Cách xét dấu đồng biến, nghịch biến

Bạn đang xem: Xét tính Đồng biến nghịch biến của hàm số trên khoảng, xét tính Đồng biến nghịch biến của hàm số

1. Khái niệm

Kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn

a) Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên K, nếu với mọi cặp \( x_{1},x_{2}\epsilon K\) mà \( x_{1}f(x_{2})\)

Hàm số f(x) đồng biến ( nghịch biến ) trên K còn gọi là tăng ( hay giảm ) trên K. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn gọi chung là hàm số đơn điệu trên K

2. Định lý

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên K

4. Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số

- Bước 1: Tìm tập xác định, tính f"(x)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f"(x)= 0 hoặc f"(x) không xác định

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lý trên

5. Ví dụ

Tải về

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Bình luận

Xem thêm: Hướng Dẫn Xác Minh &Quot;Chính Chủ&Quot; Cho Fb Cá Nhân, Xác Minh Doanh Nghiệp Facebook Bm 2021

chuyên đề được quan tâm

bài viết mới nhất

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021

Với Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất Toán lớp 12 Giải tích chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K ta có:

+ Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

∀x1,x2∈K,x1<x2⇒fx1<fx2

+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

 ∀x1,x2∈K,x1<x2⇒fx1>fx2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

 Nhận xét:

+ Hàm số f(x) đồng biến trên K:

⇔fx2−fx1x2−x1>0∀x1,x2∈K,x1≠x2.

Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Hàm số f(x) nghịch biến trên K :

⇔fx2−fx1x2−x1<0∀x1,x2∈K,x1≠x2.

Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

⁕ Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:

• Nếu f'x>0, ∀x∈a;b⇒ hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)

• Nếu f'x<0, ∀x∈a;b⇒ hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

• Nếu f'x=0, ∀x∈a;b⇒ hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b)

• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng:

a;b⇒f'x≥0, ∀x∈a;b.

• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng:

a;b⇒f'x≤0, ∀x∈a;b.

• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu f'x≥0 với mọi x∈K và f'x=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x∈K thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu f'x≤0 với mọi x∈K và f'x=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x∈K thì hàm số f đồng biến trên K.

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y'=f'x.

Bước 2. Tìm các điểm tại đó f'x=0 hoặc f'x không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

 Chú ý:

• Đối với hàm phân thức hữu tỉ y=ax+bcx+d  x≠−dc thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y' không xảy ra.

• Giả sử:

y=fx=ax3+bx2+cx+d

⇒f'x=3ax2+2bx+c.

+ Hàm số đồng biến trên  R

⇔f'x≥0;∀x∈ℝ⇔a>0Δ≤0a=0b=0c>0.

+ Hàm số nghịch biến trên R

⇔f'x≤0;∀x∈ℝ⇔a<0Δ≤0a=0b=0c<0.

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:

Bước 1: Tính  y'=f'x;m=ax2+bx+c.

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên x1;x2⇔y'=0 có 2 nghiệm phân biệt  

⇔Δ>0a≠0  *

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1

⇔x1−x2=l⇔x1+x22−4x1x2=l2⇔S2−4P=l2**

Bước 4: Giả (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.

3. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a)  y=x3−3x2+2

b) y=x4−2x2

Lời giải

a) TXĐ: D=ℝ

Ta có:

y'=3x2−6x⇔x=0x=2

Bảng biến thiên (xét dấu):

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;0 và 2;+∞, nghịch biến trên khoảng (0; 2).

b) TXĐ: D=ℝ

Ta có:

y'=4x3−4x⇔x=0x=±1

Bảng biến thiên (xét dấu):

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −1;0 và 1;+∞, nghịch biến trên khoảng −∞;−1 và (0; 1).

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau

a) y=x+4x.                  

b) y=x2−x+9x−1.

Lời giải

a) TXĐ: D=ℝ\0.

Ta có:

y'=1−4x2=0⇔x=2x=−2

Bảng biến thiên (xét dấu y'):

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;−2 và 2;+∞, hàm số nghịch biến trên khoảng (– 2; 0) và (0; 2).

b) TXĐ: D=ℝ\1

Ta có: 

y'=2x−1x−1−x2−x+9x−12=x2−2x−8x−12=0 ⇔x=−2x=4

Bảng biến thiên (xét dấu):

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;−2 và 4;+∞, hàm số nghịch biến trên các khoảng (– 2; 1) và (1; 4).

4. Luyện tập

Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) y=−x2+2x+5

b) y=13x3+3x2−7x+2

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) y=1+x2−x

b) y=x2+3x1−x

Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) y=−x4+2x2−3

b) y=x2+x−6

Bài 4. Chứng minh rằng hàm số sinx−x nghịch biến trên nửa khoảng 0;π2

Bài 5. Tìm m để hàm số y=13x3−mx2+2m+3x−2 đồng biến trên R

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 12 đầy đủ và chi tiết khác: