mãn) ; 40 x = − (loại). Vậy : Số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là 35 bộ. 0,25 2. Thể tích rượu là 48π . Thể tích đá là 32π 0,25 Vậy rượu không tràn ra ngoài 0,25 3) 1 1. ĐKXĐ: 1, 1 x y ≠ ≥ 0,25 2 1 7 1 5 2 1 4 1 x y x x y x + − = + − − = + 4 2 1 14 1 5 2 1 4 1 x y x x y x + − = + ⇔ − − = + 9 18 1 4 2 1 4 1 x x x y x = + ⇔ − − = − 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 2 1 4 10 1 3 2 1 6 1 x x x x x TM x y y TM y y x = + = − = = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − = = − = − = − 0,25 Vậy hệ phương trình có một nghiệm là ( ) ( ) ; 2;10 x y = − . 0,25 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x ( ) 2 5 – 4 3 1 0 21–12 0 m m ⇔ ∆ = + > ⇔ > ⇒ 21 12 m < 0,25 Với 21 12 m < . Áp dụng hệ thức Viet: 1 2 1 2 5 3 1 x x x x m + = = + ⇒ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | ( ) ( ) 4 5 4(3 1) 21 12 x x x x x x x x m m − = − = + − = − + = − 0,25 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | | ( )( ) | | 5( ) | 5| | 5 21 12 x x x x x x x x x x m ⇒ − = + − = − = − = − Ta có 2 2 1 2 | | 15 5 21 12 15 x x m − = ⇔ − = 21 12 3 21 12 9 12 12 1 m m m m ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = (tm) 0,25 Vậy 1 m = là giá trị cần tìm 0,25
- 5. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: 4 a) 0,25 Xét đường tròn ( ) O có: +) AB là tiếp tuyến tại B ⇒ 0 90 ABO = ⇒ B thuộc đường tròn đường kính OA ( ) 1 +) AC là tiếp tuyến tại C ⇒ 0 90 ACO = ⇒ C thuộc đường tròn đường kính OA ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 ⇒ Bốn điểm , , , O A B C thuộc cùng một đường tròn đường kính OA 0,75 b Xét đường tròn ( ) O có: +) AB và AC là hai tiếp tuyến tại A ⇒ AB AC = ⇒ A thuộc đường trung trực của BC ( ) 3 +)OB OC = (bán kính) ⇒ O thuộc đường trung trực của BC ( ) 4 Từ ( ) 3 và ( ) 4 ⇒ AO là đường trung trực của BC ⇒ OA BC ⊥ tại H 0,5 Xét ACO ∆ vuông tại C đường cao CH ( ) CH AO ⊥ có: 2 . AC AH AO = ( ) 6 0,5 c) Xét ACD ∆ và AEC ∆ có: ACD AEC = (chứng minh trên) CAE chung ⇒ ACD AEC ∆ ∆ (g.g) ⇒ 2 . AC AD AC AD AE AE AC = ⇒ = ( ) 7 Từ ( ) 6 và ( ) 7 ⇒ . . AH AO AD AE = 0,25 M I K H E D O C B A
- 6. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: Có . . AH AO AD AE = AH AD AE AO ⇒ = Xét ADH ∆ và AOE ∆ có: AH AD AE AO = OAE chung ⇒ ADH AOE ∆ ∆ (g.g) ⇒ AHD AEO = 0,5 Mà 0 180 AHD OHD + =⇒ 0 180 AED OHD + = Xét tứ giác OHDE có 0 180 AED OHD + = Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác OHDE là tứ giác nội tiếp. 0,25 d Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHDE có: OHE ODE = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OE ) ( ) 8 Xét ODE ∆ có OD OE = (hai bán kính) ODE ⇒ ∆ cân tại O ⇒ OED ODE = ( ) 9 Có ADH AOE ∆ ∆ ⇒ OEA AHD = hay OED AHD = ( ) 10 Từ ( ) ( ) ( ) 8 , 9 , 10 ⇒ OHE AHD = Có 0 90 OHE EHM + = , 0 90 AHD DHM + = Mà OHE AHD = ⇒ EHM DHM = ⇒ HM là phân giác của EHD Xét EHD ∆ có HM là phân giác của EHD Mà HM HA ⊥ ( ) CH AO ⊥ ⇒ HA là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của HED ∆ Xét EHD ∆ có HM là phân giác của EHD ⇒ HD MD HE ME = 0,25 Có HA là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của EHD ⇒ HD AD HE AE = Mà HD MD HE ME = ⇒ MD AD ME AE = ( ) 11 0,25
- 7. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Xét ABE ∆ có / / DI BE ⇒ DI AD BE AE = ( ) 12 Xét BEM ∆ có / / KD BE ⇒ DK MD BE ME = ( ) 13 Từ ( ) ( ) ( ) 11 , 12 , 13 ⇒ DI DK DI DK BE BE = ⇒ = . Vậy D là trung điểm của IK . 4 Bất đẳng thức được viết lại là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 4 1 1 1 1 4 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 a b c b c a b b a c c b a a c b c a − − − + + + + + ≥ + + + + + + + + + ⇔ + + ≥ + + + Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 b b a a b b a b b a a ab b b a + + + + + + ≥ + ⇒ ≥ = + + + + + 0,25 Bất đẳng thức trở thành: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 b b a c c b a a c a b c a ab b bc c ca b c a b bc bc b b bc bc a b + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + = + + = + + + + + + Dấu “ ” = khi 1 a b c = = = .
- 8. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: Bài I. (2 điểm) Cho các biểu thức 2 2 x A x = − và 1 3 1 1 1 x x B x x x − = + + − + − (với 0; 1; 4 x x x ≥ ≠ ≠ ) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 9 x = . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Đặt P AB = . Tìm x để 9 8 x P + ≥ . Bài II. (2,5 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một hội trường có 100 ghế ngồi được kê thành những dãy ghế, mỗi dãy ghế có số ghế ngồi như nhau. Sau đó, khi sửa chữa người ta đã bổ sung thêm 5 dãy ghế. Để đảm bảo số chỗ ngồi của hội trường như ban đầu, mỗi dãy ghế được kê ít hơn so với ban đầu là 1 ghế. Hỏi ban đầu, hội trường có bao nhiêu dãy ghế? 2) Bạn Dũng có một chiếc cốc thủy tinh có lòng là một hình trụ có chiều cao 15cm và bán kính đáy bằng 2,5cm đang đựng 2 3 nước. Dũng đang muốn thả các viên bi ve hình cầu có bán kính 1cm vào cốc để trang trí. Hỏi bạn có thể thêm vào đó nhiều nhất bao nhiêu viên bi để nước không bị tràn ra khỏi cốc ? Bài III. (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2( 2) 2 5 1 2 3 2 5 0 x y x y − + − = − + − − = 2) Trong mặt tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) ( ) : 1 2 d y m x = − + ( m là tham số) và Parabol( ) 2 : P y x = . a) Chứng minh rằng ( ) d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B với mọi giá trị của tham số m . b) Tìm m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B sao cho diện tích OAC ∆ gấp đôi diện tích OBC ∆ (với C là giao điểm của đường thẳng ( ) d với trục tung và A là điểm có hoành độ âm). Bài IV. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây BC cố định, điểm A trên cung lớn BC sao cho ABC ∆ có ba góc nhọn. Các đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại H . Gọi K là trung điểm của BC . a) Chứng minh BCEF là các tứ giác nội tiếp. b) Kẻ đường kính AM của ( ) O . Chứng minh . . AB AC AD AM = và 2 AH OK = . c) Chứng minh rằng khi A di động trên cung lớn BC thì đoạn EF có độ dài không đổi. Bài V. (0,5 điểm) ) Cho , , a b c thỏa mãn 1 a b c + + =Chứng minh rằng : 3 1 1 1 10 3 a b c b c a + ⋅ + ⋅ + ≥ . ………………………………………….Hết…………………………………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG TH, THCS & THPT ĐA TRÍ TUỆ (Đề kiểm tra có 01 trang) ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT Môn: Toán – Lớp 9 NĂM HỌC: 2023-2024 Thời gian làm bài: 120 phút
- 9. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: HƯỚNG DẪN CHẤM Bài ý Đáp án Điểm Bài 1 1) Thay 9 x = (TMĐK) vào A ta được 0,25 Thay 9 x = vào A ta có: 2 9 6 9 2 A = = − 0,25 2) 1 3 1 1 1 x x B x x x − = + + − + − ( )( ) 1 3 1 1 1 1 x x x x x x − = − + + − + − 0,25 ( ) ( ) ( )( ) 1 1 3 1 1 x x x x x x − − + + − = + − ( )( ) 1 3 1 1 x x x x x x − − − + − = + − ( )( ) 3 2 1 1 x x x x − + = + − 0,25 ( )( ) ( )( ) 2 1 1 1 x x x x − − = + − 0,25 2 1 x x − = + . 0,25 3) Ta có: 2 2 2 . . 2 1 1 x x x P A B x x x − = = = − + + . 9 8 x P + ≥ ( ) ( ) ( ) 2 16 1 8 1 0 8 1 x x x x − + − + ⇔ ≥ + ( ) 6 9 0 8 1 x x x − + − ⇔ ≥ + ( ) ( ) 2 3 0 8 1 x x − ⇔ ≤ + 0,25 Với 0; 1; 4 x x x ≥ ≠ ≠ thì ( ) 8 1 0 x + > và ( ) 2 3 0 x − ≥ nên VT ≥ 0 với 0; 1; 4 x x x ≥ ≠ ≠ . Để 0 VT ≤ thì 0 9 VT x = ⇒ = (tmđk) Vậy: 9 x = . 0,25 Bài 2 Gọi số dãy ghế ban đầu là x (dãy).Điều kiện: * x∈ 0,25 Số ghế ở mỗi dãy lúc đầu là: 100 x (ghế). Số dãy ghế lúc sau là 5 x+ (dãy). 0,25
- 10. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: 100 5 x+ (ghế). Theo đề bài ta có phương trình: 100 100 1 5 x x − = + 0,25 100( 5) 100 ( 5) ( 5) ( 5) x x x x x x x x + − + ⇔ = + + 2 5 500 0 x x ⇔ + − = 0,25 2 5 4.1.( 500) 2025 ∆ = − − = Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 5 2025 20 2 x − + = = (nhận); 2 5 2025 25 2 x − − = = − (loại) 0,25 Vậy ban đầu hội trường có 20 dãy ghế. 0,25 Thể tích còn trống của bể là: ( ) 2 3 1 125 .15. . 2,5 (cm ) 3 4 π π = Thể tích một viên bi là: ( ) 3 3 4 4 .1 . 3 3 cm π π = 0,25 Số viên bi thêm vào là: 125 4 : 23,4375 4 3 π π ≈ Vậy bạn có thể thêm vào đó nhiều nhất 23 viên bi để nước không bị tràn ra khỏi cốc 0,25 Bài 3 1) Hệ phương trình trở thành 2 2 5 3 3 2 5 2 x y x y + − = − − = − 0,25 2 2 5 3 2 1 3 2 5 1 2 5 1 x y x y y + − = + = ⇔ ⇔ − = − = 2 2 5 3 2 2 5 3 2 6 2 5 4 7 2 5 7 x y x y x y y + − = + − = ⇔ ⇔ − − = − − = 0,5 2 2 1 2 5 1 3 2 5 1 2 x x y y y y = = ⇒ ⇔ − = = − = − = Vậy hệ phương trình có tập nghiệm { } ( ; ) (1;3);(1;2) x y ∈ 0,25 2) Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) d và( ) P : ( ) 2 1 2 x m x = − + ( ) ( ) 2 1 2 0 1 x m x ⇔ − − − = Vì ( ) 2 0 1 ac = − < ⇒ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . 0,25 Hệ thức Vi –et : 1 2 1 2 1 . 2 x x m x x + = − = − 0,25
