Đây là chuyên đề không mới nhưng nó thường gây bối rối và khó khăn cho học sinh. Học sinh sẽ lúng túng khi gặp các hàm số có dấu trị tuyệt đối, không biết tìm cách nào để phá dấu trị tuyệt đối ra hoặc thường mắc sai lầm khi tự nhiên vứt dấu trị tuyệt đối đi mà không xét điều kiện cho nó.
Lý thuyết chung: $|A|=\left\{\begin{matrix} A \: khi \, A \geq 0\\ -A \: khi \: A<0\end{matrix}\right.$.
1. Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$.
Phương pháp: Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y=f(x)$.
Hàm số $|f(x)|=\left\{\begin{matrix} f(x) \: khi \, f(x) \geq 0\\ -f(x) \: khi \: f(x)<0\end{matrix}\right.$.
Tức là
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (C) phía trên trục Ox, đặt là $(C_{1})$.
- Phần đồ thị (C) phía dưới trục Ox đem lấy đối xứng qua Ox được phần đồ thị mới đặt là $(C_{2})$.
- Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ là $(C_{1}) \cup (C_{2})$.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số $y=|x^{3}+3x^{2}-2|$ biết đồ thị hàm số $y=x^{3}+3x^{2}-2$ là
Giải: Ta có $y=|x^{3}+3x^{2}-2|=\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}-2 \: khi \: x \in [-1-\sqrt{3},-1] \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty) \\ -(x^{3}+3x^{2}-2) \: khi \: x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}) \cup (-1, -1+\sqrt{3})\end{matrix}\right.$.
Ta thấy đồ thị hàm số $y=-(x^{3}+3x^{2}-2)$ (màu đỏ) là đồ thị đối xứng của đồ thị $y=x^{3}+3x^{2}-2$ (màu xanh) qua trục Ox.
Đồ thị $y=x^{3}+3x^{2}-2$ ta chỉ lấy trong khoảng $ x \in [-1-\sqrt{3},-1] \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty)$ và đồ thị $y=-(x^{3}+3x^{2}-2)$ ta lấy trong khoảng $x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}) \cup (-1, -1+\sqrt{3})$. Ta có đồ thị hàm số $y=|x^{3}+3x^{2}-2|$ như sau
- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên trục Ox, đặt là $(C_{1})$
- Bước 2: Phần đồ thị (C) bên dưới trục Ox đem lấy đối xứng qua Ox được phần đồ thị mới đặt $(C_{2})$.
Ta có đồ thị hàm số $y=|x^{3}+3x^{2}-2|$ là $C_{1} \cup C_{2}$.
2. Đồ thị hàm số $y=f(|x|)$
Phương pháp: Gọi (C) là đồ thị hàm số $y=f(x)$.
Ta có $y=f(|x|)=\left\{\begin{matrix} f(x) \: khi \: x \geq 0\\ f(-x) \: khi \: x <0 \end{matrix} \right. $
Tức là
- Bên phải trục Oy giữ nguyên (C) đặt là $(C_{1})$, bỏ phần (C) còn lại.
- Lấy đối xứng với $(C_{1})$ ở trên qua Oy được $(C_{2})$.
- Đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ là $(C_{1}) \cup (C_{2})$
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số $y=|x|{3}-3x{2}+1$ biết đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$ là
Giải:
$y=|x|{3}-3x{2}+1=\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x^{2}+1 \: khi \: x \geq 0\\ -x^{3}-3x^{2}+1 \: khi \: x <0 \end{matrix}\right.$
Ta thấy đồ thị hàm số $y=-x^{3}-3x^{2}+1$ (màu đen) là đồ thị đối xứng của đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$ (màu nâu) qua trục Oy.
Đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$ lấy trong khoảng $x \geq 0$ và đồ thị hàm số $y=-x^{3}-3x^{2}+1$ lấy trong khoảng x<0. Vậy đồ thị hàm số $y=|x|{3}-3x{2}+1$ như sau
Hay
- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung của đồ thị hàm số (C) ta đặt là $(C_{1})$.
