3. Dạng biến đổi các phương trình có chứa ẩn ở mẫu về dạng phương trình tích. Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của phương trình. Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác không. Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề: Giải phương trình tích lớp 8, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên 1 Chuyên đề: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH LỚP 8 Người thực hiện: Đỗ Thị Phương Lan I. Lý do chọn chuyên đề Chuyên đề "giải phương trình tích" được học khá kỹ ở chương trình lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Bởi vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan trọng góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử... để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích đơn giản. Sau đây, tôi xin tổng hợp lại một số dạng biến đổi phương trình đưa về dạng phương trình tích lớp 8. II. Nội dung 1. Dạng biến đổi pt áp dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích đưa về dạng phương trình tích. Ví dụ 1 : Giải phương trình : 3 23 2 0x x x Giải: Cách 1: Ta có : 3 2 23 2 0 3 2 0x x x x x x 2 2 2 0x x x x ( tách 3x = x + 2x ) 2 2 2 0x x x x (nhóm hạng tử ) 1 2 1 0x x x x (đặt nhân tử chung ) 1 2 0x x x (đặt nhân tử chung ) 0 0 1 0 1 2 0 2 x x x x x x Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 0; 1; 2 Cách 2: Ta có: 3 2 3 2 23 2 0 2 2 0x x x x x x x (tách 2 2 23 2x x x ) 3 2 2 22 2 0 1 2 1 0x x x x x x x x 21 2 0 1 2 0x x x x x x (đặt nhân tử chung) 1 0 1 0 0 2 0 2 x x x x x x Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 0; 1; 2 2. Dạng biến đổi phương trình bậc cao đưa về dạng phương trình tích. Ví dụ 1: Giải phương trình : 4 22 7 4 0x x Giải: Đặt 2x a , pt trở thành: 2a 2 + 7a - 4 = 2 22 8 4 0 2 8 4 0a a a a a a 2 4 4 0 4 2 1 0a a a a a 4 4 0 1 2 1 0 2 a a a a + Với a = 4 2 4 2x x + Với a = - 1 2 2 1 2 x Loại Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Giải: Đặt x - 7 = y, pt trở thành: (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 Rút gọn ta được 2y4 + 12y2 + 2 = 16 y4 + 6y2 - 7 = 0 Đặt y2 = z 0, ta có z2 + 6z - 7 = 0 Phương trình này cho z1 = 1; z2 = -7 (loại) 2 Với z = 1, ta có y2 = 1 nên y= 1 Từ đó x1 = 8 ; x2 = 6 Ví dụ 3: Giải phương trình x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 (3) Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của pt (3). Chia hai vế của (3) cho x2 ≠ 0 ta được: x 2 + 3x + 4 + 3 x + 1 x 2 = 0 x2 + 1 x 2 +3 x+ 1 x + 4 =0 Đặt x + 1 x = t thì x 2 + 1 x 2 = t 2 - 2, ta được: t2 + 3t + 2 = 0 Do đó t1 = -1, t2 = -2 + Với t = -1, ta có x + 1 x = -1 nên x 2 + x + 1 = 0, vô nghiệm. + Với t = -2, ta có x + 1 x = - 2 nên (x + 1) 2 = 0, do đó x = -1 Kết luận: S = { }-1 . 3. Dạng biến đổi các phương trình có chứa ẩn ở mẫu về dạng phương trình tích. Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của phương trình. Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác không. Ví dụ 1: Giải phương trình : 3 2 1 2 2 x x x x ( I) ĐKXĐ : 2x Giải: Ta có : (I) 2 1 23 2 1 3 2 2 2 2 x x xx x x x x x 23 2 1 2x x x ( nhân hai vế với x – 2 và khử mẫu ) 22 4 4 0 2 0x x x x - 2 = 0 x = 2 (Loại vì x = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình) Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = Ví dụ 2 : Giải phương trình : 2 2 1 1 x x x x ( II ) Giải: ĐKXĐ : 0x ( II ) 3 4 3 4 2 2 1 1 x x x x x x x x 3 4 3 41 0 1x x x x x x 3 31 1 0 (1 ) 1 0x x x x x 22 21 1 1 0 1 1 0x x x x x x x Vì 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 2 . 2. . 