- 11. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: Vì 1 2 2 0 . 0 ac x x = − < ⇒ < giả sử 1 2 x x < 1 2 0 x x ⇒ < < . Có (0;2) 2 C OC ⇒ = .Vì 1 2 1 2 2 2 2 OAC OBC S S x x x x ∆ ∆ = ⇒ = ⇒ = − 0,25 Lại có 2 1 2 2 2 1 . 2 2 2 1; 2 x x x x x = − ⇒ − = − ⇒ = = − Thay vào 1 2 1 0 x x m m + = − ⇒ = Vậy 0 m = thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 Bài 4 Vẽ hình đến câu a) 0,25 a Xét ABC ∆ có ba đường cao , , AD BE CF nên BE AC ⊥ ; CF AB ⊥ ; AD BC ⊥ 0.25 Xét tứ giác BFEC có 90 ; 90 BFC BEC = ° = ° khi đó ta có hai đỉnh kề , E F cùng nhìn cạnh BC dưới cùng góc 90° nên suy ra tứ giác BFEC nội tiếp. 0,5 b Xét đường tròn ( ) O có 1 2 ABD AMC = = sđ AC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC ) Xét BDA ∆ và MCA ∆ có ; 90 ABD AMC ADB ACM = = = ° suy ra ( ) g.g BDA MCA ∆ ∆ ∽ Suy ra: . . AB AM AB AC AD AM AD AC = ⇒ = . 0,75 Xét đường tròn ( ) O có đường kính AM nên 90 ABM ACM = = ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Ta có: ; // AB BM AB CF BM CF ⊥ ⊥ ⇒ hay // BM CH Ta có: ; // AC CM AC BE CM BE ⊥ ⊥ ⇒ hay // BH CM Từ đó suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành. Xét tam giác AHM có OK là đường trung bình . Vậy 2 AH OK = 0,75 K H D E F O C B A M
- 12. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: c Vì ( ) O và dây BC cố định nên , O K cố định suy ra OK không đổi, từ đó suy ra AH cũng không đổi. 0.25 Vì dây BC cố định nên EAF không đổi. Lại có .sin EF AH EAF = nên EF cố định. 0.25 Bài 5 Chứng minh rằng: 3 1 1 1 10 3 a b c b c a + ⋅ + ⋅ + ≥ . Vì 1 a b c + + =nên 1 1 1 1 1 1 1 1 P a b c abc b c a abc a b c = + + + = + + + + + Từ bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có: 3 1 1 3 3 27 a b c abc abc + + = ≥ ⇒ ≤ 0,25 Đặt x abc = , thì 1 0 27 x < ≤ Do đó ( )( ) 27 1 27 1 1 27 0 27 27 x x x x x − − + − − = ≥ Suy ra 1 1 1 730 27 27 27 x abc x abc + = + ≥ + = Mặt khác ( ) 1 1 1 1 1 1 9 9 a b c a b c a b c + + + + ≥ ⇒ + + ≥ Nên 3 730 1000 10 10 27 27 3 P ≥ + = = Vậy 3 1 1 1 10 3 a b c b c a + ⋅ + ⋅ + ≥ ; dấu “ ” = xảy ra khi 1 3 a b c = = = . 0,25
- 13. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: Bài I (2 điểm). Cho các biểu thức : 2 1 x A x x x = + − − và 1 1 B x = − ( với x > 0; x ≠ 1) 1) Tính giá trị của biểu thức B khi 9 x = 2) Đặt : C A B = , rút gọn biểu thức C 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C Bài II (2 điểm). Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Hai ôtô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5 giờ. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5 giờ 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài III (2 điểm). 1) Giải hệ phương trình: 2 3 1 5 2 3 4 1 7 2 x y x y − + = − − + = − 2) Cho phương trình: 2 3 3 0 x x m − + − =. Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 x x − = Bài IV (3,5 điểm). 1. Cho đường tròn ( ) O đường kính . AB Lấy điểm C thuộc đường tròn ( ) O với C khác A và , B biết . CA CB < Lấy điểm M thuộc đoạn , OB với M khác O và B . Đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với AB cắt hai đường thẳng AC và BC lần lượt tại hai điểm D và H a) Chứng minh bốn điểm , , , A C H M cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này. b) Chứng minh: . . MA MB MD MH = c) Gọi E là giao điểm của đường thẳng BD với đường tròn ( ) O ( E khác B ). Chứng minh ba điểm , , A H E thẳng hàng. 2. Một quả bóng hình cầu có đường kính đáy là 12cm. Tính diện tích vật liệu dùng để tạo nên vỏ của quả bóng. UBND QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG PHỔ THÔNG LIÊN CẤP ĐA TRÍ TUỆ ĐỀ THI THỬ NĂM HỌC 2023-2024 MÔN: TOÁN – LỚP 9 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày kiểm tra:
- 14. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: Bài V (0,5 điểm). Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy là hình vuông, không nắp, thể tích hộp là 4 lít. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi điểm trên hộp là như nhau. Tìm độ dài cạnh đáy hình vuông để lượng vàng cần dùng nhỏ nhất là: -----HẾT---
- 15. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI Bài Ý Nội dung Điểm I 2đ 1 9 x = (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức B 0,25đ Ta được : 1 1 2 9 1 B = = − 0,25đ 2 2 1 ( ) : 1 1 x C x x x x = + − − − 2 1 ( ) : 1 ( 1) 1 x x x x x = + − − − 0,25đ ( ) 2 2 1 . 1 ( 1) ( 1) x x C x x x x − = + − − 0,25đ ( 2)( 1) ( 1) x x C x x + − = − 0,25đ Suy ra 2 x C x + = 0,25đ 3 Ta có : 2 2 x C x x x + = = + Điều kiện : x > 0; x ≠ 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si với hai số dương x và 2 x , ta được : 2 2 2 x x + ≥ min 2 2 A ⇒ = 0,25đ Dấu “ = ” xảy ra khi 2 2 x x x = ⇔ = ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy giá trị nhỏ nhất min 2 2 A = khi 2 x = 0,25đ II 2đ Gọi vận tốc của xe đi nhanh hơn là x ( / km h ) (Điều kiện : 0 x > ) 0,25đ
- 16. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: Gọi vận tốc của xe đi chậm hơn là y ( / km h ) (Điều kiện : 0 y x < < ) Lập luận đi đến phương trình: ( ) 5 400 x y + = 0,25đ Lập luận đi đến phương trình 141 161 400 30 30 x y + = 0,5đ Giải hệ phương trình : ( ) 5 400 141 161 400 30 30 x y x y + = + = ⇒ 44 36 x y = = 0,5đ Vậy vận tốc của xe nhanh là 44km/h ; vận tốc chậm là 36km/h. 0,5đ III 2đ 1 Điều kiện: y > 2 0,25đ Đặt 1 1 , 2 x a b y − = = − 2 5 4 3 7 a b a b + = ⇒ + = với 0, 0 a b ≥ > 0,25 đ Từ đó tìm được 2 3 x y = = hoặc 0 3 x y = = thỏa mãn điều kiện. 0,25 đ Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;3) hoặc (x;y) = (0;3) 0,25đ 2 Để phương trình có 2 nghiệm 21 0 21 4 0 4 m m ⇔ ∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ . 0,25đ Ta có 1 2 ; x x là hai nghiệm của phương trình. Áp dụng hệ thức Viet ta có: 1 2 1 2 3 . 3 x x x x m + = = − 0,25đ Có: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4 . 1 x x x x x x x x − =⇔ − =⇔ + − = ⇒ 5 m = . 0,25đ Kết hợp điều kiện 21 4 m ≤ ⇒ 5 m = (thỏa mãn) Vậy: 5 m = thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 0,25đ
- 17. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: 1 2 1 x x − = . IV 3,5đ 1 0,25đ 1a a) Chứng minh bốn điểm , , , A C H M cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này. 0.75đ Xét ( ) O có AB là đường kính C là 1 điểm thuộc ( ) O ⇒ 0 90 ACB = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 0,25đ Xét tứ giác ACHM có 0 90 ACH = và 0 90 AMH = (gt) 0,25đ ⇒ tứ giác ACHM nội tiếp đường tròn tâm I ( là trung điểm AH ) và đường kính AH . 0,25đ 1b b) Chứng minh : . . MA MB MD MH = 1đ Chứng minh được: DAM MHB = 0,25đ Chứng minh: MAD ∆ ∽ MHB ∆ (g-g) MA MD MH MB ⇒ = 0,5đ . . MA MB MD MH ⇒ = 0,25đ 1c c) Chứng minh ba điểm , , A H E thẳng hàng. 1đ E H D O A B C M I
- 18. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Chứng minh: H là trực tâm của DAB ∆ . 0,25đ Chứng minh: AE cũng là đường cao của DAB ∆ 0,5đ ⇒ Ba điểm A,H, E thẳng hàng. 0,25đ 2 0,5đ Bán kính cầu là : 6 R cm = . 0,25đ Diện tích cầu là: ( ) 2 2 4 144 R cm π π = 0,25đ V 0,5đ Gọi cạnh đáy và chiều cao của khối hộp lần lượt ( ) , y x m . Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao cho diện tích toàn phần của khối hộp là lớn nhất. Ta có tổng diện tích là : 2 4 S x xy = + Do 2 2 4 4 V x y y x = = ⇒ = 2 2 2 4 16 4 S x x x x x ⇒ = + = + 0,25đ Có : 2 2 2 3 16 8 8 8 8 3 . . 12 x x x x x x x x + = + + ≥ = Dấu " " = xảy ra khi 2 x = Vậy: diện tích toàn phần nhỏ nhất sẽ là 2 12 m , khi cạnh đáy hình hộp là 2m. 0,25đ
- 19. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: Bài I. (2 điểm) Cho hai biểu thức 1 1 4 2 2 x P x x x = + + − − + và 2 3 x Q x − = − với 0; 4; 9 x x x ≥ ≠ ≠ 1) Tính giá trị của biểu thức Q khi 64 x = . 2) Chứng minh: 2 x P x = − . 3) Với x Z ∈ , tìm GTLN của biểu thức ( ) . 1 K Q P = − . Bài II. (2 điểm) 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trìn hoặc hệ phương trình: Hai ca nô cùng khởi hành từ A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 / km h và vận tốc dòng nước là 3 / . km h 2. Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh là 65cm2 . Tính thể tích của khối nón đó. Bài III. (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình 1 2 1 2 1 2 2 1 1 x x y x x y − + = − − − = − 2) Cho hàm số bậc nhất ( ) 1 3 y m x m = − + − với m là tham số và 1 m có đồ thị là đường thẳng . d a) Tìm m để d đi qua điểm ( ) 1;4 M − . b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất. Bài IV. (3,5 điểm) Cho ABC ∆ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O . Các đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại H . 1) Chứng minh: Tứ giác: DCEH nội tiếp và . . AD AE AH AC = . 2) Tia AD và BE cắt đường tròn ( ) O lần lượt tại M và N . Chứng minh : H và M đối xứng với nhau qua BC và CMN ∆ cân 3) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh 4 điểm , , , D E F K cùng thuộc 1 đường tròn Bài 5. (0,5 điểm) Cho ba số , , a b c dương . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 2 a b c a bc b ac c ab abc + + + + ≤ + + + ………………………………………….Hết………………………………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG TH, THCS & THPT ĐA TRÍ TUỆ (Đề kiểm tra có 01 trang) ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT Ngày kiểm tra: tháng năm 2023 Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
- 20. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: ĐÁP ÁN Bài ý Đáp án Điểm Bài 1 1) Thay x = 64 (TMĐK) vào Q ta được 0,25 64 2 8 2 6 8 3 5 64 3 Q − − = = = − − Vậy khi x = 64 thì 6 5 Q = . 0,25 2) ( )( ) 1 1 2 2 2 2 x P x x x x = + + − + − + 0,25 ( )( ) 2 2 2 2 x x x x x + + + − = − + 0,25 ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x + + = = − + + − 0,25 2 x x = − 0,25 3) : ( ) 2 2 . 1 . 1 3 2 3 x x K Q P x x x − = − = − = − − − *) TH1: Với 0 9 x ≤ < và 4 x ≠ thì 3 0 0 x K − < ⇒ < *) TH2: Với 9 x > thì 3 0 0 x K − > ⇒ > 0,25 Ta có: ( ) ( ) max min min min 3 K x x x ⇔ − ⇔ ⇔ Ta có: min 10 9 x x x x ∈ ⇒ = > Thay 10 x = vào biểu thức K, ta có: 6 2 10 K= + Vậy với ; 10 x x ∈ = thì GTLN của biểu thức K là 6 2 10 + 0,25 Bài 2 1) Gọi vận tốc thực của ca nô đi xuôi dòng là x (km/h) (điều kiện : 0 x > ) Vận tốc của thực ca nô đi ngược dòng là y (km/h) (điều kiện: 3 y > ) 0,25 Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là x+3 (km/h). Vận tốc của ca nô đi ngược dòng là y-3 (km/h). 0,25 Đổi:1 giờ 40 phút = 5 3 giờ Quãng đường ca nô đi xuôi dòng 5 3 giờ là ( ) 5 3 3 x + km. Quãng đường ca nô đi ngược dòng 5 3 giờ là ( ) 5 3 3 y − km. Hai ca nô gặp nhau thì tổng quãng đường của 2 ca nô bằng tổng quãng đường AB. Vây a có phương trình: ( ) ( ) 5 5 3 3 85 3 3 x y + + − = (1) 0,5
