Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng Bài giảng Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng A. Lý thuyết I. Định nghĩa. - Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. - Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi: un+1 = un + d với n∈ ℕ* (1) - Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). - Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3. II. Số hạng tổng quát - Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2. - Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 1; d =5. a) Tìm u10. b) Số 106 là số hạng thứ bao nhiêu? Lời giải: a) Số hạng thứ 10 là u10 = u1 + (10 – 1)d = 1 + 9.5 = 46. b) Ta có: un = u1 + (n – 1)d. Vì un =106 nên: 106 = 1 + (n – 1).5 105 = (n – 1).5 21 = n – 1 nên n = 22. Vậy 106 là số hạng thứ 22. III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng. - Định lí 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là: uk = uk−1 + uk+12 ; k ≥2 IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng - Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un. Khi đó: Sn = n(u1 + un)2. - Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: Sn =nu1 + n(n − 1)2d. Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (un) với un = 2n + 5. a) Tìm u1 và d. b) Tính tổng 40 số hạng đầu tiên. c) Biết Sn = 187, tìm n. Lời giải: a) Ta có: u1 = 2.1 + 5 = 7; u2 = 2.2 + 5 = 9. Suy ra, d = u2 – u1 = 2. b) Tổng 40 số hạng đầu tiên là:  B. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u1 = 12; u6 = – 18. Tìm u8. Lời giải: Theo đề bài ta có; u1 =12u6 = −18 ⇔u1 =12u1+ 5d = −18 ⇔u1=12d = −6 Suy ra: u8 = u1 + 7d = 12 + 7.(– 6) = – 30. Bài 2.Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau biết: Lời giải:
Vậy số hạng đầu u1 = 218 và công sai d = 94. b) u3 + u5 =14 u2. u4 = 21⇔u1+2d + u1+ 4d =14 (u1+d). (u1+3d) = 21⇔2u1 + 6d =14 (1)(u1+d). (u1+3d) = 21 (2) Từ (1) suy ra: u1 = 7 – 3d thay vào (2) ta được: (7 – 3d + d).(7 – 3d + 3d) = 21 (7 – 2d). 7 = 21 7 – 2d = 3 nên d = 2 Suy ra: u1 = 7 – 3.2 = 1. Vậy u1 = 1 và công sai d = 2. Bài 3. Cho cấp số cộng (un) với un = 3n + 1. a) Tìm u1 và d. b) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên. c) Biết Sn = 209, tìm n. Lời giải: a) Ta có: u1 = 3.1 + 1 = 4; u2 = 3.2 + 1 = 7. Suy ra, d = u2 – u1 = 3. b) Tổng 20 số hạng đầu tiên là: Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai? A. Dãy số −12; 0; 12; 1;32;..... là một cấp số cộng: u1=−12d=12 B. Dãy số 12; 122; 123;..... là một cấp số cộng:u1=12d=12;n=3 C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2; … là cấp số cộng u1=−2d=0 D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … không phải là một cấp số cộng
Đáp án: B Giải thích: Dãy số 12; 122; 123;..... không phải cấp số cộng do u1=12d=12⇒u2=1. Câu 2: Cho một cấp số cộng có u1=−12; d=12. Hãy chọn kết quả đúng A. Dạng khai triển : −12; 0; 1; 12; 1.... B. Dạng khai triển : −12; 0; 12; 0; 12..... C. Dạng khai triển : 12; 1; 32; 2; 52;..... D. Dạng khai triển: −12; 0; 12; 1; 32..... Câu 3. Cho một cấp số cộng có u1=−3; u6=27. Tìm d ? A. d=5. B. d=7. C. d=6. D. d=8.
Đáp án: C Giải thích: Ta có: u6=27⇔u1+5d=27 ⇔−3+5d=27⇔d=6 Câu 4: Cho một cấp số cộng có u1=13; u8=26. Tìm ? A. d=113 B. d=311 C. d=103 D. d=310
Đáp án: A Giải thích: Ta có: u8=26⇔u1+7d=26 ⇔13+7d=26⇔d=113 Câu 5: Cho cấp số cộng un có: u1=−0,1; d=0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: A. 1,6 B. 6 C. 0,5 D. 0,6
Đáp án: C Giải thích: Số hạng tổng quát của cấp số cộng un là: un=u1+n−1.0,1 ⇒u7=−0,1+7−1.0,1=12 Câu 6: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o. Tìm 2 góc còn lại? A. 65o ; 90o. B. 75o ; 80o. C. 60o ; 95o. D. 60o ; 90o.
Đáp án: D Giải thích: Ta có :u1+u2+u3=180 ⇔25+25+d+25+2d=180 ⇔d=35. Vâỵ u2=60; u3=90. Câu 7: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2+c2=2ab+2bc. B. a2−c2=2ab−2bc. C. a2+c2=2ab−2bc. D. a2−c2=ab−bc.
Đáp án: B Giải thích: a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b−a=c−b ⇔b−a2=c−b2 ⇔a2−c2=2ab−2bc. Suy ra chọn đáp án B. Câu 8: Cho theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2+c2=2ab+2bc+2ac B. a2−c2=2ab+2bc−2ac C. a2+c2=2ab+2bc−2ac D. a2−c2=2ab−2bc+2ac
Đáp án: C Giải thích: a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b−a=c−b ⇔b−a2=c−b2 ⇔a2−c2=2ab−2bc ⇔a2+c2=2c2+2ab−2bc =2ab+2cc−b =2ab+2cb−a =2ab+2bc−2ac Câu 9: Cho cấp số cộng (un) thỏa: u5+3u3−u2=−213u7−2u4=−34. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; A. u100=−243 B. u100=−295 C. u100=−231 D. u100=−294
Đáp án: B Giải thích: Từ giả thiết bài toán, ta có: u1+4d+3(u1+2d)−(u1+d)=−213(u1+6d)−2(u1+3d)=−34 ⇔u1+3d=−7u1+12d=−34⇔u1=2d=−3. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100=u1+99d=−295 Câu 10: Tam giác ABC có ba góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Xác định số đo các góc A,B,C. A. A=100B=1200C=500 B. A=150B=1050C=600 C. A=50B=600C=250 D. A=200B=600C=1000
Đáp án: D Giải thích: Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình : A+B+C=1800A+C=2BC=5A ⇔C=5AB=3A9A=1800 ⇔A=200B=600C=1000 Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác: Lý thuyết Cấp số nhân Lý thuyết Ôn tập chương 3 Lý thuyết Giới hạn của dãy số Lý thuyết Giới hạn của hàm số Lý thuyết Hàm số liên tục |
