Hàm số bậc hai lớp 9 là một trong những nội dung quan trọng thường hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 bậc THPT, vì vậy việc nắm vững cách giải các bài tập về đồ thị hàm số bậc hai thực sự rất cần thiết.Bạn đang xem: Bài tập về parabol và đường thẳng lớp 9
Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số kiến thức về hàm số bậc hai ở lớp 9, đặc biệt tập trung vào phần Bài tập về đồ thị của hàm số bậc hai để các em nắm vững được phương pháp giải dạng toán này.
Bạn đang xem: Tổng hợp các dạng bài tập về parabol và đường thẳng lớp 9, bài toán về đường thẳng và parabol lớp 9
I. Hàm số bậc hai - kiến thức cần nhớ
• Tổng quát, hàm số bậc hai y = ax2 (a≠0) xác định với mọi giá trị của x∈R.
1. Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2
• Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến khi x0.
• Nếu a0.
> Nhận xét:
• Nếu a>0 thì y>0 với mọi x≠0; y=0 khi x=0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y=0.
• Nếu a2. Đồ thị của hàm số y = ax2
• Đồ thị của hàm số y = ax2 (a≠0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhậntrục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
• Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
• Nếu a3. Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol
• Cho đường thẳng (d): y=ax+b (a≠0) và parabol (P): y = kx2 (k≠0)
Khi đó, để xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và parabol (P) ta xét phương trình: kx2 = ax + b (1).
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau.
- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
• Một số dạng bài tập về vị trí tương đối của (d) và (P):
* Tìm số giao điểm của (d) và (P)
Khi đó: Xét phương trình kx2 = ax + b (1)
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau.
- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
- Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình: kx2 = ax + b
* Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
- Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)
- Ta giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của x. Thay giá trị x này vào công thức hàm số của (d) (hoặc (P)) ta tìm được y. Từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm.
* Hàm số chứa tham số. Tìm điều kiện của tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) từ đó tính biệt thức delta và hệ thức Vi-et để giải bài toán với điều kiện cho sẵn.
II. Bài tập hàm số bậc hai có lời giải
* Bài tập 1 (Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2): Vẽ đồ thị của hai hàm số và trên cùng một hệ trục tọa độ.
a) Đường thẳng đi qua B(0; 4) và song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm M và M". Tìm hoành độ của M và M".
b) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N" có cùng hoành độ với M". Đường thẳng NN" có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N" bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ;
- Tính toán theo công thức.
* Lời giải:
a) Ta lập bảng giá trị:
- Bảng giá trị:
| x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| y=x2/4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| y=-x2/4 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
Đồ thị hàm số có dạng như sau:
a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox có dạng: y=4. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=4 và đồ thị hàm số là:
b) Trên đồ thị hàm số ta xác định được điểm N và N" có cùng hoành độ với M,M". Ta được đường thẳng M,M". Ta được đường thẳng NN"//Ox.
Tìm tung độ của N và N"
- Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y = -4; của N" là y = -4.
- Tính toán theo công thức:
Điểm N"(-4;y) thay x = -4 vào nên được yN" = -4.
Vậy tung độ của N, N" cùng bằng -4. Ta có: N(-4;-4) ; N’(4;-4).
* Bài tập 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hàm số: y = f(x) = (m - 1)x2 (*)
a) Xác định m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm M(2;4)
b) Với m=0. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (*) với đồ thị hàm số y = 2x - 3.
* Lời giải:
a) Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m - 1)x2 đi qua điểm M(2;4) thì ta có:
4 = (m - 1).22 ⇔ 4 = 4m - 4 ⇔ 4m = 8 ⇔ m = 2.
Vậy với m = 2 thì đồ thị hàm số (*) đi qua điểm (2;4). Khi đó hàm số là y = x2.
b) với m = 0, ta thay vào công thức hàm số được y = f(x) = -x2
- Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = -x2 với hàm số y = 2x - 3 là nghiệm của hệ phương trình:
- Giải phương trình: x2 + 2x - 3 = 0 ta thấy
a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình này có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = -3.