- Bước 2: Lấy đối xứng với $(C_{1})$ ở trên qua trục Oy được đồ thị $(C_{2})$.
- Đồ thị hàm số $y=|x|{3}-3x{2}+1$ là $(C_{1}) \cup (C_{2})$
3. Đồ thị hàm số $y=|f(x)|. g(x)$
Ta có $y=|f(x)|.g(x)=\left\{\begin{matrix} f(x).g(x) \: khi \: f(x) \geq 0\\ -f(x).g(x) \: khi \: f(x)<0\end{matrix}\right.$.
Phương pháp:
- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số $y=f(x).g(x)$.
- Bước 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số $y=f(x).g(x)$ qua trục Ox ta được đồ thị hàm số $y=-f(x)g(x)$.
- Bước 3: Đồ thị hàm số cần tìm là phần đồ thị hàm số $y=f(x).g(x)$ khi $f(x) \geq 0$ và phần đồ thị hàm số $y=-f(x).g(x)$ khi $f(x) <0.$
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số $y=|x-1|.(x^{2}-x-2)$.
Giải: $y=|x-1|(x^{2}-x-2)=\left\{\begin{matrix} x^{3}-2x^{2}-x+2 \: khi \: x \geq 1 \\ -(x^{3}-2x^{2}-x+2) \: khi \: x <1 \end{matrix}\right.$
Đồ thị hàm số $y=x^{3}-2x^{2}-x+2$ lấy trong khoảng $x \geq 1$ và đồ thị hàm số $y=-(x^{3}-2x^{2}-x+2$ lấy trong khoảng $x<1$ ta có đồ thị hàm số $y=|x-2|(x^{2}-x-2)$. như sau
Mẫu 1: Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\,\,\left( C \right)$ suy ra đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right)\, \right|\,\left( C \right)$
Ta có: $y=\left| f\left( x \right)\, \right|=\left\{ \begin{align} & f\left( x \right)\,\,\text{khi }f\left( x \right)\ge 0 \\ & -f\left( x \right)\,\,\text{khi }f\left( x \right)<0 \\ \end{align} \right.$. Do đó đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right)\, \right|\,\left( C \right)$ gồm hai phần:
- Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía bên trên trục hoành.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\,\,\left( C \right)$
Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right)\, \right|\,\left( C \right)$
Mẫu 2: Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\,\,\left( C \right)$ suy ra đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)\,\,\left( {{C}_{1}} \right)$
Ta có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\,\,=\left\{ \begin{align} & f\left( x \right)\,\,\text{khi }f\left( x \right)\ge 0 \\ & f\left( -x \right)\,\,\text{khi }f\left( x \right)<0 \\ \end{align} \right.$. Do đó đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)\,\,\left( {{C}_{1}} \right)$ gồm hai phần:
- Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm bên phải trục tung.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung (vì hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)\,$ là hàm chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng)
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\,\,\left( C \right)$
Đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)\,\,\left( {{C}_{1}} \right)$
Mẫu 3: Từ đồ thị hàm số $y=u\left( x \right).v\left( x \right)\,\,\left( C \right)$ suy ra đồ thị hàm số $y=\left| u\left( x \right) \right|.v\left( x \right)\,\,\left( {{C}_{1}} \right)$
Ta có: $y=\left| u\left( x \right) \right|.v\left( x \right)\,=\left\{ \begin{align} & u\left( x \right).v\left( x \right)\,\,\text{khi u}\left( x \right)\ge 0 \\ & -u\left( x \right).v\left( x \right)\,\,\text{khi u}\left( x \right)<0 \\ \end{align} \right.$. Do đó đồ thị hàm số $y=\left| u\left( x \right) \right|.v\left( x \right)\,\,\left( {{C}_{1}} \right)$ gồm hai phần:
- Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ ứng với miền $\text{u}\left( x \right)\ge 0$.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ ứng với miền $\text{u}\left( x \right)<0$ qua trục $Ox$.
Bài tập trắc nghiệm nhận dạng dạng đồ thị hàm số trị tuyệt đối có đáp án
Ví dụ 1: Hình 1 là đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$. Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau
- $y={{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+1$.