- 21. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: Có vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h. Ta có phương trình: ( ) 3 3 9 x y + − − = (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 9 5 5 3 3 85 3 3 x y x y + − − = + + − = 0,25 3 27 51 24 x y x x y y − = = ⇔ ⇔ + = = Kết hợp điều kiện ⇒ 12 40 x y = = (thỏa mãn). 0,25 Vậy vận tốc thật của ca nô xuôi dòng khi nước yên lặng là 27(km/h) và vận tốc của ca nô ngược dòng khi nước yên lặng là 24(km/h). 0,25 2) Có diện tích xung quang là 65cm2 ( ) 65 65 13 5 Rl l cm π π π π ⇒ = ⇒= = 0,25 Chiều cao của nón là : ( ) 2 2 2 2 13 5 12 h l R cm = − = − = Vậy Thể tích hình nón là: ( ) 2 2 3 1 1 . .5 .12. 100 3 3 V R h cm π π π = = = 0,25 Câu 3 1) Điều kiện xác định 1 x , 0 2 x y ≥ − > . Đặt ( ) 2 1 0, 0 1 u x u v v x y = − ≥ > = − 0,25 Ta có hệ phương trình: 2 2 1 u v u v + = − = 2 1 1 3 3 2 1 u v u u u u v v + = = = ⇔ ⇔ ⇔ = + = = (TMĐK) 0,5 2 1 1 1 1 1 0 x x y x y − = = ⇒ ⇔ = = − (TMĐK) Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 1;0 x y = . 0,25 2) a) Thay 1; 4 x y = − =vào phương trình đường thẳng d ( ) 4 1 .1 3 0 m m m ⇒ = − + − ⇒ = (TMĐK) 0,25 b) Trường hợp 1: 3 0 3 m m − = ⇔ = ⇒ d đi qua gốc tọa độ ⇒ Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng bằng 0 . 0,25
- 22. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: Trường hợp 2: 1 0 1 3 0 3 m m m m − ≠ ≠ ⇔ − ≠ ≠ Gọi , A B lần lượt là giao điểm của d với trục hoành và trục tung. ⇒ ( ) 3 ;0 ; 0;3 m 1 m A B m − − − ⇒ 3 ; 3 3 1 m OA OB m m m − = = − = − − . Xét OAB ∆ vuông tại O có: 2 2 2 1 1 1 OH OA OB = + . ⇒ ( ) 2 2 2 1 2 2 3 m m OH m − + = − 0,25 Có ( ) 2 2 2 1 2 2 3 m m OH m − + = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4( 3) 5 5 4 1 3 3 3 m m m m m − + − + = = + + − − − ( ) 2 2 5 5 2 4 1 5 2 1 2 . 3 5 5 3 5 5 5 3 m m m = + + + = + + − − − Có 2 5 2 0 3 5 m + ≥ − ⇒ 2 1 1 5 5 OH OH ≥ ⇒ ≤ . Có 5 2 > Vậy Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d lớn nhất là 5 . Khi 2 5 2 1 0 3 2 5 m m + = ⇒ = − . Vậy 1 2 m = thì Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d lớn nhất . 0,25 Câu 4 0,25 x y d -2 m 2 H B O A
- 23. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: Vẽ hình đúng tới câu 1) 1) Có BE AC ⊥ (gt) 0 90 HEC ⇒ = 0,25 Có AD BC ⊥ (gt) 0 90 HDC ⇒ = 0,25 ⇒Tứ giác DCHE nội tiếp 0,25 Xét ∆ABH và ADC ∆ có A chung 0 90 AEH ADC = = ⇒ ∆ABH ∽ ADC ∆ (g.g) 0,25 . . AH AD AD AE AH AC AE AC ⇒ = ⇒ = 0,25 2) Xét ( ) O có BCM BAD = ( góc nội tiếp cùng chắn BM ) HCD BAD = ( hai góc cùng phụ với ABC ) BCM HCD ⇒ = CD ⇒ là tia phân giác HCM . 0,25 Xét HCM ∆ có CD là tia phân giác kẻ từ đỉnh C (cmt) CD là tia đường cao kẻ từ đỉnh C ( vì AD CB ⊥ ) HCM ⇒ ∆ cân tại C HD MD ⇒ = mà HM BC ⊥ ( vì AD CB ⊥ ) Suy ra : H và M đối xứng với nhau qua BC 0,25 Có HCM ∆ cân tại C CH CM ⇒ = 0,25 Chứng minh: CHN ∆ cân tại C CH CN ⇒ = CM CN CMN ⇒ = ⇒ ∆ cân tại C. 0,25 K N M H E F D O C B A
- 24. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: 4) Gọi I là trung điểm AH D ⇒ thuộc đường tròn đường kính IK . 0,25 Chứng minh: 0 90 IEK IFK = = , E F ⇒ thuộc đường tròn đường kính IK . Vậy: 4 điểm , , , D E F K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính IK . 0,25 Câu 5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 . 2 a bc a bc a bc ab ac ab ac a bc + ≥ ⇒ ≤ = ≤ + + Tương tự : 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 b ac ba bc c ab ca bc ≤ + + ⇒ ≤ + + 0,25 ⇒ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 a b c a bc b ac c ab ab bc ca abc + + + + ≤ + + = + + + Dấu “=” xảy ra khi . a b c = = 0,25 I K N M H E F D O C B A
- 25. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: Bài I. (2 điểm) Cho hai biểu thức 1 15 9 3 x P x x + = + − − và 3 2 x Q − = với 0; 9 x x ≥ ≠ 1) Tính giá trị của biểu thức Q khi 25 x = 2) Rút gọn biểu thức . M P Q = . 3) Tìm x để 2. M > Bài II. (2 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong 1 ngày may được bao nhiêu chiếc áo ? 2) Một hộp sữa hình trụ có đường kính đáy là 12 , cm chiều cao 10 . cm Tính diện tích vật liệu dùng để tạo nên vỏ hộp sữa không tính phần mép nối (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân). Bài III. (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 1 4 1 9 2 2 1 4 2 x y x y + + = − + + = − 2) Cho phương trình 2 2( 3) 2 1 0 x m x m − + + − = . Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 3 2 x x x x + + = Bài IV. (3,5 điểm) Từ điểm M bên ngoài đường tròn ( ) ; O R , kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( ) O với A và B là các tiếp điểm. Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt ( ) O tại C (C khác A ), đường thẳng MC cắt ( ) O tại D ( D khác C ). Gọi H là giao điểm của AB và MO . a) Chứng minh rằng: 4 điểm M , A , O, B cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh 2 . MD MC MA = c) Chứng minh BDM ADB = d) Gọi F là điểm đối xứng của D qua MO . Chứng minh ba điểm , , C H F thằng hàng. Bài V. (0,5 điểm) Giải phương trình : 3 2 4 5 1 2 3 0 x x x x − + − − − = ………………………………………….Hết…………………………………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG TH, THCS & THPT ĐA TRÍ TUỆ (Đề kiểm tra có 01 trang) ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT LẦN 1 Môn: Toán – Lớp 9 Ngày kiểm tra: 01/04/2023 Thời gian làm bài: 90 phút
- 26. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: ĐÁP ÁN Bài ý Đáp án Điểm Bài 1 1) Thay 25 x = (TMĐK) vào Q ta được 0,25 25 3 5 3 1 2 2 Q − − = = = . Vậy khi 25 x = thì 1 Q = . 0,25 2) 1 15 3 . . 9 2 3 x x M P Q x x + − = = + − − 0,25 ( ) ( )( ) ( ) 3 15 3 . 2 3 3 x x x x x + + + − = − + 0,25 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 2 9 3 2 18 . . 2 2 3 3 3 3 x x x x x x x x − + − + = = − + + − 0,25 9 3 x x + = + 0,25 3) 9 6 . 1 3 3 x M P Q x x + = = = + + + Ta có: 6 2 1 3 6 3 9 3 M x x x x > ⇔ > ⇔ + < ⇒ < ⇒ < + 0,25 Kết hợp điều kiện 0; 9 x x ≥ ≠ Vậy: 0 9 x ≤ < . 0,25 Bài 2 Gọi số áo tổ 1 may được trong 1 ngày là x (chiếc áo) (điều kiện : * ,x > 10 x N ∈ ) Số áo tổ 2 may được trong 1 ngày là y (chiếc áo) (điều kiện : * y N ∈ ) 0,25 Số áo tổ 1 may trong 3 ngày là : 3x (chiếc áo). Số áo tổ 2 may trong 5 ngày là : 5y (chiếc áo). Vì hai tổ may được 1310 chiếc áo nên ta có phương trình : 3 5 1310 x y + = (1) 0,25 Trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ 2 là 10 chiếc áo. Vậy ta có phương trình : 10 x y − = (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 3 5 1310 10 x y x y + = − = 0,25 3 5 1310 8 1280 160 170 3 3 30 10 10 160 x y y y x x y x y x y y + = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − = − = − = = 0,25
- 27. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: Kết hợp điều kiên ⇒ 170 160 x y = = (thỏa mãn). Vậy : Số áo tổ 1 may được trong 1 ngày là 170 (chiếc áo) Số áo tổ 2 may được trong 1 ngày là 160 (chiếc áo) 0,25 Ta có bán kính đáy là 6cm . Diện tích đáy là: 2 .6 36. π π = (cm2 ). Diện tích xung quanh là: 2 .6.10 120 π π = (cm2 ). 0,25 Diện tích vật liệu dùng để tạo nên vỏ hộp sữa là: 2.36 120 192 π π π + = (cm2 ) Chú ý: hs làm tròn vẫn cho điểm 0,25 Bài 3 1) 1 4 1 9 2 2 1 4 2 x y x y + + = − + + = − Điều kiện xác định x 1, 2 y ≥ − ≠ . Đặt ( ) 1 0 1 2 u x u v y = + ≥ = − 0,25 Ta có hệ phương trình: 4 9 2 4 u v u v + = + = 8 2 18 7 14 2 2 4 2 4 1 u v u u u v u v v + = = = ⇔ ⇔ ⇔ += += = (TMĐK) 0,5 1 2 3 1 3 1 2 x x y y + = = ⇒ ⇔ = = − (TMĐK) Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 3;3 x y = . 0,25 2) a) + Ta có [ ]2 2 2 ' ( 3) (2 1) 4 10 ( 2) 6 0 m m m m m m ∆ = − − − − = + + = + + > ∀ Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 0,25 b) + Theo hệ thức vi-et ta có: 1 2 1 2 2( 3) . 2 1 x x m x x m + = + = − (1) Để phương trình có 2 nghiệm khác 0 thì 1 2 1 0 2 m m − ≠ ⇒ ≠ 0,25 + Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 2 ( ) 3 2 ( ) 2 3 0 x x x x x x x x x x x x + + = ⇔ + + = ⇔ + − + = (2) 0,25 Thay (1) vào (2) ta được: 0,25
- 28. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: 2( 3) 2(2 1) 3 0 2 11 0 11 2 m m m m + − − + = ⇔ − + = ⇔ = Vậy với 11 2 m = thỏa mãn đk bài toán Bài 4 Vẽ hình 0,25 a a) Chứng minh rằng: 4 điểm M , A, O, B cùng thuộc một đường tròn. + Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên 90 OAM = . + Vì MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên 90 OBM = . 180 OAM OBM ⇒ + = ⇒ 4 điểm M, A,O,B cùng thuộc một đường tròn. 0.75 b Chứng minh 2 . MD MC MA = + Xét tam giác DAM và tam giác ACM có: DAM ACM = (Hai góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD ) AMC chung ( ) DAM ACM g g ⇒ ∆ ∆ − 2 . MD MA MA MC MD MA MC ⇒ = ⇒ = (đpcm) 1 c + Gọi I là giao điểm của BO với AC + Ta có / / ( ) AC MB gt OB AC BI AC OB MB ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ + Xét tam giác OAC cân tại O có đường cao OI ⇒OI cũng là đường trung trực của đoạn của đoạn AC. BC BA AB CB ACB CAB ⇒ = ⇒ = ⇒ = ( Hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) 1 I H D C B A M O
- 29. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: + Lại có: CDB CAB = ( = 1 2 sd BC ) DCB CDB ⇒ = (1) Mà tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn tâm (O) nên 180 180 ACB ADB ADB ACB + = ⇒ = − (2) + Mà 180 180 CDB BDM BDM CDB + = ⇒ = − (3) Từ (1),(2),(3) suy ra ADB BDM = ( đpcm) d Chứng minh được tứ giác OHCD nội tiếp và HAlà tia phân giác DHC 0.25 Ta có HA là đường phân giác trong của DHC nên DHM CHO MHF = = . Suy ra 0 180 MHC MHF + = . Nên ba điểm , , C H F thẳng hàng. 0.25 Bài 5 3 2 4 5 1 2 3 0 x x x x − + − − − = . Đk: 3 2 x ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 4 4 1 2 3 0 1 2 3 2 0 1 2 3 2 2 0 1 2 3 1 2 0 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + − − − = − − + ⇔ − + = − + − − ⇔ − + = − + − ⇔ − + = − + − 0,25 ( ) 2 2 0 2 1 0 1 2 3 x x x x x − = ⇒ ⇒ = + = − + − Vì 1 0 1 2 3 x x x + > − + − Với mọi 3 2 x ≥ Vậy : 2. x = 0,25 F I H D C B A O M
- 30. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: TRƯỜNG TH,THCS&THPT ĐA TRÍ TUỆ ĐỀ ÔN LUYỆN VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày kiểm tra: 07/04/2023 Bài 1: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 7 3 x A x + = và 2 1 7 3 9 3 3 x x x B x x x + + = + + − + − với 0, 9 x x > ≠ 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 25 x = . 2) Chứng minh: 3 3 x B x = + . 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . P A B = . Bài 2: (2,0 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu ô tô chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, nếu ô tô chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB. 2) Thầy Trung có một thùng hình trụ to. Thầy đặt một một bể cá hình trụ nhỏ có cùng chiều cao vào thùng hình trụ to, bán bể cá bằng nửa bán kính thùng hình trụ to. Thầy Trung dùng phần không gian giữa hai hình trụ đổ thêm nước để nuôi tép cảnh. Hỏi tỉ số thể tích giữa phần không gian nuôi tép và hình trụ to là bao nhiêu. Bài 3: (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình (3 2)(2 3) 6 (4 5)( 5) 4 x y xy x y xy + − = + − = . 2) Cho phương trình: 2 3 3 0 x x m − + − =. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 3 3 1 2 9 x x + = . Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa ( ) O đường kính 2 AB R = ,C là điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn sao choC khác A và AC CB < . Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho: 0 90 COD = . Gọi E là giao điểm của AD và BC , F là giao điểm của AC và BD. 1) Chứng minh: CEDF là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: . . FC FA FD FB = 3) Gọi I là trung điểm của EF , chứng minh IC là tiếp tuyến của ( ) O 4) Hỏi khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, E thuộc đường tròn cố định nào? Bài 5: (0,5 điểm) Cho , , 0 a b c > và thỏa mãn 3. a b c + + = Chứng minh rằng 2 2 2 3 . 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + +
- 31. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: ………………………………………….Hết…………………………………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Hướng dẫn chấm Bài Ý Nội dung Điểm 1 1) Có 25 x = (TMĐK) 5 x ⇒ = 0,25 Thay 5 x = vào A ta có: 25 7 32 15 15 A + = = Vậy 25 x = thì 32 15 A = . 0,25 2) 2 1 7 3 9 3 3 x x x B x x x + + = + + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 3 1 . 3 7 3 3 . 3 x x x x x B x x − + + + − − = − + 0,25 ( ) ( ) 2 6 4 3 7 3 3 . 3 x x x x x B x x − + + + − − = − + 0,25 ( ) ( ) 3 9 3 . 3 x x B x x − = − + 0,25 3 3 x B x = + 0,25 3) 7 16 16 . 3 3 6 3 3 3 x P A B x x x x x + = = = − + = + + − + + + Áp dụng bất đằng thức cosi cho 2 số 3 x + và 16 3 x + ta có: ( ) 16 16 3 2 3 . 8 3 3 x x x x + + ≥ + = + + 16 3 6 2 3 x x + + − ≥ + 2 P ⇒ ≥ 0,25 Dấu “=” xáy ra khi 16 3 3 x x + = + ( ) 2 3 16 3 4 1 x x x ⇒ + = ⇔ + = ⇔ = ( tmđk) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi 1 x = . 0,25 2 1) Gọi thời gian dự định là x (giờ), vận tốc của xe lúc đầu là y (km/h) Điều kiện: 3, 10 x y > > Chiều dài quãng đường AB là ( ). xy km 0,25 Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì: +) Vận tốc của xe lúc này là: 10 y + (km/h) +) Thời gian xe đi hết Quãng đường AB là: – 3 x (giờ) 0,25
- 32. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: Ta có phương trình: ( )( ) – 3 10 x y xy + = (1) Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì: +) Vận tốc của xe lúc này là: ( ) –10 / y km h +) Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: 5 x + (giờ) Ta có phương trình: ( )( ) 5 –10 x y xy + = (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 0,25 15 40 x y = ⇔ = 0,25 Kết hợp điều kiện ⇒ 15 40 x y = = ( thỏa mãn điều kiện) Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ. Vận tốc của xe lúc đầu là 40 / . km h Quãng đường AB có độ dài là: ( ) 15.40 600 . km = 0,25 2) Giả sử bán kính đáy của thùng hình trụ nhỏ là R ⇒bán kính đáy của thùng hình trụ to là 2R Gọi thể tích hình trụ nhỏ và thể tích hình trụ to lần lượt là 1 2 ; V V ta có 2 2 1 2 ; 4 V R h V R h π π = = ⇒Thể tích phần không gian xen giữa hai thùng( Thế tích phần nước) là 2 2 1 3 V V V R h π = − = 0,25 Tỉ số thể tích phần không gian xen giữa hai thùng và thể tích thùng to là 2 2 2 3 3 4 4 V R h V R h π π = = 0,25 3 1) (3 2)(2 3) 6 6 9 4 6 6 (4 5)( 5) 4 4 20 5 25 4 x y xy xy x y xy x y xy xy x y xy + − = − + − = ⇔ + − = − + − = 0,25 9 4 6 9 4 6 9 4 6 20 5 25 4 5 16 4 20 x y x y x y x y x y x y − + = − + = − + = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − += − + = 0,25 9 4 6 9 4 6 7 14 2 x y x y x x − + = − + = ⇔ ⇔ = − = − ( ) 9. 2 4 6 2 y x − − + = ⇔ = − ( ) 9. 2 4 6 2 3 2 y x y x − − + = = − ⇔ ⇔ = − = − 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 2; 3 x y = − − . 0,25 2) Có ( ) 9 4 3 21 4 m m ∆ = − − = − Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 21 0 21 4 0 4 m m ⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ < . 0,25 ( )( ) ( )( ) 3 10 5 10 x y xy x y xy − + = + − = 10 3 30 2 80 x y y − = ⇔ =
- 33. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: Áp dụng hệ thức Viet ta có: 1 2 1 2 3 . 3 x x x x m + = = − Theo giả thiết: 3 3 1 2 9 x x + = ( ) ( ) 3 1 2 1 2 1 2 3 . 9 x x x x x x ⇔ + − + = ⇒ ( ) 3 3 3.3. 3 9 5 m m − − = ⇔ = 0,25 Kết hợp điều kiện 21 4 m < ⇒ 5 m = (thỏa mãn) 0,25 Vậy: 5 m = t hì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 3 3 1 2 9 x x + = . 0,25 4 1) Vẽ hình tới câu 1) 0,25 Xét (O) có: 90 ACB = ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) F BC ⇒ ⊥ Α 0,25 90 ADB = ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AD BF ⇒ ⊥ 0,25 Xét tứ giác FCED có ( ) ( ) 90 F 180 90 D FCE BC FCE FDE FDE BF = ° ⊥ Α ⇒ + = ° = ° ⊥ Α Mà hai góc nằm tại hai đỉnh đối nhau ⇒ tứ giác FCED nội tiếp. 0,25 2) Ta có tứ giác ACDB nội tiếp FCD FBA ⇒ =(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện) 0,25 Xét FCD ∆ và FBA ∆ có: FCD chung và FCD FBA = (cmt) ( ) FCD FBA g g ⇒ ∆ ∆ − ∽ 0,25 1 I E F D O A B C
- 34. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: FC FD FB FA ⇒ = (2 cặp cạnh tương ứng) 0.25 . . FC FA FD FB ⇒ = (đpcm) 0,25 3) Xét ECF ∆ vuông tại C có I là trung điểm của EF F CI I ⇒ = ⇒ ICF ∆ c ân tại I 1 F FCI ⇒ = (1) 0,25 Xét OAC ∆ cân tại O CAO OCA ⇒ =(2) 0,25 Xét ABF ∆ có , BC AD là hai đường cao cắt nhau tại E . E ⇒ là trực tâm của ABF ∆ EF AB ⇒ ⊥ 0 1 90 F CAO ⇒ + = (3) 0,25 Từ (1); (2); (3) 0 90 ICF OCA ⇒ + = 90 OCI OC CI ⇒ = ° ⇒ ⊥ ⇒ CI là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25 4) Ta có 1 2 3 1 3 2 180 90 90 O O O O O O + + = ° ⇒ + = ° = ° Xét (O) ta có: 1 3 1 2 1 2 1 90 45 2 DAB O ABC O DAB ABC = = ⇒ + = ⋅ °= ° Xét AEB ∆ ta có 45 DAB ABC + =° 135 AEB ⇒ = ° Qua A kẻ Ax AE ⊥ . Qua B kẻ By ⊥ ΒΕ . By ∩ Ax = K Xét tứ giác EAKB ta có ( ) ( ) 90 90 180 KAE Ax AE KBE By KAE KBE = ° ⊥ = ° ⊥ ΒΕ ⇒ + = ° Mà hai góc nằm tại hai đỉnh đối nhau nên tứ giác EAKB nội tiếp. 180 135 180 45 AKB AEB AKB AKB ⇒ + = ° ⇒ + ° = ° ⇒ = ° Gọi H là trung điểm của EK HA HE HK ⇒ = = ( AEK ∆ v uông tại A) . 0,25 H K I E F D O A B C
- 35. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: H ⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EAKB. Xét (H) : 1 90 2 AKB AHB AHB = ⇒ =°. Xét ( 90 ) AHB AHB = ° có : HA = HB (bán kính đường tròn tâm H) AHB ⇒ ∆ v uông cân tại H. Mà AB không đổi nên H cố định. Áp dụng định lí Pytago vào AHB t a có: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 HA HB AB HA R HA R HA R + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . Vậy khi C thay đổi E chạy trên đường tròn (H; 2R ) cố định. 0,25 5 Ta có : 2 2 2 2 1 . 1 1 . 1 1 1 2 2 a b b ab a a a a b b b = = − ≥ − = − + + + Tương tự ta được : 2 2 , . 1 2 1 2 b bc c ca b c c a ≥ − ≥ − + + 0,25 Cộng vế với vế ta có : ( ) 2 2 2 3 . 1 1 1 2 2 a b c ab bc ca a b c b c a + + + + ≥ + + − ≥ + + + Vì : ( ) ( ) 2 1 3 3 3 3 . 3 2 2 2 ab bc ca ab bc ca a b c a b c + + + + ≤ + + = ⇒ + + − ≥ − = 0,25
- 36. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: Bài I. (2 điểm) Cho hai biểu thức x 1 1 P x 4 x 2 x 2 = + + − − + và x 2 Q x 3 − = − với x 0;x 4;x 9 ≥ ≠ ≠ 1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x 64 = . 2) Chứng minh: x P x 2 = − . 3) Với x Z ∈ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) K Q. P 1 = − . Bài II. (2 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một ô tô đi từ trường TH, THCS& THPT Đa Trí Tuệ đến Yên Tử (Thượng Yên Công, Uông Bí, Quảng Ninh) cách trường 140km với vận tốc dự đinh. Sau khi ô tô đi được nửa quãng đường đầu thì ô tô tăng vận tốc thêm 10km / h trên hết quãng đường còn lại nên đến sớm hơn dự định 10 phút. Tính vận tốc dự định của ô tô. 2) Hai ngư dân đứng ở hai vị trí A và B ở một bên bờ hồ Đại Lải (Ngọc Thanh, Vĩnh Phúc) cách nhau 300m cùng nhìn thấy Đảo Ngọc ở vị trí C với các góc lần lượt là CAB 80 = °và CBA 85 = °như hình vẽ. Hãy tính khoảng cách từ bờ hồ đến Đảo Ngọc (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân). Bài III. (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình 1 2x 1 2 x y 1 2 2x 1 1 x y − + = − − − = − 2) Cho hàm số ( ) y m 1 x 3 m = − + − với m là tham số và m 1 ≠ có đồ thị là đường thẳng d. a) Tìm m để d đi qua điểm ( ) M 1;4 − . b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là 5 . Bài IV. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( ) O có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H , kẻ đường kính ANcủa ( ) O . Gọi M là trung điểm của BC. HO cắt AM tại G . a) Chứng minh tam giác ANC, ABN là các tam giác vuông. b) Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành và HO 3GO = . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG TH, THCS & THPT ĐA TRÍ TUỆ (Đề kiểm tra có 01 trang) ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT Ngày kiểm tra: Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) H C B A 80° 85°
- 37. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: c) Chứng minh bốn điểm E, F, D, M cùng thuộc một đường tròn. Bài V. (0,5 điểm) Cho ba số a,b,cdương. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 a b c 2abc a bc b ac c ab + + + + ≤ + + + ………………………………………….Hết…………………………………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Bài ý Nội dung Điểm I 1) Thay x = 64 (TMĐK) vào Q ta được 0,25 64 2 8 2 6 Q 8 3 5 64 3 − − = = = − − Vậy khi x = 64 thì 6 Q 5 = . 0,25 2) ( )( ) x 1 1 P x 2 x 2 x 2 x 2 = + + − + − + 0,25 ( )( ) x x 2 x 2 x 2 x 2 + + + − = − + 0,25 ( )( ) ( ) ( )( ) x x 2 x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 + + = = − + + − 0,25 x x 2 = − 0,25 3) : ( ) x 2 x 2 K Q. P 1 . 1 x 3 x 2 x 3 − = − = − = − − − *) TH1: Với 0 x 9 ≤ < và x 4 ≠ thì x 3 0 K 0 − < ⇒ < *) TH2: Với x 9 > thì x 3 0 K 0 − > ⇒ > 0,25 Ta có: ( ) ( ) max min min min K x 3 x x ⇔ − ⇔ ⇔ Ta có: min x x x 10 x 9 ∈ ⇒ = > Thay x 10 = vào biểu thức K , ta có: K 6 2 10 = + Vậy với x ; x 10 ∈ = thì GTLN của biểu thức K là 6 2 10 + 0,25 II 1) Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (điều kiện : x 0 > ) 0,25 Thời gian dự định của ô tô là 140 x (h) 0,25
- 38. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: Thời gian ô tô đi nửa quãng đường đầu là 70 x (h). Vận tốc ô tô đi nửa quãng đường sau là: x 10 + (km/h) Thời gian ô tô đi nửa quãng đường sau là 70 x 10 + (h). 0,25 Đổi:10 phút = 1 6 giờ Vì xe đến Yên Tử sớm hơn thời gian dự định 10 phút nên ta có phương trình: 70 70 1 140 x x 10 6 x + + = + (1) 0,25 Giải phương trình (1) ta tìm được x = 60 km/h. 0,25 Vậy vận tốc dự định của ô tô là 60km/h. 0,25 2) Lập luận : 300 d cot80 cot85 = °+ ° 0,25 Tính : d 1137,16m ≈ Vậy: Tính khoảng cách d từ bờ hồ đến Đảo Ngọc là 0,25 III 1) Điều kiện xác định 1 x ,x y 0 2 ≥ − > . Đặt ( ) u 2x 1 u 0,v 0 1 v x y = − ≥ > = − 0,25 Ta có hệ phương trình: u v 2 2u v 1 + = − = u v 2 u 1 u 1 3u 3 u v 2 v 1 + = = = ⇔ ⇔ ⇔ = + = = (TMĐK) 0,5 2x 1 1 x 1 1 1 y 0 x y − = = ⇒ ⇔ = = − (TMĐK) Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ) x; y 1;0 = . 0,25 2) a) Thay x 1; y 4 = − = vào phương trình đường thẳng d ( ) ( ) 4 m 1 . 1 3 m m 0 ⇒ = − − + − ⇒ = (TMĐK) 0,75 b) Đk: m 3 ≠ Gọi A,B lần lượt là giao điểm của d với trục hoành và trục tung. ⇒ ( ) m 3 A ;0 ; B 0;3 m m 1 − − − 0,25
- 39. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: ⇒ m 3 OA ;OB 3 m m 3 m 1 − = = − = − − . Xét OAB ∆ vuông tại O có: 2 2 2 1 1 1 OH OA OB = + . ⇒ ( ) 2 2 2 1 m 2m 2 OH m 3 − + = − 0,25 Vậy Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là 5 . Suy ra: 1 m 2 = . Vậy 1 m 2 = . 0,25 IV Vẽ hình tới câu a) 0,25 a) Xét ( ) O có đường kính AN Có A, C, N thuộc ( ) O ⇒ Tam giác CAN nội tiếp ( ) O , đường kính AN ⇒ Tam giác CAN vuông tại C (đpcm) 0,5 Có A, B, N thuộc ( ) O ⇒ Tam giác ABN nội tiếp ( ) O , đường kính AN ⇒ Tam giác ABN vuông tại B (đpcm) 0,25 b) Có tam giác CAN vuông tại C 0 ACN 90 CN AC ⇒ = ⇒ ⊥ Mà BH AC ⊥ ( BE AC ⊥ , H BE ∈ ) ⇒ BH / /CN (1) 0,5 Có tam giác ABN vuông tại B 0,5
- 40. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: 0 ABN 90 BN AB = ⇒ ⊥ Mà CH AB ⊥ ( CF AB ⊥ , H CF ∈ ) .⇒. CH / /BN (2) Từ (1) và (2) => tứ giác BHCN là hình bình hành. Mà M là trung điểm BC (gt) ⇒ M là trung điểm HN (tính chất hình bình hành) 0,25 Xét tam giác AHN : M là trung điểm HN O là trung điểm AN HO cắt AM tại G ⇒ G là trọng tâm tam giác AHN ⇒ HO 3GO = . 0,25 c) Chứng minh tam giác IFM vuông tại F 0,25 Chứng minh các điểm E, F, D, M cùng thuộc đường tròn đường kính IM 0,25 V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a bc 2a bc . ab ac 2 ab ac a bc a bc + ≥ ⇒ ≤ = ≤ + + Tương tự : 2 2 2 1 1 1 2 ba bc b ac 2 1 1 1 2 ca bc c ab ≤ + + ⇒ ≤ + + 0,25 ⇒ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca 2abc a bc b ac c ab + + + + ≤ + + = + + + Dấu “=” xảy ra khi a b c. = = 0,25
- 41. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: TRƯỜNG THCS & THPT NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2022-2023. MÔN: TOÁN 9 Bài 1: (2 điểm). Cho hai biểu thức 1 1 x A x x x = − − − và 1 2 1 1 B x x = + − + với 0 x > và 1 x ≠ . 1. Tính giá trị của A khi 9 x = . 2. Đặt : P A B = . Chứng minh rằng 1 x P x − = . 3. Khi 2 x ≥ , tìm giá trị nhỏ nhất của P . Bài 2: (2,5 điểm) 1. Hai người làm chung một công việc thì sau 15 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 5 giờ thì cả hai người làm được 1 4 công việc. Tính thời gian để mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc. 2. Bạn Nam muốn đo khoảng cách giữa hai địa điểm B và C nhưng vì ở giữa hai địa điểm đó có một cái hồ nước nên bạn Nam không thể đo trực tiếp được. Bạn Nam đứng ở vị trí A và đo được khoảng cách từ A đến B bằng 60 mét, khoảng cách từ A đến C bằng 100 mét và góc BAC bằng 120° (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai địa điểm B và C. Bài 3: (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 3 2 1 7 2 1 3 1 5 2 x x y x x y − + = + − − = + 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 1 d y x = + và 2 : 3 d y mx = + . Tìm m sao cho 1 d cắt 2 d tại một điểm có tung độ gấp đôi hoành độ. 120o 100m 60m B A C
- 42. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao AH và nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A trên các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( ) O . a) Chứng minh tứ giác ADBH nội tiếp. b) Chứng minh AHD ACB = và 2 . AH AD AE = . c) Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC của đường tròn ( ) O . Chứng minh rằng: nếu 2 AD AE AH + = thì ba điểm , , A H M thẳng hàng. Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình : 2 2 2 1 2 3 6 x x x x x . HẾT
- 43. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: ĐÁP ÁN TRƯỜNG THCS & THPT NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2022-2023. MÔN: TOÁN 9 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2 điểm). Cho hai biểu thức 1 1 x A x x x = − − − và 1 2 1 1 B x x = + − + với 0 x > và 1 x ≠ . 1. Tính giá trị của A khi 9 x = . 2. Đặt : P A B = . Chứng minh rằng 1 x P x − = . 3. Khi 2 x ≥ , tìm giá trị nhỏ nhất của P . Lời giải 1. Tính giá trị của A khi 9 x = . Có 1 1 x A x x x = − − − ( ) 1 1 1 x x x x = − − − ( ) 1 1 x x x − = − ( )( ) ( ) 1 1 1 x x x x + − = − 1 x x + = Thay 9 x = ( Ð ) TM K vào biểu thức A ta được: 9 1 3 1 4 3 3 9 A + + = = = Vậy tại 9 x = thì 4 3 A = 2. Đặt : P A B = . Chứng minh rằng 1 x P x − = . Có 1 2 1 1 B x x = + − + ( )( ) 1 2 1 1 1 x x x = + + + − ( )( ) 1 2 1 1 x x x − + = + − ( )( ) 1 1 1 x x x + = + −
- 44. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: 1 1 x = − nên : P A B = 1 1 : 1 x x x + = − ( ) 1 . 1 x x x + = − 1 x x − = Vậy 1 x P x − = 3. Khi 2 x ≥ , tìm giá trị nhỏ nhất của P . Có 1 1 2 3 x P x x x x x x − = = − = + − Do ( ) 3 3 2 2 1 2 x x x − − ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Áp dụng bđt Cauchy với 2 số dương, ta được 2 2 2 . 2 2 x x x x + ≥ = ( ) 2 Dấu “ =” xảy ra 2 2 x x x ⇔ = ⇔ = (TMĐK) Cộng vế ( ) 1 và ( ) 2 , ta được 2 3 3 4 3 2 2 2 2 2 2 x x x − − + − ≥ + = = Vậy khi 2 x ≥ , tìm giá trị nhỏ nhất của P là 2 2 khi 2 x = Bài 2: (2,5 điểm) 1. Hai người làm chung một công việc thì sau 15 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 5 giờ thì cả hai người làm được 1 4 công việc. Tính thời gian để mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc. 2. Bạn Nam muốn đo khoảng cách giữa hai địa điểm B và C nhưng vì ở giữa hai địa điểm đó có một cái hồ nước nên bạn Nam không thể đo trực tiếp được. Bạn Nam đứng ở vị trí A và đo được khoảng cách từ A đến B bằng 60 mét, khoảng cách từ A đến C bằng 100 mét và góc BAC bằng 120 (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai địa điểm B và C.
