Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác mà ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia và ba góc đối diện với ba cạnh ấy của tam giác này bằng ba góc đối diện với b a cạnh của tam giác kia. Show
VD : ΔABC = ΔA’B’C’ khi và chỉ khi
Và Các trường hợp bằng nhau 2 tam giácTrường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnhNếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau. VD: ΔABC = ΔA’B’C’ khi và chỉ khi 3 cạnh của 2 tam giác bằng nhau Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnhNếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. VD: cho 2 tam giác ΔABC và ΔA’B’C’ 2 tam giác bằng nhau khi Trường hợp 3: góc – cạnh – gócNếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. VD : ΔABC = ΔA’B’C’ khi và chỉ khi Chúc bạn thành công với kiến thức về hai tam giác bằng nhau và trường hợp cũng như ví dụ của hai tam giác nhé. 1. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) - Chú ý: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' thì ta ngầm hiểu AB và A'B' là cặp cạnh tương ứng, tương tự góc A và góc A' là cặp góc tương ứng, ... - Muốn tìm được cạnh tương ứng và góc tương ứng, ta phải tưởng tượng dịch chuyển sao cho tam giác này trùng khít lên tam giác kia (bởi vì các tam giác có thể ở các vị trí khác nhau) - Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có thể chồng khít lên nhau. Khái niệm trùng khít tức là ba đỉnh trùng nhau và tất nhiên ba góc tương ứng, ba cạnh tương ứng cũng trùng nhau. - Để hiểu rõ hơn nếu trên vở có hai tam giác ở hai vị trí khác nhau mà bằng nhau. Ta lấy tấm bìa cắt một hình tam giác bằng hình tam giác thứ nhất trên vở, rồi đem tấm bìa đó đặt chồng lên hình tam giác thứ hai trên vở sẽ thấy chúng trùng khít lên nhau. Ví dụ 1: Xem các hình vẽ sau, những đoạn đánh dấu giống nhau là những đoạn thẳng bằng nhau. Những tam giác nào bằng nhau trong hình vẽ đó. Hình 1:  Hình 3: Hướng dẫn: Hình 1: AP = BQ, PB = QA, AB chung. Vậy $\Delta $APB = $\Delta $BQA (c.c.c) Hình 2: Ta có: AM = AN. AB = AC, BM = CN Vậy $\Delta $ABM = $\Delta $ACN (c.c.c) Ta có: AN = AM, AB = AC và BM = CN. suy ra BM + MN = NC + MN hay BN = MC Do đó $\Delta $ABN = $\Delta $ACM (c.c.c) Hình 3: Ta có: IC = ID, IA = IB, AC = DB Vậy $\Delta $IAC = $\Delta $IBD (c.c.c) 2. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh - góc - cạnh (c.g.c) - Theo thứ tự cạnh, góc, cạnh nghĩa là góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Lưu ý: Nếu đảo thứ tự: góc - cạnh - cạnh hoặc cạnh - cạnh - góc là không đúng. - Hai cạnh và góc xen giữa là hai cạnh này có chung điểm đầu và điểm đầu đó chính là đỉnh của góc xen giữa và hai cạnh của góc chính là hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau. - Với tam giác vuông: Ta thấy tất cả các tam giác vuông bao giờ cũng có góc vuông bằng nhau. Đó là góc xen giữa hai cạnh góc vuông. Nên trong hai tam giác vuông nếu có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Kết luận này được gọi là hệ quả. Hệ quả cũng là một định lí nhưng định lí này được suy ra trực tiếp từ một định lí hoặc một tính chất toán học - Dấu hiệu góc có thể cho trực tiếp, có thể gián tiếp chẳng hạn:
Ví dụ 2: Cho điểm C nằm giữa 2 điểm A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ có chứa đoạn AB vẽ tia Cx và Cy sao cho góc $\widehat{BCx}=60^{\circ}; \widehat{BCy}=120^{\circ}$. Lấy điểm E trên Ox và điểm F trên Oy sao cho CE = CB, CF = CA. Chứng minh AE = BF Hướng dẫn: C nằm giữa A và B do đó $\widehat{ACE}+\widehat{BCE}=180^{\circ}$ Mà $\widehat{BCE}=60^{\circ}$ (giả thiết) $\Rightarrow \widehat{ACE}+60^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACE}=120^{\circ}$ Xét $\Delta $ACE và $\Delta $FCB có: $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}=120^{\circ}$ CE = CB, CF = CA Do đó $\Delta $ACE = $\Delta $FCB (c.g.c) Vậy AE = BF (hai cạnh tương ứng) 3. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g) - Trong tam giác có tổng ba góc trong bằng $180^{\circ}$ tính chất này có ý nghĩa quan trọng: Trong các trường hợp bằng nhau của tam giác, số yếu tố góc cho không quá hai (vì cho biết hai góc ta tính được góc thứ ba nên cho biết ba góc là thừa) Trường hợp hai góc kề với một cạnh (trường hợp thứ ba). Trong hai góc cho nếu có một góc không kề với cạnh mà bằng nhau thì ta cũng có thể suy ra góc thứ ba (là góc kề với cạnh bằng nhau) cũng bằng nhau. - Ứng dụng vào các tam giác vuông $\Delta $ABC và $\Delta $A'B'C' ta có: $\widehat{A}=\widehat{A'} Nếu cạnh huyền BC = B'C'k; chỉ cần $\widehat{B}=\widehat{B'}$ thì suy ra được $\widehat{C}=\widehat{C'}$ (2 góc nhọn phụ nhau). Vậy $\Delta $ABC = $\Delta $A'B'C' (c.g.c) Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. - Qua ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường ta thấy một tam giác xác định khi biết ba yếu tố. Trong đó yếu tố góc không quá hai. Ví dụ 3: Cho $\Delta $ABC có AB = 2cm, AC = 2,5cm, BC = 3cm. Từ A kẻ C'B' // BC, từ B kẻ A'C' // AC, từ C kẻ A'B' // AB. Tính chu vi $\Delta $A'B'C' Hướng dẫn: - Xét $\Delta $ABC và $\Delta $CB'A có: AC chung $\widehat{A_{1}}=\widehat{C_{2}}$ (B'C' // BC) $\widehat{A_{2}}=\widehat{C_{3}}$ (A'B' // AB) Do đó $\Delta $ABC = $\Delta $CB'A (g.c.g) $\Rightarrow $ AB' = BC, CB'=AB (1) Chứng minh tương tự ta có: $\Delta $ABC = $\Delta $A'CB $\Rightarrow $ A'C = AB, BA'=AC (2) $\Delta $ABC = $\Delta $BC'A $\Rightarrow $ AC' = BC, BC'=AC (3) Từ (1), (2) và (3) ta được: AB' + CB' + AC' + BC' + A'C + BA' = BC + AB + BC + AC + AB + AC $\Leftrightarrow $ B'C' + B'A' + C'A' = 2.(AB+BC+AC) = 2.(2+2,5+3) = 15cm Vậy chu vi $\Delta $A'B'C' là 15cm. Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhauPhương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)Bài 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm N sao cho MN = MA. chứng minh : c) AC = BN. b) AB // NC Giải. a) AC = BN : MB = MC (M là trung điểm của BC) (đối đỉnh). MA = MN (gt). => ΔACM = ΔNBM (c -g -c) MB = MC (M là trung điểm của BC) (đối đỉnh). MA = MN (gt). => ΔABM = ΔNCM (c -g -c) Giải. Xét ΔABD và ΔEBD, ta có : BE = AB (gt) (BD là phân giác góc B). BD cạnh chung. => ΔABD = ΔEBD (c -g -c) Giải. Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có : DB = DA (D là trung điểm của AB) (đối đỉnh). DC = DM (gt). => ΔBCD = ΔBMD (c -g -c) Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (góc – cạnh – góc)Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm AC. Từ A vẽ đường thẳng song song BC cắt BD tại E. trên cạnh BC lấy M, đường thẳng DM cắt AE tại N Chứng minh :
Giải. 1) AE = BC : (so le trong). DA = DC (D là trung điểm AC) (đối đỉnh). => ΔADE = ΔCDB (g – c – g) 2) D là trung điểm MN : Xét ΔNDE và ΔMDB, ta có : (so le trong). DE = DB (ΔADE = ΔCDB) (đối đỉnh). => ΔADE = ΔCDB (g – c – g) DA = DC (D là trung điểm AC) (đối đỉnh). DE = DB (ΔADE = ΔCDB) => ΔADE = ΔCDB (c – g – c) Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (cạnh – cạnh – cạnh)Bài 1: Cho tam giác ABC có AB =AC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc BC. Giải. Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : AB =AC (gt) MB = MC (M là trung điểm của BC) AM cạnh chung => ΔAMB = ΔAMC (c – c – c) Giải. Xét ΔABM và ΔACM , có : AB = AC (gt) AM = BM (gt) AM cạnh chung. => ΔABM = ΔACM (c – c – c)
Giải. Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : AB =AC (gt) MB = MC (M là trung điểm của BC) AM cạnh chung => ΔAMB = ΔAMC (c – c – c) Hay AM BC tại M. mà : M là trung điểm của BC (gt) vậy : AM là đường trung trực của BC => mà : (đường phân giác Ax của góc ngoài A ) nên : => hay : AM Ax. Giải. a) cm : AB // DC Xét ΔABC và ΔCDA , ta có : AB = CD(gt) BC = AD (gt) AC cạnh chung. => ΔABC = ΔCDA (c – c – c) => (góc tương ứng) => AB // DC ( so lo trong) b) AH vuông góc với AD Ta có : cmtt, ta được : AD // BC mà : AH ⊥ BC (gt) => AH ⊥ ADHình học 7 - Tags: tam giác
|