• Với x1 = 1 ⇒ y1 = -(1)2 = -1 ⇒ A(1;-1)
• Với x2 = -3 ⇒ y2 = -(-3)2 = -9 ⇒ B(-3;-9)
Vậy với m=0 thì đồ thị hàm số y = -x2 và đồ thị hàm số y = 2x - 3 tại 2 điểm phân biệt là: A(1;-1) và B(-3;-9).
* Bài tập 3: Co parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d):
a) Xác định a để (P) cắt (d) tại điểm A có hoành độ bằng -1.
b) Tìm tọa độ giao điểm thứ hai B (B khác A) của (P) và (d).
c) Tính độ dài AB.
* Lời giải:
a) Để đường thẳng (d) đi qua A có hoành độ bằng -1 thì ta thay x = -1 vào công thức hàm số được:
Vậy tọa độ điểm A là (-1;0,5).
Parabol (P) đi qua A nên tọa độ của A phải thỏa hàm số y = ax2. Ta thay x = -1; y = 0,5 vào hàm số y = ax2 được:
0,5 = a.(-1)2 ⇒ a = 0,5. Khi đó parabol (P) là:
Để ý a - b + c = 1 - (-2) - 3 = 0 nên ta thấy phương trình có 2 nghiệm x1 = -1 và x2 = 3.
Với x2 = 3 ⇒ y2 = 3 + 3/2 = 9/2 = 4,5.
⇒ Tọa độ điểm B là (3;4,5).
c) Ta có, chiều dài AB áp dụng công thức
* Bài tập 5: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = (2m - 1)x - m + 2 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt M(x1;y1) và N(x2;y2) thỏa x1y1 + x2y2 = 0.
* Bài tập 6: Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2mx - 4m (với m là tham số)
a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=-1/2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cóhoành độ x1; x2 thỏa mãn |x1| + |x2| = 3.
* Bài tập 7: Cho parabol (P): và đường thẳng (d): ax + y = 1.
a) Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Xác định a để AB độ dài ngắn nhất và tính độ dài ngắn nhất này.
Xem thêm: Tổng Hợp Những Cách Làm Bánh Bằng Bột Gạo Đơn Giản Nhất 2020
* Bài tập 8: Cho parabol (P):
và đường thẳng (d): y = mx + n. Xác định m, n để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và có duy nhất một điểm chung với (P).
Phương trình Parabol - Bộ kiến thức hay nhất không thể bỏ qua
Phương trình Parabol được coi là một học phần tương đối quan trọng trong chương trình Hình học giải tích cũng như là một phần không thể thiếu trong các bài thi trong kỳ và thi tốt nghiệp THPT. Chính vì vậy, để nắm chắc kiến thức liên quan đến dạng bài tập này chúng ta sẽ bắt đầu tìm hiểu các phần lý thuyết cơ bản sau đây. Mời các bạn cùng theo dõi!
I. Định nghĩa
Đường Parabol là gì?
Trong toán học, parabol là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).
Cho một điểm F cố định và một đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Thì đường Parabol là tập hợp tất cả các điểm M cách đều F và Δ. Trong đó:
- Điểm F được coi là tiêu điểm của Parabol
- Đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol.
- Khoảng cách từ F đến Δ được gọi là tham số tiêu của parabol.
II. Phương trình Parabol
1. Phương trình tổng quát
Phương trình đường Parabol được biểu diễn như sau: \(y=a^2+bx+c\)
- Hoành độ của đỉnh là \(−\dfrac{b}{2a}\)
- Thay tọa độ trục hoành vào phương trình, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: \(\dfrac{b^2−4ac}{4a}\) .
- Tọa độ đỉnh của Parabol và hình dạng phụ thuộc vào dấu của a
2. Phương trình chính tắc của Parabol
Phương trình chính tắc của parabol được biểu diễn dưới dạng: \(y^2=2px(p>0)\)
Chứng minh:
Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ.
Kẻ \(FP⊥Δ(P∈Δ)\). Đặt FP = p.
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của FP và điểm F nằm trên tia Ox.