- 45. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: Lời giải 1. Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là: x (giờ) ( ) x ;x 15 ∈ > Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là: y (giờ) ( ) y ;y 15 ∈ > 1 giờ người thứ nhất làm được 1 x (công việc) 1 giờ người thứ hai làm được 1 y (công việc) 1 giờ cả hai người làm được 1 1 1 15 + = x y (1) Vì người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 5 giờ thì cả hai người làm được 1 4 công việc nên ta có phương trình 3 5 1 4 + = x y (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 15 3 5 1 4 + = + = x y x y 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24 5 15 15 24 1 1 3 5 1 2 1 1 1 40 40 4 20 40 + = + = + = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = + = = = x x y x y x y x y y x y y y (thỏa mãn) Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 24 giờ Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 40 giờ 2. 120o 100m 60m B A C
- 46. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Xét tam giác ABC , có 120 = ° BAC 60 ⇒ =° BAH Xét ∆ABH vuông tại H có sin = BH BAH BA (hệ thức lượng trong tam giác vuông) sin sin60 60.sin60 30 3 60 ⇒ = ⇒ ° = ⇒ = ° = BH BH BAH BH BA m Xét ∆ABH vuông tại H ta có 2 2 2 + = BH HA BA (định lý Pytago) ( ) 2 2 2 2 60 30 3 30 ⇒ = − = − = HA BA BH m Ta có 30 100 130 = + = + = HC HA AC m Xét ∆BHC vuông tại H ta có 2 2 2 + = BH HC BC (định lý Pytago) ( ) 2 2 30 3 130 140 ⇒ = + = BC m Vậy khoảng cách giữa hai điểm B và C là 140m Bài 3: (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 3 2 1 7 2 1 3 1 5 2 x x y x x y − + = + − − = + 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 1 d y x = + và 2 : 3 d y mx = + . Tìm m sao cho 1 d cắt 2 d tại một điểm có tung độ gấp đôi hoành độ. Lời giải 1. Điều kiện xác định: 1; 2 x x y ≥ ≠ − 3 2 1 7 2 1 3 1 5 2 x x y x x y − + = + − − = + 120o 100m 60m H B A C
- 47. liệu word toán SĐT (zalo): 7 Website: 3 2 1 7 2 3 9 1 15 2 x x y x x y − + = + ⇔ − − = + 11 1 22 1 3 1 5 2 x x x y − = ⇔ − − = + 1 2 1 3.2 5 2 x x y − = ⇔ − = + 1 4 1 1 2 x x y − = ⇔ = + 5 1 1 5 2 x y = ⇔ = + 5 5 2 1 x y = ⇔ + = 5 2 x y = ⇔ = − (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) ; x y là (5; 2) − . 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 1 d y x = + và 2 : 3 d y mx = + . Tìm m sao cho 1 d cắt 2 d tại một điểm có tung độ gấp đôi hoành độ. Xét phương trình hoành độ giao điểm của 1 d và 2 d là: 1 3 x mx + = + ( 1) 2 x m ⇔ − = − Để 1 d cắt 2 d tại một điểm 1 0 m ⇔ − ≠ 1 m ⇔ ≠ Khi đó, 2 1 x m − = − . Thay vào 1 y x = + ta được: 2 2 1 3 1 1 1 1 m m y m m m − − + − − = + = = − − − Để giao điểm có tung độ gấp đôi hoành độ 3 2 2. 1 1 m m m − − ⇔ = − − 3 4 m ⇔ − = − 1 m ⇔ = − (thỏa mãn điều kiện) Vậy 1 m = − để 1 d cắt 2 d tại một điểm có tung độ gấp đôi hoành độ.
- 48. liệu word toán SĐT (zalo): 8 Website: Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao AH và nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A trên các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( ) O . a) Chứng minh tứ giác ADBH nội tiếp. b) Chứng minh AHD ACB = và 2 . AH AD AE = . c) Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC của đường tròn ( ) O . Chứng minh rằng: nếu 2 AD AE AH + = thì ba điểm , , A H M thẳng hàng. Lời giải a) Xét tứ giác ADBH có: * 90 AHB = ° (đường cao { } AH BC H ⊥ = ) * 90 ADB = ° ( { } AD BD D ⊥ =) ⇒ 90 90 180 AHB ADB + = °+ ° = ° Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau ⇒ Tứ giác ADBH nội tiếp (điều phải chứng minh). b) Xét tứ giác ADBH nội tiếp có: AHD ABD = (2 góc có đỉnh B và H có đỉnh kề nhau cùng nhìn AD ) Mà xét ( ) O có: ACB ABD = (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn AB ) ⇒ AHD ACB = ( ABD = ) (điều phải chứng minh). (1) Xét tứ giác AECH có: * 90 AHC = ° (đường cao { } AH BC H ⊥ = ) * 90 AEC = ° ( { } AE CE E ⊥ =) ⇒ 90 90 180 AHC AEC + = °+ ° = ° Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau ⇒ Tứ giác AECH nội tiếp (dấu hiệu nhận biết). ⇒ ACB AEH = (2 góc có đỉnh C và E có đỉnh kề nhau cùng nhìn AH ) (2) Từ (1), (2) ⇒ AHD AEH = ( ACB = ) Chứng minh tương tự: ⇒ ADH AHE = . Xét ADH ∆ và AHE ∆ có: M E D H B C O A
- 49. liệu word toán SĐT (zalo): 9 Website: * ADH AHE = (chứng minh trên) * AHD ACB = (chứng minh trên) ⇒ ADH ∆ và AHE ∆ (góc – góc) ⇒ AD AH AH AE = (cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒ 2 . AH AD AE = (điều phải chứng minh). c) Ta có: 2 AD AE AH + = (giả thiết) ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 AD AE AH + = ⇒ 2 2 2 2 . 4 AD AD AE AE AH + + = Mà 2 . AH AD AE = (chứng minh trên) ⇒ 2 2 2 2 2 4 AD AH AE AH + + = ⇒ 2 2 2 2 AD AE AH + = (3) Lại có: 2 2 2 2 . 2 AD AE AD AE AH + ≥ = (bất đẳng thức Cô-si) (3) Từ (3), (4) ⇒ dấu bằng xảy ra khi: AE AD AH = = Xét ADB ∆ và AHB ∆ có: * 90 ADB AHB = = ° (chứng minh trên) * AB chung * AD AH = (chứng minh trên) ⇒ ADB AHB ∆ = ∆ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). ⇒ ABD ABH = (góc tương ứng). Mà ACB ABD = (chứng minh trên) ⇒ ABH ACB = . ⇒ ABC ∆ cân tại A ⇒ AB AC = ⇒ A thuộc đường trung trực của BC . (5) Mà AH là đường cao của ABC ∆ cân tại A ⇒ H thuộc đường trung trực của BC . (6) Mà M là điểm chính giữa của BC nhỏ ⇒ MB MC = ⇒ MB MC = (liên hệ giữa dây – cung). ⇒ M thuộc đường trung trực của BC . (7) Từ (5), (6), (7) ⇒ ba điểm , , A H M thẳng hàng (điều phải chứng minh). Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình : 2 2 2 1 2 3 6 x x x x x . Lời giải Điều kiện : 0 x Đặt 2 1 1 t x t 2 1 x t Khi đó phương trình đã cho trở thành : 2 2 2 3 3 1 t x x x t 2 2 2 3 3 3 0 t x x xt x 2 2 3 2 0 t xt x 2 2 2 2 0 t xt xt x 2 0 t t x x t x 2 0 t x t x 2 t x t x Trường hợp 1 : t x
- 50. liệu word toán SĐT (zalo): 10 Website: 2 1 x x 2 1 2 0 x x 2 1 2 x 1 2 1 2 x x 1 2 1 2 x x 3 2 2 x (Thỏa mãn) Trường hợp 2 : 2 t x 2 1 2 x x 2 2 1 0 x x 1 2 0 2 x x 1 1 1 2 0 4 4 2 x x 2 1 3 2 0 2 2 x 2 1 3 2 4 x 1 3 2 2 1 3 2 2 x x 1 3 2 2 1 3 ( ) 2 2 x x Loai 3 2 2 x (Thỏa mãn) Vậy 3 2 ;3 2 2 2 S . HẾT
- 51. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: TRƯỜNG THCS ARCHIMEDES ACADEMY ĐỀ THI THỬ VÀO 10 LẦN 1 MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2022-2023 Bài I. (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 1 x A x + = + và 1 2 4 4 2 2 x B x x x = − + − − + với 0; 4 x x ≥ ≠ . a) Tính giá trị của biểu thức A tại 25 x = . b) Chứng minh 3 2 B x = + . c) Tìm số dương x để biểu thức . P A B = nhận giá trị nguyên. Bài II. (2,5 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai tổ sản xuất của nhà máy theo kế hoạch phải làm 1800 bộ kit test COVID-19. Nhưng tổ I đã làm vượt mức 25% kế hoạch và tổ II làm vượt mức 30% kế hoạch, vì vậy hai tổ đã làm được 2300 bộ kit test COVID-19. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu bộ bộ kit test COVID-19? 2) Một bể bơi có dạng một hình hộp chữ nhật với chiều dài 50m, chiều rộng 24m và chiều cao 2,5m. Người ta bơm nước vào bể sao cho mặt nước cách mép bể 0,8m . Tính thể tích nước có trong bể? Bài III. (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 7 5 2 2 2 2 2 5 + + + = + + + = x x y x x y . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) 1 d : ( ) 1 2 = + + y m x và đường thẳng ( ) 2 d : 2 3 = + y mx . Tìm m để ( ) 1 d cắt ( ) 2 d tại một điểm nằm trên đường thẳng = y x . Bài IV. (3 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn ( ) O . Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn ( ) O cắt nhau tại M . 1) Chứng minh bốn điểm , , , M B O A cùng thuộc một đường tròn và OA BC ⊥ 2) MC cắt đường tròn ( ) O tại D ( ) D C ≠ và tia BD cắt MA tại N . Chứng minh: 2 . NA ND NB = và N là trung điểm của AM . 3) Kẻ đường kính AK của đường tròn ( ) O , DK cắt BC tại E . Tính EC BC . Bài V (0,5 điểm). Xét các số thực dương , x y thỏa mãn 3 3 2 2 2 ( ) x y x y xy x y + + + = + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 2 3 2 ( ) K x y x y x y = + + + + +
- 52. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài I. (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 1 x A x + = + và 1 2 4 4 2 2 x B x x x = − + − − + với 0; 4 x x ≥ ≠ . a) Tính giá trị của biểu thức A tại 25 x = . b) Chứng minh 3 2 B x = + . c) Tìm số dương x để biểu thức . P A B = nhận giá trị nguyên. Lời giải a) Thay ( ) 25 x TM = vào biểu thức 2 1 x A x + = + ta được: 25 2 5 2 7 5 1 6 25 1 A + + = = = + + Vậy với 25 x = thì giá trị của biểu thức 7 6 A = . b) 1 2 4 4 2 2 x B x x x = − + − − + ĐKXĐ: 0; 4 x x ≥ ≠ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x B x x x x x x − + = − + − + − + − + ( )( ) 2 2 4 8 2 2 x x x B x x + − + − = − + ( )( ) ( ) ( )( ) 3 2 3 6 2 2 2 2 x x B x x x x − − = = − + − + 3 2 B x = + Vậy với 0; 4 x x ≥ ≠ thì biểu thức 3 2 B x = + . c) Ta có: . P A B = 2 3 3 . 1 2 1 x x x x + = = + + + Ta thấy 3 0; 4 1 1 3 1 x x x x > ≠ ⇒ + > ⇒ < + ( ) 3 1 P ⇒ < ( ) 3 1 0 0 0 2 1 3 0 x P x + > ⇒ > ⇒ > + > Từ ( )( ) 1 2 0 3 P ⇒ < < mà P∈ { } 1;2 P ⇒ ∈ Với 3 1 1 1 P x = ⇒ = + 1 3 x ⇒ + = 2 x ⇔ = ( ) 4 x KTM ⇔ =