2 4 4 2 4 4 x x x x x x 2 1 3 0 2 4 x nên 2 221 1 0 1 0 1 0 1x x x x x x (Thỏa mãn điều kiện của bài toán) Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1 4. Một số ví dụ về phương trình tích khác Tùy theo mỗi dạng phương trình mà ta có thể có những cách biến đổi khác nhau để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Sau đây là một dạng phương trình đặc trưng 3 Ví dụ 1: Giải phương trình : 2 1 1 2001 2002 2003 x x x Giải: Ta cộng thêm 2 vào hai vế của phương trình và biến đổi phương trình như sau 2 1 2 1 1 1 1 1 2001 2002 2003 2001 2002 2003 x x x x x x 2003 2003 2003 2003 2003 2003 0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 x x x x x x 1 1 1 2003 0 2003 0 2003 2001 2003 2003 x x x (vì 1 1 1 0 2001 2002 2003 ) Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 2003 Ví dụ 2: Giải phương trình : 5 15 25 1990 1980 1970 1990 1980 1970 5 15 25 x x x x x x Giải: 5 15 25 1990 1980 1970 1990 1980 1970 5 15 25 x x x x x x 5 15 5 1990 1980 1970 1 1 1 1 1 1 1990 1980 1970 5 15 25 x x x x x x 1995 1995 1995 1995 1995 1995 1990 1980 1970 5 15 25 x x x x x x 1995 1995 1995 1995 1995 1995 0 1990 1980 1970 5 15 25 x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1995 0 1990 1980 1970 5 15 25 x 1995 0 1995x x (vì 1 1 1 1 1 1 0 1990 1980 1970 5 15 25 ) Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1995 III. Bài học kinh nghiệm Qua quá trình thực hiện đề tài, tôi rút ra được bài học kinh nghiệm như sau: - Giáo viên cần nghiên cứu kỹ SGK, SBT và các tài liệu tham khảo, nâng cao. - Trước khi làm bài tập, giáo viên cần nghiên cứu kỹ và giải bằng nhiều cách. - Định hướng giúp học sinh tự suy nghĩ để giải bài tập. - Giáo viên tìm tòi đưa ra hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp. - Lưu ý học sinh tránh một số sai lầm hay mắc phải. - Học sinh cần nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. - Đứng trước một bài toán giải phương trình cần suy nghĩ, tìm hiểu xem bài toán có thể giải bằng những cách nào, vận dụng phương pháp giải nào cho phù hợp, hay nhất. IV. Ý kiến nhận xét. File đính kèm:
Để giúp các em học sinh có thêm nhiều tài liệu ôn luyện kiến thức và kĩ năng giải bài tập, HOC247 xin gửi đến Chuyên đề Phương trình tích Toán 8. Mời các em cùng tham khảo Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH TÍCH I. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình tích và cách giải Phương trình tích có dạng A( x ).B( x ) = 0 Cách giải phương trình tích A( x ).B( x ) = 0 ⇔ (left[ begin{array}{l} A(x) = 0\ B(x) = 0 end{array} right.) Cách bước giải phương trình tích Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát A( x ).B( x ) = 0 bằng cách: Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái. Khi đó vế phải bằg 0. Phân tích đa thức ở vế phải thành nhân tử Bước 2: Giải phương trình và kết luận 2. Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 – x )( 2 + x ) Hướng dẫn: Ta có: ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 – x )( 2 + x ) ⇔ x2 + 5x + 4 = 4 – x2 ⇔ 2x2 + 5x = 0 ⇔ x( 2x + 5 ) = 0  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 5/2; 0 } Ví dụ 2: Giải phương trình x3 – x2 = 1 – x Hướng dẫn: Ta có: x3 – x2 = 1 – x ⇔ x2( x – 1 ) = – ( x – 1 ) ⇔ x2( x – 1 ) + ( x – 1 ) = 0 ⇔ ( x – 1 )( x2 + 1 ) = 0 ( 1 ) ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1. ( 2 ) ⇔ x2 + 1 = 0 (Vô nghiệm vì x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 1 ≥ 1 ) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 1 } II. Bài tập tự luyện 1. Bài tập tự luận Bài 1: Giải các phương trình sau: a) ( 5x – 4 )( 4x + 6 ) = 0 b) ( x – 5 )( 3 – 2x )( 3x + 4 ) = 0 c) ( 2x + 1 )( x2 + 2 ) = 0 d) ( x – 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x – 4 )( x + 1 ) Hướng dẫn: a) Ta có: ( 5x – 4 )( 4x + 6 ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 3/2; 4/5 }. b) Ta có: ( x – 5 )( 3 – 2x )( 3x + 4 ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 4/3; 3/2; 5 }. c) Ta có: ( 2x + 1 )( x2 + 2 ) = 0 Giải ( 1 ) ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = – 1 ⇔ x = – 1/2. Ta có: x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 2 ≥ 2 ∀ x ∈ R ⇒ Phương trình ( 2 ) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { – 1/2 }. d) Ta có: ( x – 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x – 4 )( x + 1 ) ⇔ ( x – 2 )( 3x + 5 ) – 2( x – 2 )( x + 1 ) = 0 ⇔ ( x – 2 )[ ( 3x + 5 ) – 2( x + 1 ) ] = 0 ⇔ ( x – 2 )( x + 3 ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 3;2 }. Bài 2: Giải các phương trình sau: a) ( 2x + 7 )2 = 9( x + 2 )2 b) ( x2 – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) = ( x – 1 )( x2 – 4 )( x + 5 ) c) ( 5x2 – 2x + 10 )2 = ( 3x2 + 10x – 8 )2 d) ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) – 12 = 0 Hướng dẫn: a) Ta có: ( 2x + 7 )2 = 9( x + 2 )2 ⇔ ( 2x + 7 )2 – 9( x + 2 )2 = 0 ⇔ [ ( 2x + 7 ) + 3( x + 2 ) ][ ( 2x + 7 ) – 3( x + 2 ) ] = 0 ⇔ ( 5x + 13 )( 1 – x ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 13/5; 1 }. b) Ta có: ( x2 – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) = ( x – 1 )( x2 – 4 )( x + 5 ) ⇔ ( x2 – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) – ( x – 1 )( x2 – 4 )( x + 5 ) = 0 ⇔ ( x – 1 )( x + 1 )( x + 2 )( x – 3 ) – ( x – 1 )( x – 2 )( x + 2 )( x + 5 ) = 0 ⇔ ( x – 1 )( x + 2 )[ ( x + 1 )( x – 3 ) – ( x – 2 )( x + 5 ) ] = 0 ⇔ ( x – 1 )( x + 2 )[ ( x2 – 2x – 3 ) – ( x2 + 3x – 10 ) ] = 0 ⇔ ( x – 1 )( x + 2 )( 7 – 5x ) = 0 Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – 2; 1; 7/5 }. c) Ta có: ( 5x2 – 2x + 10 )2 = ( 3x2 + 10x – 8 )2 ⇔ ( 5x2 – 2x + 10 )2 – ( 3x2 + 10x – 8 )2 = 0 ⇔ [ ( 5x2 – 2x + 10 ) – ( 3x2 + 10x – 8 ) ][ ( 5x2 – 2x + 10 ) + ( 3x2 + 10x – 8 ) ] = 0 ⇔ ( 2x2 – 12x + 18 )( 8x2 + 8x + 2 ) = 0 ⇔ 4( x2 – 6x + 9 )( 4x2 + 4x + 1 ) = 0 ⇔ 4( x – 3 )2( 2x + 1 )2 = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {- 1/2; 3}. d) Ta có: ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) – 12 = 0 Đặt t = x2 + x, khi đó phương trình trở thành: t2 + 4t – 12 = 0 ⇔ ( t + 6 )( t – 2 ) = 0 + Với t = – 6, ta có: x2 + x = – 6 ⇔ x2 + x + 6 = 0 ⇔ ( x + 1/2 )2 + 23/4 = 0 Mà ( x + 1/2 )2 + 23/4 ≥ 23/4 ∀ x ∈ R ⇒ Phương trình đó vô nghiệm. + Với t = 2, ta có x2 + x = 2 ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ ( x + 2 )( x – 1 ) = 0 ⇔ Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – 2;1 }. 2. Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Nghiệm của phương trình ( x + 2 )( x – 3 ) = 0 là? A. x = – 2. B. x = 3. C. x = – 2; x = 3. D. x = 2. Hướng dẫn giải Ta có: ( x + 2 )( x – 3 ) = 0 ⇔ Vậy nghiệm của phương trình là x = – 2; x = 3. Chọn đáp án C. Bài 2: Tập nghiệm của phương trình ( 2x + 1 )( 2 – 3x ) = 0 là? A. S = { – 1/2 }. B. S = { – 1/2; 3/2 } C. S = { – 1/2; 2/3 }. D. S = { 3/2 }. Hướng dẫn giải Ta có: ( 2x + 1 )( 2 – 3x ) = 0 ⇔ Vậy tập nghiệm của phương trình S = { – 1/2; 2/3 }. Chọn đáp án C. Bài 3: Nghiệm của phương trình 2x( x + 1 ) = x2 – 1 là? A. x = – 1. B. x = ± 1. C. x = 1. D. x = 0. Hướng dẫn giải Ta có: 2x( x + 1 ) = x2 – 1 ⇔ 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x – 1 ) ⇔ ( x + 1 )( 2x – x + 1 ) = 0 ⇔ ( x + 1 )( x + 1 ) = 0 ⇔ ( x + 1 )2 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = – 1. Vậy phương trình có nghiệm là x = – 1. Chọn đáp án A. Bài 4: Giá trị của m để phương trình ( x + 2 )( x – m ) = 4 có nghiệm x = 2 là? A. m = 1. B. m = ± 1. C. m = 0. D. m = 2. Hướng dẫn giải Phương trình ( x + 2 )( x – m ) = 4 có nghiệm x = 2, thay x = 2 vào phương trình đã cho Khi đó ta có: ( 2 + 2 )( 2 – m ) = 4 ⇔ 4( 2 – m ) = 4 ⇔ 2 – m = 1 ⇔ m = 1. Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Chọn đáp án A. Bài 5: Giá trị của m để phương trình x3 – x2 = x + m có nghiệm x = 0 là? A. m = 1. B. m = – 1. C. m = 0. D. m = ± 1. Hướng dẫn giải Thay x = 0 vào phương trình x3 – x2 = x + m. Khi đó ta có: 03 – 02 = 0 + m ⇔ m = 0. Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Chọn đáp án C Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề nâng cao Bài toán bất đẳng thức, cực trị với tứ giác Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập. Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:
Chúc các em học tập tốt! |