Suy ra ta có \(F=(\dfrac{P}{2};0),P=(\dfrac{−P}{2};0)\)
Và phương trình của đường thẳng Δ là \(x+\dfrac{p}{2}=0\)
Điểm M(x ; y) nằm trên parabol đã cho khi và chỉ khi khoảng cách MF bằng khoảng cách từ M tới Δ, tức là:
\(\sqrt{(x−\dfrac{p}{2})^2+y^2}=∣x+\dfrac{p}{2}∣\)
Bình phương 2 vế của đẳng thức rồi rút gọn, ta được phương trình chính tắc của parabol: \(y^2=2px(p>0)\)
Bạn cũng có thể xem thêm tại: Công thức về Parabol
3. Cách vẽ Parabol
Cho hàm số \(y = ax^2\) .Hàm số này xác định trên R :
- nếu a > 0 thì hàm số giảm trên (-∞ ; 0) ; tăng trên (0;+ ∞ ),đạt cực tiểu khi x = 0
- nếu a < 0 thì hàm số tăng trên (-∞ 0) ;giảm trên (0;+ ∞ ).đạt cực đại khi x = 0
Đồ thị Parabol của hàm số \(y = ax^2\) có đỉnh là gốc O và trục đối xứng là Oy.
Tọa độ đỉnh Parabol là điểm O (0;0)
Mới nhất:
III. Bài tập ví dụ về đường Parabol
Bài 1: Cho Parabol \((P): y=2x^2\).
a) Vẽ đồ thị hàm (P).
b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng y = 2x+1.
Bài 2: Cho \((P): y=\dfrac{1}{2}x^2 \) và đường thẳng (d); y = ax+b.
a) Xác định điểm a và b để đường thẳng (d) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
b) Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho \((P): y=\dfrac{-x^2}{4} \) và (d): y-x+m.
a) Vẽ (P).
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
Bài 4: Cho \((P): y=x^2\) và đường thẳng (d): y = 2x+m.
a) Vẽ (P).
b) Tìm tọa độ tiếp điểm.
Tham khảo thêm tại: Đường Parabol - Toán lớp 10 Nâng cao
IV. Ứng dụng của Parabol trong đời sống
1. Ứng dụng của parabol trong đời sống – Xây dựng
Người ta làm cầu có hình dạng parapol với bề lõm quay xuống dưới để lực mà cây cần gánh chịu được chia đều sang hai bên chân cầu, để giảm lực lên cả cây cầu và giúp cầu khó bị sập hơn. Vì trên mặt cầu hình dạng parabol thì xe luôn có khuynh hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt cầu làm lực tác dụng lên mặt cầu càng nhỏ.
Tại các công viên vui chơi giải trí, đường ray tàu lượng siêu tốc được thiết kế theo các cung đường parabol để tăng cảm giác mạnh cho người chơi đồng thời tạo động lực cho tàu di chuyển.
2. Ứng dụng của parabol trong đời sống – Chế tạo mặt kính
Ứng dụng trong sản xuất kinh thiên văn phản xạ và gương cầu. Đèn pin, đèn chiếu sáng là dạng mặt cầu parabol giúp ánh sáng lan tỏa xa và mạnh hơn so với mặt cầu phẳng bình thường.
3. Ứng dụng của parabol trong đời sống – Anten Parabol
Gương parabol là một tấm gương hoặc các mảnh kim loại có khả năng phản chiếu và hội tụ ánh sáng hay các loại sóng điện từ khác tại một điểm. Ngày nay, gương mang hình parabol được sử dụng rất rông rãi như ăng ten vi sóng và chảo vệ tinh.
Trên đây là bản tổng hợp các dạng phương trình và bài tập về phương trình Parabol cần ghi nhớ, nếu bạn quan tâm thì hãy lưu lại mỗi khi cần thiết nhé. Hy vọng rằng những thông tin chúng tôi cung cấp sẽ giúp bạn tìm ra được phương pháp làm tốt nhất cho dạng bài tập này và đem lại điểm số trọn vẹn. Chúc bạn may mắn!