- $y=\left| {{x}^{3}}-3x+1 \right|$.
- $y=\left| {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|+1 \right|$.
- $y={{\left| x \right|}^{3}}-3x+1$.
Lời giải
Đồ thị hình 2 gồm 2 phần:
- Phần 1: Là phần đồ thị của hình 1 nằm phía bên trên trục $Ox$.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị của hình 1 nằm dưới $Ox$ qua $Ox$.
Do đó đồ thị hình 2 là đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|=\left| {{x}^{3}}-3x+1 \right|$. Chọn B.
Ví dụ 2: Hình 1 là đồ thị hàm số $y={{x}{3}}-4{{x}{2}}+4x+1$. Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau
- $y=\left| {{x}{3}}-4{{x}{2}}+4x+1 \right|$.
- $y=\left| {{\left| x \right|}{3}}-4{{x}{2}}+4\left| x \right|+1 \right|$.
- $y=\left| x \right|x-4{{x}^{2}}+4\left| x \right|+1$.
- $y={{\left| x \right|}{3}}+4{{x}{2}}+4\left| x \right|+1$.
Lời giải
Đồ thị hình 2 gồm 2 phần:
- Phần 1: Là phần đồ thị của hình 1 nằm bên phải trục $Oy$.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua $Oy$.
Do đó đồ thị hình 2 là đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|=\left| x \right|x-4{{x}^{2}}+4\left| x \right|+1$. Chọn C.
Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2017] Hàm số $y=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ có đồ thị nào như hình vẽ bên.
Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y=\left| x-2 \right|\left( {{x}^{2}}-1 \right)$?
- Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ cắt trục hoành tại điểm $x=1,x=2$
Áp dụng quy tắc phá giá trị tuyệt đối $y=\left| x-2 \right|\left( {{x}{2}}-1 \right)=\left\{ \begin{align} & \left( x-2 \right)\left( {{x}{2}}-1 \right)\text{ khi }x\ge 2 \\ & -\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\text{ khi }x<2 \\ \end{align} \right.$
Đồ thị hàm số $y=\left| x-2 \right|\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ gồm 2 phần:
- Phần 1: Là phần của đồ thị hàm số $y=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ với miền $x\ge 2$.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần của đồ thị hàm số $y=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ ứng với miền $x<2$ qua trục hoành. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có dạng như hình 1. Chọn A.
Ví dụ 4: Hàm số $y={{x}^{3}}-4x$ có đồ thị nào như hình vẽ bên.
Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y=\left| x-2 \right|\left( {{x}^{2}}+2x \right)$?
- Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Lời giải
Ta có: $y=\left| x-2 \right|\left( {{x}{2}}+2x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}{3}}-4x\text{ khi }x\ge 2 \\ & -\left( {{x}^{3}}-4x \right)\text{ khi }x<2 \\ \end{align} \right.$
Do đó đồ thị hàm số $y=\left| x-2 \right|\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ gồm 2 phần:
- Phần 1: Là phần của đồ thị $\left( C \right):y={{x}^{3}}-4x$ ứng với $x\ge 2$.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right):y={{x}^{3}}-4x$ ứng với miền $x<2$ qua $Ox$.
Suy ra đồ thị hàm số $y=\left| x-2 \right|\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ là hình 1. Chọn A.
Ví dụ 5: Hình 1 là đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$. Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau
- $y=\left| {{x}{3}} \right|-3\left| x \right|+1$. B. $y=\left| {{x}{3}} \right|+3\left| x \right|+1$. C. $y=\left| \left| {{x}{3}} \right|-3\left| x \right|+1 \right|$. D. $y=\left| \left| {{x}{3}} \right|+3\left| x \right|+1 \right|$.
Lời giải
Từ đồ thị hàm số $y={{x}{3}}-3x+1$ ta suy ra đồ thị hàm số $y=\left| {{x}{3}} \right|-3\left| x \right|+1$ như hình vẽ sau
Đồ thị hình 2 gồm 2 phần:
Từ đó suy ra đồ thị hàm số ở hình 2 là đồ thị hàm số $y=\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3\left| x \right|+1 \right|$. Chọn C.