- 53. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: Với 2 P = 3 2 1 x ⇒ = + 2 2 3 x ⇒ + = 2 1 x ⇔ = 1 2 x ⇔ = ( ) 1 4 x TM ⇔ = Vậy với 1 4 x = thì biểu thức . P A B = nhận giá trị nguyên. Bài II. (2,5 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai tổ sản xuất của nhà máy theo kế hoạch phải làm 1800 bộ kit test COVID-19. Nhưng tổ I đã làm vượt mức 25% kế hoạch và tổ II làm vượt mức 30% kế hoạch, vì vậy hai tổ đã làm được 2300 bộ kit test COVID-19. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu bộ bộ kit test COVID-19? 2) Một bể bơi có dạng một hình hộp chữ nhật với chiều dài 50m, chiều rộng 24m và chiều cao 2,5m. Người ta bơm nước vào bể sao cho mặt nước cách mép bể 0,8m . Tính thể tích nước có trong bể? Hướng dẫn giải Gọi số lượng bộ kit test COVID-19 tổ I phải làm theo kế hoạch là x ( ) * ; boä x∈ . Gọi số lượng bộ kit test COVID-19 tổ II phải làm theo kế hoạch là y ( ) * ; boä y∈ . Theo kế hoạch cả hai tổ phải làm 1800 bộ kit test COVID-19, nên ta có phương trình: 1800 x y + = (1) Thực tế, tổ I làm vượt mức 25% kế hoạch, nên thực tế tổ I làm được 0,25 1,25 x x x + = (bộ). Thực tế, tổ II làm vượt mức 30% kế hoạch, nên thực tế tổ II làm được 0,3 1,3 y y y + = (bộ). Thực tế cả hai tổ làm được 2300 bộ kit test COVID-19, nên có phương trình 1,25 1,3 2300 x y + = (2) Từ (1) và (2) có hệ phương trình: 1800 1,25 1,3 2300 x y x y + = + = 1,25 1,25 2250 1800 800 1,25 1,3 2300 0,05 50 1000 x y x y x x y y y + = + = = ⇔ ⇔ ⇔ + = = = (thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch tổ I cần phải làm 800 bộ kit test COVID-19. Theo kế hoạch tổ II cần làm 1000 bộ kit test COVID-19. 2) Chiều cao mực nước trong bể sau khi bơm là:
- 54. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: 2,5 0,8 1,7 − = ( ) m Thể tích nước có trong bể là: 50.24.1,7 2040 = ( ) 3 m Bài III. (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 7 5 2 2 2 2 2 5 + + + = + + + = x x y x x y . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) 1 d : ( ) 1 2 = + + y m x và đường thẳng ( ) 2 d : 2 3 = + y mx . Tìm m để ( ) 1 d cắt ( ) 2 d tại một điểm nằm trên đường thẳng = y x . Hướng dẫn 1) ( ) ( ) 7 5 2 2 2 2 2 5 + − + = + + + = x x y x x y (Điều kiện: 0 + ≥ x y ) ⇔ ( ) ( ) 10 2 4 7 8 2 4 20 + − + = + + + = x x y x x y ⇔ ( ) 18 2 27 2 2 5 + = + + + = x x x y ⇔ ( ) 3 2 2 3 2. 5 2 + = + + = x x y ⇔ 9 2 4 2 + = + = x x y ⇔ 1 4 7 4 = = x y (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: ( ) 1 7 ; ; 4 4 = x y . 2) + ( ) 1 d cắt ( ) 2 d ⇔ 1 2 + ≠ m m ⇔ 1 ≠ m + Tọa độ giao điểm của ( ) 1 d và ( ) 2 d là nghiệm hệ phương trình: ( ) 1 2 2 3 = + + = + y m x y mx Giao điểm của ( ) 1 d và ( ) 2 d nằm trên đường thẳng = y x nên ta có: ( ) 1 2 2 3 = + + = + x m x x mx ⇔ 2 2 3 = − = + mx x mx ⇔ ( ) 2 2. 2 3 = − = − + mx x ⇔ ( ) . 1 2 1 − = − = − m x ⇔ 2 1 = = − m x (thỏa mãn) Vậy 2 = m thì ( ) 1 d cắt ( ) 2 d tại một điểm nằm trên đường thẳng = y x . Bài IV. (3 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn ( ) O . Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn ( ) O cắt nhau tại M .
- 55. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: 1) Chứng minh bốn điểm , , , M B O A cùng thuộc một đường tròn và OA BC ⊥ 2) MC cắt đường tròn ( ) O tại D ( ) D C ≠ và tia BD cắt MA tại N . Chứng minh: 2 . NA ND NB = và N là trung điểm của AM . 3) Kẻ đường kính AK của đường tròn ( ) O , DK cắt BC tại E . Tính EC BC . Hướng dẫn 1) Chứng minh bốn điểm , , , M B O A cùng thuộc một đường tròn và OA BC ⊥ +) Ta có: MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn ( ) O lần lượt tại A và B nên ; MA MB = ; MA AO MB BO ⊥ ⊥ suy ra 90 MAO MBO = = Ta có: 90 MAO = nên điểm A thuộc đường tròn đường kính OM (1) Ta có: 90 MBO = nên điểm B thuộc đường tròn đường kính OM (2) Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm , , , M B O A cùng thuộc một đường tròn. +) Ta có: ABC ∆ cân tại A nên AB AC = suy ra A thuộc đường trung trực của BC Ta có: OB OC R = = nên O thuộc đường trung trực của BC Từ đó suy ra OA là đường trung trực của BC nên OA BC ⊥ 2) MC cắt đường tròn ( ) O tại D ( ) D C ≠ và tia BD cắt MA tại N . Chứng minh: 2 . NA ND NB = và N là trung điểm của AM . +) Xét đường tròn ( ) O có: NAD NBA = (hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng và góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên bằng nhau) Xét NAD ∆ và NBA ∆ có: BNA chung và NAD NBA = nên ( . ) NAD NBA g g ∆ ∆ ∽ Suy ra: 2 . NA ND NA NB ND NB NA = ⇒ = (3) +) Xét đường tròn ( ) O có: AB AC AB AC = ⇒ = (liên hệ giữa cung và dây) Xét đường tròn ( ) O có: 1 1 2 2 AMC sd AC sd AD = − (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) N D M A O B C
- 56. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Nên 1 1 1 2 2 2 AMC sd AB sd AD sd BD = − = mà 1 2 MBD sd BD = (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung). Suy ra: AMC MBD = Xét NMD ∆ và NBM ∆ có: MNB chung và NMD NBM = nên ( . ) NMD NBM g g ∆ ∆ ∽ Suy ra: 2 . NM ND NM NB ND NB NM = ⇒ = (4) Từ (3) và (4) suy ra: NA NM = nên N là trung điểm của AM . 3) Kẻ đường kính AK của đường tròn ( ) O , DK cắt BC tại E . Tính EC BC . +) Xét đường tròn ( ) O có đường kính AK vuông góc với dây cung BC nên suy ra K là điểm chính giữa cung BC nên BK KC = Xét đường tròn ( ) O có: BDK KDC = (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) Xét BDC ∆ có DE là đường phân giác nên BE BD EC DC = (t/c đường phân giác Δ) Vì DN MN NMD NBM DM BM ∆ ∆ ⇒ = ∽ Do ( ) / / AM BC AK ⊥ nên 1 1 2 2 2 3 BD DN MN MN BE EC DC DM BM MA EC BC = = = = ⇒ = ⇒ =. Bài V (0,5 điểm). Xét các số thực dương , x y thỏa mãn 3 3 2 2 2 ( ) x y x y xy x y + + + = + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 2 3 2 ( ) K x y x y x y = + + + + + Hướng dẫn Ta có: ( )( ) 2 2 2 0 x y x xy y + − + ≥ với , x y là các số thực dương Khi đó: ( )( ) ( ) 2 2 0 x y x xy y xy x y + − + − + ≥ ( )( ) ( ) 2 2 x y x xy y xy x y + − + ≥ + E K N D M A O B C
- 57. liệu word toán SĐT (zalo): 7 Website: Hay ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 x y xy x y x y xy x y + ≥ + ⇔ + ≥ + Khi đó: ( ) 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 x y x y x y x y x y + ≥ + + + ≥ + ⇔ + Ta có: 2 2 2 x y xy + ≥ với , x y là các số thực dương Nên: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 x y x xy y x y x y x y x y + ≥ + + ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ + + Xét: 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 ( ) 1 K x y x y x y x y x y x y = + + + ≥ + + + + + + + Khi đó: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 K x y x y x y x y ≥ + ≥ + + + = + Vậy 4 Min K = khi 1 x y = =
- 58. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức ( ) 2 2 1 2 ; 1 1 x x x x x P x x x x − − + = − + + + − 0; 1. x x ∀ > ≠ 1. Tính giá trị của P khi 9. x = 2. Rút gọn . P 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của . P Bài 2: (2,5 điểm) 1) Chiều cao của một ngọn hải đăng là bao nhiêu? Biết rằng khi tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh của ngọn hải đăng hợp với mặt đất một góc 350 thì bóng của ngọn hải đăng trên mặt đất dài 20 m ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). 2) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Nếu giảm chiều rộng của một mảnh vườn hình chữ nhật đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì diện tích mảnh vườn giảm đi 2 54m . Nếu tăng chiều rộng của mảnh vườn thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 2 32m . Hày tính các kích thước của mảnh vườn. Bài 3. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình sau trên tập hợp số thực: 2 2( 3 1) 2 3 3 0 x x − − + − = 2) Cho phương trình 2 2 2 2 0 x mx m − + − =, với m là số thực. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x sao cho 1 2 3 6 x x + = . Bài 4. (3 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BM và CN cắt nhau tại H . 1. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp một đường tròn và xác định vị trí tâm I của đường tròn đó. 2. Gọi D là một điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt nhau tại điểm thứ hai là E . Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . TRƯỜNG THCS & THPT LƯƠNG THẾ VINH ĐỀ THI THỬ VÀO 10 – LẦN 2 MÔN: TOÁN Năm học: 2022 - 2023 Thời gian làm bài: 90 phút
- 59. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: 3. Gọi K là một điểm di động trên nửa đường tròn đường kính BC (cung chứa điểm M ) và Q là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BC . Tìm vị trí điểm K để tổng KQ BQ + đạt giá trị lớn nhất. Bài 5: (0,5 điểm) , , a b c là các số thực dương, chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + +
- 60. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: 20m o 35 B A C HƯỚNG DẪN Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức ( ) 2 2 1 2 ; 1 1 x x x x x P x x x x − − + = − + + + − 0; 1. x x ∀ > ≠ 1. Tính giá trị của P khi 9. x = 2. Rút gọn . P 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của . P Hướng dẫn 1. Tính giá trị của P khi 9. x = Thay ( ) 9 x tmdk = vào P ta được: 9 9 1 9 3 1 7 P = − + = − + = Vậy 7 P = khi 9. x = 2. Rút gọn . P ( ) 2 2 1 2 1 1 x x x x x P x x x x − − + = − + + + − ( ) ( ) ( )( ) 3 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x P x x x x − + − + = − + + + − ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 x x x x P x x x x − + + = − + + + + + 2 1 2 2 P x x x x = − − − + + 1 P x x = − + Vậy 1; P x x = − + 0; 1. x x ∀ > ≠ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của . P ( ) 2 2 2 1 1 3 1 3 1 2. . 2 2 4 2 4 P x x x x x = − + = − + + = − + Vì 2 1 0 2 x − ≥ x ∀ tmdk 2 1 3 3 2 4 4 x ⇔ − + ≥ x ∀ tmdk 3 4 P ⇔ ≥ x ∀ tmdk Dấu " " = xảy ra ( ) 1 1 1 0 2 2 4 x x x tm ⇔ − = ⇔ = ⇔ = Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 4 khi 1 . 4 x = Bài 2: (2,5 điểm) 1) Chiều cao của ngọn hải đăng là bao nhiêu? Biết rằng khi tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh của ngọn hải đăng hợp với mặt đất một góc 350 thì bóng của ngọn hải đăng trên mặt đất dài 20 m ( làm tròn kết quả đén chữ số thập phân thứ nhất). Hướng dẫn Tam giác ABC vuông tại A, ta có: tan AC B AB = 0 tan35 20 AC ⇒ = 0 tan35 .20 14 AC m ⇒= = Vậy chiều cao của ngọn hải đăng là: 14m
- 61. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: 2) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Nếu giảm chiều rộng của một mảnh vườn hình chữ nhật đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì diện tích mảnh vườn giảm đi 2 54m . Nếu tăng chiều rộng của mảnh vườn thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 2 32m . Hày tính các kích thước của mảnh vườn. Lời giải Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là , a b ( đơn vị:m , đk: 4, 3 a b > > ). Diện tích của mảnh vườn là: 2 . ( ) a b m Khi giảm chiều rộng của một mảnh vườn hình chữ nhật đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì diện tích mảnh vườn giảm đi 2 54m nên ta có phương trình: ( ) ( ) 3 . 8 54 (1) b a ab − + = − Khi tăng chiều rộng của mảnh vườn thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 2 32m nên ta có phương trình: ( ) ( ) 2 . 4 32 (2) b a ab + − = + Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( 3). 8 54 2 . 4 32 b a ab b a ab − + = − + − = + 8 3 24 54 4 2 8 32 ab b a ab ab b a ab + − − = − ⇔ − + − = + 8 3 30 4 2 40 b a b a − = − ⇔ − + = 50 ( ) 15 ( ) a tm b tm = ⇔ = Vậy chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là: 50 ,15 m m . Bài 3. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình sau trên tập hợp số thực: 2 2( 3 1) 2 3 3 0 x x − − + − = 2) Cho phương trình 2 2 2 2 0 x mx m − + − =, với m là số thực. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x sao cho 1 2 3 6 x x + = Lời giải 1) Phương trình: 2 2( 3 1) 2 3 3 0 x x − − + − = Có 1 2( 3 1) 2 3 3 0 a b c + + = − − + − = nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 1; 2 3 3 x x = = − 2) Cho phương trình 2 2 2 2 0 x mx m − + − =, với m là số thực. Ta có: 1; 2 ; 2 2 a b m c m = = − = − ' '2 2 ( ) - 1.(2 2) b ac m m ∆ = − = − − ' 2 2 2 m m ⇔ ∆ = − + ' 2 ( 1) 1 0 m m ⇔ ∆= − + > ∀
- 62. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: Vì ' 1 0; 0 a m = ≠ ∆ > ∀ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x với mọi giá trị của m Áp dụng viét ta có 1 2 1 2 2 (1) 2 2 (2) x x m x x m + = = − Theo giả thiết: 1 2 3 6 (3) x x + = Từ (1) (3) ta có 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 6 2 3 3 3 6 3 6 3(3 ) 6 3 3 x x m x m x m x m x x x x x m x m + = = − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ + = + = + − = = − + Thay 2 1 3 3 3 x m x m = − =− + vào (2) ta được: ( 3 3 )(3 ) 2 2 m m m − + − = − 2 9 3 9 3 2 2 m m m m ⇔ − + + − = − 2 3 10 7 0 m m ⇔ − + = Vì 3 10 7 0 a b c + + = − + = nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 7 1; 3 m m = = Vậy 1 2 7 1; 3 m m = = là giá trị cần tìm. Bài 4: (3 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BM và CN cắt nhau tại H . 1. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp một đường tròn và xác định vị trí tâm I của đường tròn đó. 2. Gọi D là một điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt nhau tại điểm thứ hai là E . Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . 3. Gọi K là một điểm di động trên nửa đường tròn đường kính BC (cung chứa điểm M ) và Q là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BC . Tìm vị trí điểm K để tổng KQ BQ + đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn 1. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp một đường tròn và xác định vị trí tâm I của đường tròn đó. I H M N B C A
- 63. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Ta có 90 AMH ANH = = ° ( , BM CN là các đường cao của ABC ∆ ) Tứ giác AMHN có: 90 90 180o AMH ANH + = °+ ° = mà hai góc này ở vị trí đối nhau ⇒ tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp=> tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH có tâm I là trung điểm của AH . 2. Gọi D là một điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt nhau tại điểm thứ hai là E . Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . Ta có tứ giác BDEN nội tiếp 180 DEN ABC ⇒ = ° − ; Tứ giác CDEM nội tiếp 180 DEM ACB ⇒ = ° − ; Tại đỉnh E , ta có: 360 360 DEN DEM NEM NEM DEN DEM + + = ° ⇒ = ° − − 360 180 180 180 ABC ACB ABC ACB BAC = ° − ° + − ° + = + = ° − 180 NEM BAC ⇒ + = ° ⇒tứ giác AMEN nội tiếp E ⇒ thuộc đường tròn ngoại tiếp AMN ∆ . 3. Gọi K là một điểm di động trên nửa đường tròn đường kính BC (cung chứa điểm M ) và Q là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BC . Tìm vị trí điểm K để tổng KQ BQ + đạt giá trị lớn nhất. Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2. . 2 KQ BQ KQ BQ KQ BQ KQ BQ KQ BQ − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ + ( ) 2 2 2 KQ BQ KQ BQ ⇔ + ≤ + . E I H M N B C A D Q E I H M N B C A D K
- 64. liệu word toán SĐT (zalo): 7 Website: Áp dụng định lý Pi-ta-go cho ABQ ∆ vuông tại Q , ta có: 2 2 2 KQ BQ BK + = 2. KQ BQ BK ⇒ + ≤ . Dấu ' ' = xảy ra khi KQ BQ BQK = ⇒ ∆ vuông cân tại Q K ⇒ là điểm chính giữa của cung BC Q ⇒ là trung điểm của 2 2. 2 BC BC BK BQ ⇒ = = . Vậy tổng KQ BQ + đạt giá trị lớn nhất bằng BC khi K là điểm chính giữa của BC . Bài 5: (0,5 điểm) , , a b c là các số thực dương, chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 3 4 2 2 2 2 2 a a a a b b b + ≥ = 3 4 2 2 2 2 2 b b b b c c c + ≥ = 3 4 2 2 2 2 2 c c c c a a a + ≥ = Do đó: ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c a b c a + + + + + ≥ + + ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c a b c a ⇔ + + ≥ + + − + + (1) Mà theo bất đẳng thức Cô-si ta lại có: 2 2 2 2 ; 2 ; 2 a b c b a c b a c b c a + ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2 a b c a b c b c a ⇒ + + ≥ + + (2) Từ (1) và (2) suy ra 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c b c a b c a b c a b c a + + ≥ + + − + + = + + Vậy 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + (đpcm).
- 65. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: ĐỀ THI KHẢO SÁT MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC: 2022-2023 TRƯỜNG THCS MẠC ĐĨNH CHI – PHAN CHU TRINH – NGUYỄN CÔNG TRỨ Thời gian:120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 2 3 x A x = + và 1 11 3 9 3 x x B x x + − = + − − (với 0, 9 x x ≥ ≠ ) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 4 x = 2) Rút gọn biểu thức P A B = + 3) Tìm số nguyên x lớn nhất để 3 P < Bài 2: (2,5 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sẽ đầy bể trong giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2 15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? 2) Một chiếc thang dài 3,5m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 60° (tức là đảm bảo an toàn thang không bị đổ khi sử dụng) Bài 3. (2,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2 3 8 1 3 1 1 y x y x + = − − = − 2. Cho phương trình: 2 x 0 x b c + + = ( x là ẩn) a) Giải phương trình khi 4 b = và 5 c = − b) Tìm , b c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 4 Bài 4. (3,0 điểm). Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn tâm ( ) O , vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A , B là hai tiếp điểm). Tia MO cắt đường tròn ( ) O tại hai điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và O ) và cắt đoạn AB tại F . a) Chứng minh rằng: tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng: 2 . . = = MC MD MA MF MO . c) Vẽ đường kính AK của đường tròn ( ) O . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AK , I là giao điểm của MK và BH . Chứng minh rằng: I là trung điểm của BH . Bài 5: (0,5 điểm) Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn 1 1 1 6 + + + + + = a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + P a ab b b bc c c ca a
- 66. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 2 3 x A x = + và 1 11 3 9 3 x x B x x + − = + − − (với 0, 9 x x ≥ ≠ ) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 4 x = 2) Rút gọn biểu thức P A B = + 3) Tìm số nguyên x lớn nhất để 3 P < Hướng dẫn 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 4 x = Thay ( ) 4 x tmdk = vào biểu thức , A ta được: 2 4 2.2 4 2 3 5 4 3 A = = = + + Vậy 4 5 A = khi 4 x = 2) Rút gọn biểu thức P A B = + 2 1 11 3 9 3 3 x x x P A B x x x + − = + = + + − + − ( )( ) 2 1 11 3 3 3 3 3 x x x x x x x + − = + + + − − + ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 1 3 11 3 3 3 x x x x x x x − + + + + − = − + ( )( ) 2 6 4 3 11 3 3 3 x x x x x x x − + + + + − = − + ( )( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 9 3 3 3 3 x x x x x x x x + + = = − + − + 3 3 x x = − Vậy 3 3 x P x = − (với 0, 9 x x ≥ ≠ ) 3) Tìm số nguyên x lớn nhất để 3 P < Để 3 3 3 3 9 9 3 3 3 0 0 0 3 0 3 3 3 3 x x x x P x x x x x − + < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ < ⇔ − < − − − − 3 9 x x ⇔ < ⇔ < Kết hợp điều kiện: 0, 9 x x ≥ ≠ Mà x là số nguyên lớn nhất Vậy 8 x = để 3 P < Bài 2: (2,5 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
- 67. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sẽ đầy bể trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2 15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? 2) Một chiếc thang dài 3,5m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 60° (tức là đảm bảo an toàn thang không bị đổ khi sử dụng). Lời giải 1) Đổi: 1 giờ 20 phút = 4 3 giờ; 10 phút = 1 6 giờ; 12 phút = 1 5 giờ. Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) (ĐK: 0 x > ) gọi thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (giờ) (ĐK: 0 y > ) Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được lượng nước là: 1 x (bể) vòi thứ hai chảy được lượng nước là: 1 y (bể) Hai vòi cùng chảy trong 4 3 giờ đầy bể nên ta có phương trình: 1 1 3 4 x y + = (1) Trong 10 phút, vòi thứ nhất chảy được lượng nước là: 1 6x bể Trong 12 phút, vòi thứ hai chảy được lượng nước là: 1 5y bể Theo đề bài, mở vòi thứ nhất trong 10 phút, vòi thứ hai trong 12 phút ta được 2 15 bể nước nên ta có phương trình: 1 1 2 6 5 15 x y + = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 3 4 1 1 2 6 5 15 x y x y + = + = Đặt: 1 1 a x b y = = Hệ phương trình trở thành: 3 4 1 1 2 6 5 15 a b a b + = + = 3 4 5 2 6 3 a b a b + = ⇔ + = 3 4 1 1 6 12 a b a + = ⇔ = 1 2 1 3 2 4 a b = ⇔ + = 1 2 1 4 a b = ⇔ =
|
